Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Уламжлал
II эрэмбийн уламжлал
$\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}\right)''$ ол.
A. $\dfrac{3-x}{4x^2\sqrt{x}}$
B. $\dfrac{3-x}{4x\sqrt{x}}$
C. $\dfrac{3+x}{4x^2\sqrt{x}}$
D. $\dfrac{x-3}{4x^2\sqrt{x}}$
E. $x$
Асимптот
Давхар функцийн уламжлал
$f(x)=(4-x)^5$ бол $f^\prime(x)$-ийг ол.
A. $5\cdot(4-x)^5$
B. $5\cdot(4-x)^4$
C. $-5\cdot(4-x)^4$
D. $-\dfrac{(4-x)^4}{5}$
E. $-\dfrac{(4-x)^6}{6}$
$f(x)=e^{-2x+1}$ бол $f^\prime(x)$-ийг ол.
A. $-2e^{-2x}$
B. $(-2x+1)e^{-2x+1}$
C. $-2e^{-2x+1}$
D. $e^{-2x}$
E. $-\frac12e^{-2x+1}$
$f(x)=(3-x)^6$ бол $f^\prime(x)$-ийг ол.
A. $-6\cdot(3-x)^5$
B. $6\cdot(3-x)^5$
C. $\dfrac{(3-x)^7}{7}$
D. $-\dfrac{(3-x)^5}{6}$
E. $-\dfrac{(3-x)^7}{7}$
Дифференциалчлах дүрмүүд
Лагранжийн теорем
Параметрт болон далд функцийн уламжлал
$x^2+y^3+1=0$ далд функцийн уламжлал аль нь вэ?
A. $y^\prime=\dfrac{1+x}{1+y^2}$
B. $y^\prime=-\dfrac{2x}{3y^2}$
C. $y^\prime=-\dfrac{1+x}{1+y^2}$
D. $y^\prime=-\dfrac{2x}{3y^2}$
E. $y^\prime=\dfrac{2x}{1+x^2}$
Уламжлал бодох
$f\left( {x} \right) = x^{2}\ln x$ функцийн уламжлалыг ол.
$f(x) = 1 + x + \tg2x$ функцийн уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = ax^{2} + bx + c$ функцийн уламжлалыг ол.
$f( x ) = 2\sqrt {x} - \dfrac{1}{x} + \sqrt[4]{x}$ функцийн уламжлалыг ол.
$f( x ) = 0.8\sqrt[4]{x} - \dfrac{x^3}{0.3} + \dfrac{1}{5x^2}$ функцийн уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = e^{x}\left( {x^{2} - 2x + 2} \right)$ функцийн уламжлалыг ол.
$f( x ) = \dfrac{\sin 5x}{x^{5} + 5}$ функцийн уламжлалыг ол.
$f(x) = \left(\sqrt[{3}]{x} - 2\sqrt {x}\right)^{3}$ функцийн уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = x( {2x + \sqrt {3}})( {2x - \sqrt {3}} ) + 3$ функцийн уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{1 - x}}{{x^{2} + 3}}}$ функцийн $x_{0} = 1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = \cos x - {\dfrac{{2}}{{\pi} }}x^{2} + 1$, $x_{0} = {\dfrac{{\pi} }{{2}}}$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f(x) = (x^3 - 2x + 1)\cdot\cos x$ функцийн $x_{0} = 0$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = \left( {2x^{2} - 3x + 1} \right)\cos x$, $x_{0} = 0$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{2\lg x}}{{\lg e}}} - {\dfrac{{1}}{{4}}}x - \log _{2} 5$, $x_{0} = 2$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = \left( {2 - x} \right)\cos x$, $x_{0} = \pi $ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{1}}{{\pi} }}x^{2}\sin x$, $x_{0} = {\dfrac{{\pi} }{{2}}}$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1} - \sqrt {x} $, $x_{0} = 1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = \left( {x^{2} - 4x + 4} \right)\tg x$, $x_{0} = 0$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = 2\sin 2x + 3\cos x + {\frac{{\pi }}{{2}}}$, $x_{0} = {\dfrac{{\pi} }{{6}}}$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{x^{2} + 1 + \sin x}}{{\cos x}}}$, $x_{0} = 0$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{1}}{{2}}}\sin x \cdot \tg2x + {\dfrac{{5}}{{2}}}\cos x$, $x_{0} = {\dfrac{{\pi} }{{2}}}$
$f\left( {x} \right) = \ln \left( {6x - x^{2}} \right)$, $x_{0} = 1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = e^{2\sin x + x^{3}}$, $x_{0} = 0$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f( x ) = \sin ^{2}3x$, $x_{0} = \dfrac{\pi }{3}$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f(x) = \sqrt[4]{3 - 2x^{2}} + 3^{x} \cdot \dfrac{2}{\ln 3}$ функцийн $x_{0} = 1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 9x + 2$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 3x^{3} - \dfrac{9}{2}x^{2}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - 4x^{2} + 15x$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = - x^{3} + 3x$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = \dfrac{2x-1}{x-2}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) =\dfrac{x-1}{\sqrt {x^{2}-2}}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 2^{x} + 4^{ - x}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 9^{-x} + 3^{x}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = x^{2} - 4x - 2\ln \left( {x - 2} \right) + 7$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = x - \ln x$ функцийн буурах мужийн дундаж цэгийг ол.
$f(x) = 2x^{3} - 6x^{2} - 18x + 7$ функцийн буурах мужийн дундач цэгийг ол.
$f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x + 1$ функцийн өсөх мужийг ол.
$f\left( {x} \right) = - 0.5x^{4} + 2x^{3}$ функцийн максимум утгыг ол.
Хэрвээ$f\left( {x} \right) = 3x^{3} - 4.5x^{2} + 2x + 5$, $g\left( {x} \right) = {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}}$ бол $f^\prime\left( {0} \right) - g^\prime\left( {2} \right)$-г ол.
$f(x) = 4x^{2} + 2x + 27$ үед $f^\prime(x) + {\left[ {f(2x)} \right]}^\prime = 0$ тэгшитгэлийг бод.
$F(x) = \dfrac{x}{2 - x} + 2$ функц өгөгдөв. $F(x) = F^\prime(x)$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
Хэрвээ $f\left( {x} \right) = - 3x^{3} + 2x^{2} + 4$ бол $f'\left( {x} \right) < 0$ тэнцэтгэл бишийг бод
$y = 3 - 2\sin \left( {2x - {\frac{{\pi} }{{8}}}} \right)$ функцийн уламжлал нь $2\sqrt {2} $ -той тэнцүү байх бүх цэгийг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{{\left[ {\left( {x - 2} \right)^{2} + \left( {x + 1} \right)^{2}} \right]}^{2} - {\left[ {\left( {x - 2} \right)^{2} - \left( {x + 1} \right)^{2}} \right]}^{2}}}{{4\left( {x^{2} - x - 2} \right)}}} - 4^{\log _{4} \left( {x - 3} \right)}$ функцийг хялбарчлаад уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\left[ {x\sqrt[{3}]{{{\frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)^{2}}}}}} + {\frac{{x - 1}}{{\sqrt[{3}]{{\left( {x^{2} - 1} \right)^{2}}}}}}} \right]}^{ - {\frac{{3}}{{5}}}} \cdot \left( {x^{2} - 1} \right)^{ - {\frac{{4}}{{5}}}} \cdot \left( {1 + {\frac{{\sqrt {2} - 1}}{{\sqrt {2} + 1}}} \cdot \sqrt[{3}]{{{\frac{{10 + 7\sqrt {2}} }{{10 - 7\sqrt {2}} }}}}} \right)$ функцийг хялбарчлаад уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\frac{{\sqrt {9 - 12x + 4x^{2}} }}{{\sqrt {9 + 12x + 4x^{2}}} }} - {\frac{{24x}}{{9 - 4x^{2}}}} + {\frac{{2x}}{{3 - 2x}}}$ функцийг хялбарчлаад $x_{0} = 2.5$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f(x) = \dfrac{\sqrt {x} }{1 - x\sqrt {x}}:\dfrac{\sqrt {x} + x}{x + \sqrt {x} + 1}$ функцийн $x_{0} = \dfrac{1}{3}$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\frac{{1}}{{x^{2}}}}{\left[ {\left( {1 + {\frac{{4}}{{x - 2}}}} \right)\left( {x - 4 + 4x^{ - 1}} \right) - 3} \right]} \cdot {\left[ {{\frac{{x^{ - {\frac{{1}}{{2}}}} - 2x^{ - 1}}}{{\left( {\sqrt {x} + 2} \right)^{ - 1}}}}} \right]}^{ - 1}$ функцийн $x_{0} = 1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
Хэрэв $\tg{\frac{{\alpha} }{{3}}} = {\frac{{1}}{{2}}}$ бол $f( {x} ) = \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ функцийн $x = \alpha $ цэг дэх уламжлалыг ол.
- Дараах функцүүдийн уламжлалыг ол.
- $y=x^4-4x^3+3x^2-2x+1$
- $y=(x^2+3)(x^2-2x-3)$
- $y=(2x-3)^4$
- $y=(x-1)^2(x+2)^2$
- $n$-натурал тоо бол $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^n-1}{x-1}$ хязгаарыг бод.
- $f(x)=4x^3-x^2-3x+5$, $g(x)=(2x-1)^3$ функцүүдын уламжлалыг ол.
- $f(1)=-3$, $f^\prime (1)=-1$, $f^\prime (0)=3$ байх квадрат функцийг ол.
- $f(x)=x^3-2x$ бол $f^\prime(1)$-г ол.
- $f(x)=-x^3+2x^2$ бол $f^\prime(x)$ ол.
Дараах функцүүдын уламжлал ба $f^\prime (2)$ утгыг ол.
- $f(x)=-3x^2$
- $f(x)=4x^3+2x$
- $f(x)=2x^3+x^2-9x-4$
- $f(x)=(x-1)(2x+3)$
- $f(x)=(2x+3)^6$
- $f(x)=(-2x+1)^3$
$f(x)$ нь куб функц бөгөөд ахлах гишүүний коэффициент нь $1$,
$f(1)=2$, $f(-1)=-2$, $f^\prime (-1)=0$ бол $f(x)$-г ол.
Дараах функцүүдын уламжлалыг ол.
- $y=x^6-2x^5-3x^4$
- $y=(x^2+1)(x^3-1)$
- ${y=(x^2-2x+2)(x^2-1)}$
- $y=(3-x)^5$
- $y=(2x-1)^5(x-3)$
- $y=(x-2)^2(2x+3)^2$
$f(x)=x^2(x-3)$ функцийн буурах завсарыг ол.
Даваа
$f(x) = \dfrac{x}{3} - \dfrac{3}{x}$ функцийн графикийн $(3,f(3))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны налалтыг ол.
A. $0$
B. $3$
C. $-3$
D. $\dfrac23$
E. $\dfrac32$
$y=2x+1$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $2$
B. $x^2$
C. $2x$
D. $1$
E. $x^2+x+c$
$y=\cos(\frac{\pi}{3})$ функцийн уламжлал ол.
A. $y^\prime=0$
B. $y^\prime=-\sin(\frac\pi3)$
C. $y^\prime=\frac12$
D. $y^\prime=-\cos\frac\pi3$
E. $y^\prime=1$
$y=x^{2015}+2015$ бол $y^\prime$ аль нь вэ?
A. $2014x^{2014}$
B. $2015x^{2014}$
C. $2015x^{2014}+2015$
D. $2014x^{2014}+2015x$
E. $\dfrac{x^{2016}}{2016}+2015x$
$f(x)=\sin x$, $g(x)=x^2+1$ бол $y=g(f(x))$ функцийг уламжлалыг ол.
A. $2\sin^2x$
B. $\cos2x$
C. $\sin2x$
D. $x\cos (x^2+1)$
E. $x\cos x$
$y=2x^2+2x+1$ бол $y^\prime=?$
A. $2x+2$
B. $2x+1$
C. $4x+2$
D. $4x+1$
E. Эдгээрийн аль нь ч биш
$f(x)=\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots}}}$, $x>0$ бол $f^\prime(x)=?$
A. $-\dfrac1{2x}$
B. $\dfrac1{2x}$
C. $-\dfrac1{2\sqrt{x}}$
D. $\dfrac1{\sqrt{x}}$
E. $\dfrac1{2\sqrt{x}}$
$y=(2x+3)^4$ бол $y^\prime=?$
A. $4(2x+3)^3$
B. $3(2x+3)^3$
C. $8(2x+3)^3$
D. $6(2x+3)^3$
E. $6(2x+3)^4$
$y=\sin^2(2x+1)$ бол $y^\prime=?$
A. $2\sin(4x+2)$
B. $2\sin(2x+1)$
C. $2\sin(2x+1)\cos(2x+1)$
D. $\cos^2(2x+1)$
E. $2\cos(4x+2)$
$f(x)=(3x+1)^{20}$ бол $f^\prime(1)=?$
A. $15\cdot 4^{19}$
B. $5\cdot 4^{19}$
C. $5\cdot 4^{20}$
D. $15\cdot 4^{20}$
E. $3\cdot 4^{20}$
$\displaystyle f(x)=4(x-\tfrac 14)(2x-1)$ бол $f^{\prime}(2)$ утгыг ол.
A. $3$
B. $16x-6$
C. $16$
D. $26$
E. $8x-6$
$f(x)=(4x^2+1)^{\frac{1}{2}}$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $\dfrac12(4x^2+1)^{-\frac12}$
B. $(4x^2+1)^{-\frac12}$
C. $4x(4x^2+1)^{-\frac12}$
D. $\dfrac{x}{\sqrt{4x^2+1}}$
E. $\dfrac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}$
$y=(x-3)^2(x+2)^3$ функцийн уламжлалын $x=0$ цэг дээрх утгыг ол.
A. 0
B. 10
C. 20
D. 40
E. 60
$f(x)=1-x\ln x$ функцийн $f'(x_0)=-1$ бол $x_0$=?
A. $1$
B. $e$
C. $e-1$
D. $e+1$
E. $-1$
$y=2^x$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $2^x \cdot \ln2$
B. $\dfrac{2^x}{\ln2}$
C. $x\cdot 2^{x-1}$
D. $2^x$
E. $2^{x-1}$
$y=e^{ax^3+6x^2+3x+1}$ функцийн уламжлал нь бүх тоон шулуун дээр эерэг байх параметр $a$-гийн утгыг ол.
A. $]-\infty,0]$
B. $[0,1]$
C. $]4,\infty[$
D. $[4,\infty[$.
E. $]1;4[$
$y=e^{6x^3+ax^2+2x-1}$ функцийн уламжлал нь бүх тоон шулуун дээр эерэг байх параметр $a$-гийн утгыг ол.
A. $]-\infty;\infty[$
B. $]-6;6[$
C. $[-6;6]$
D. $[6;\infty[$.
E. $]-\infty;-6[$
$y=\ln \sqrt{\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ бол $y'\left(\dfrac{\pi}4\right)=?$
A. $\sqrt 2$
B. $\displaystyle\frac{\pi}2$
C. $\displaystyle\frac 14$
D. $1$
E. $\ln2$
$y=\ln \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1+x}{1-x}}-\displaystyle\frac12\arctg x$ бол $y'(0)=?$
A. 1
B. 0
C. $\displaystyle\frac 14$
D. 5
$y=(1+e^{-x})\sin \sqrt{1-x}$ бол $y'(0)=?$
A. $-\sin 1+\cos 1$
B. $-\sin 1-\cos 1$
C. $\sin 1+\cos 1$
D. $-\cos 1+\sin 1$
E. $0$
$y= e^{x^2}\cos\sqrt{1-x}$ бол $y'(0)=?$
A. $e$
B. $\displaystyle\frac{\sin 1}2$
C. $\displaystyle\frac {\sin 1}3$
D. $e^{-1}$
$y=-4x-5$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $-x^2$
B. $-4x$
C. $-2x^2-5x$
D. $-4$
E. $-5$
$f(x)=3x^2-4x+2$ бол $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ хязгаарыг бод.
A. 4
B. 0
C. 8
D. 2
E. 1
$f(x)=3x^2-2x+1$ бол $f(x)$ функцийн уламжлал $f^\prime(x)$ аль нь вэ?
A. $6x^2-2x$
B. $1.5x^3-x^2+x$
C. $3x-2$
D. $6x-2$
E. Эдгээрийн аль нь ч биш
$y=-2x+3$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $-x^2$
B. $-2x$
C. $-x^2+3x$
D. $-2$
E. $3$
$f(x)=2x^2+2x+1$ бол $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ хязгаарыг бод.
A. 4
B. 1
C. 8
D. 2
E. 6
$y=-3x+7$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $-3x^2$
B. $-x+7$
C. $-3x^2+7x$
D. $7$
E. $-3$
$y=2x-3$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $x^2$
B. $2x$
C. $x^2-3x$
D. $2$
E. $3$
$f(x)=2x^2-4x+3$ бол $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ хязгаарыг бод.
A. 4
B. 0
C. 8
D. 2
E. 1
$y=\dfrac13x+1$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $3$
B. $x^3$
C. $\dfrac13$
D. $1$
E. $\dfrac{x^2}{6}+x+c$
$f(x)=\sqrt{(x-3)(x+5)}$ функцийн уламжлалын $x_0=4$ цэг дээрх утгыг олоорой.
A. $\frac73$
B. $\frac43$
C. $\frac53$
D. $\frac45$
E. $\frac65$
$y=\sin^3(3x^2+1)$ функцийн уламжлал аль нь вэ?
A. $y^\prime=3\sin^2(3x^2+1)$
B. $y^\prime=3\sin^2(3x^2+1)\cdot\cos(3x^2+1)$
C. $y^\prime=9\sin^2(3x^2+1)\cdot\cos(3x^2+1)$
D. $y^\prime=9x\sin^2(3x^2+1)\cdot\cos(3x^2+1)$
E. $y^\prime=18x\sin^2(3x^2+1)\cdot\cos(3x^2+1)$
$P(x)$ функцийн хувьд $P^\prime(b)=2$ бол $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{P(b+4\Delta x)-P(b)}{\Delta x}=?$
A. $-3$
B. $-2$
C. $3$
D. $4$
E. $8$
$y=\dfrac{x^2+4}{e^x}$ функцийн $x=0$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
A. $-4$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $4$
$y=\sqrt{x+2}$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$
B. $(\sqrt{x+2})^3$
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}$
D. $\dfrac23(\sqrt{x+2})^3$
E. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$y=(x-5)^2$ функцийн уламжлал аль вэ?
A. $\dfrac{x-5}{2}$
B. $\dfrac{(x-5)^3}{3}$
C. $\dfrac{2}{x-5}$
D. $2(x-5)$
E. $2x$
$y=\cos^2\dfrac{\pi}{4}$ функцийн уламжлал аль нь вэ?
A. $-2\cos\dfrac{\pi}{4}$
B. $2\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{4}$
C. $-2\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{4}$
D. $0$
E. $\dfrac12$
$f(x)=\dfrac{e^x}{x}$ функцийн уламжлал аль нь вэ?
A. $e^x\ln x$
B. $-\dfrac{e^x}{x^2}$
C. $\dfrac{e^x}{x^2}$
D. $\dfrac{e^x}{x}+\dfrac{e^x}{x^2}$
E. $\dfrac{e^x}{x}-\dfrac{e^x}{x^2}$
$f(x)=\sqrt{x^3+3x-4}$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $\dfrac{3x^2+3}{2\sqrt{x^3+3x-4}}$
B. $\dfrac{1}{2\sqrt{x^3+3x-4}}$
C. $-\dfrac{3x^2+3}{2\sqrt{x^3+3x-4}}$
D. $-\dfrac{1}{2\sqrt{x^3+3x-4}}$
E. $\dfrac{3x^2+3}{\sqrt{x^3+3x-4}}$
$f(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot\ldots\cdot(x-9)\cdot(x-10)$ бол $f^\prime(10)$-г ол.
A. $10!$
B. $1!+2!+\ldots+9!$
C. $9\cdot9!$
D. $9!$
E. $0$
$f(x)=\ln(\sin x)$ бол $f^{\prime\prime}\Big(\dfrac{\pi}{4}\Big)=?$
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$
E. $2$
$f(x)=4x+\dfrac{8}{x}$ бол $f(x)$ функцийн экстремумын цэгүүдийг ол.
A. $-\sqrt2;\sqrt2$
B. $\sqrt2$
C. $0;2$
D. $-2;2$
E. $-\sqrt2$
$f(x)=(x+1)\cdot(x+2)\cdot\ldots\cdot(x+9)\cdot(x+10)$ бол $f^\prime(-1)$-г ол.
A. $10!$
B. $1!+2!+\ldots+9!$
C. $9\cdot9!$
D. $9!$
E. $0$
$y=\sin^2\dfrac{\pi}{2}$ функцийн уламжлал аль нь вэ?
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2\sin\dfrac{\pi}{2}$
E. $-2\sin\dfrac{\pi}{2}$
$y=x^4-3x^2+6$ функцийн уламжлал олоорой.
A. $4x^2-6x$
B. $4x^3-6x$
C. $4x^3-6$
D. $4x^3+6x$
E. $4x^3-3x$
$y=x^5-4x^2-7$ функцийн уламжлал олоорой.
A. $5x^2-8x$
B. $5x^4-8$
C. $5x^4+8$
D. $5x^4+8x$
E. $5x^4-8x$
$y=3x^3-2x-5$ функцийн уламжлал олоорой.
A. $3x^2-2x$
B. $9x^2-2x$
C. $9x^3-2$
D. $9x^2-2$
E. $3x^2-2$
$y=2x^4-3x-5$ функцийн уламжлал олоорой.
A. $4x^2-3x$
B. $4x^3-3x$
C. $8x^3-3x$
D. $8x^3-3$
E. $8x^3+3$
$y=\dfrac{1}{x^3}$ функцийн уламжлал олоорой.
A. $-3x^2$
B. $-\dfrac{3}{x^4}$
C. $-3x^{-3}$
D. $-4x^{-4}$
E. $-\dfrac{4}{x^4}$
$y=2(x+1)^2$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $2x+2$
B. $4x+4$
C. $2$
D. $2x$
E. $4x$
$y=2(x-1)^2$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $2x-2$
B. $4x-4$
C. $2$
D. $2x$
E. $4x$
$f(x) = \dfrac{x}{4} - \dfrac{4}{x}$ функцийн $x_{0} = 4$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
A. $0$
B. $\dfrac12$
C. $-\dfrac12$
D. $\dfrac23$
E. $\dfrac32$
$f(x) = \dfrac{x}{5} - \dfrac{5}{x}$ функцийн $x_{0} = 5$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
A. $0$
B. $\dfrac12$
C. $-\dfrac12$
D. $\dfrac25$
E. $\dfrac52$
$f(3x+5)=9x^2+30x+18$, $f^\prime(-3)=?$
A. $-6$
B. $6$
C. $2$
D. $-72$
E. $42$
$f(x)=(x^2+3x)^4$ бол $f^\prime(x)$ олон гишүүнтийн $x^3$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A. $4$
B. $81$
C. $-81$
D. $324$
E. $-324$
$f(3x)=\ln 3x$ бол $f^\prime(e)$ аль нь вэ?
A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{1}{e}$
C. $\dfrac{1}{3e}$
D. $\dfrac{3}{e}$
E. $\dfrac{e}{3}$
$f(4x)=\ln 4x$ бол $f^\prime(e)$ аль нь вэ?
A. $\dfrac{1}{e}$
B. $\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{1}{4e}$
D. $\dfrac{4}{e}$
E. $\dfrac{e}{4}$
$f(3x+5)=9x^2+30x+18$, $f^\prime(2)=?$
A. $4$
B. $6$
C. $66$
D. $-3$
E. $114$
$f(x)=(x^2-2x)^6$ бол $f^\prime(x)$ олон гишүүнтийн $x^5$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A. $-384$
B. $-192$
C. $768$
D. $64$
E. $384$
$f(x) = \dfrac{x}{3} - \dfrac{3}{x}$ функцийн $x_{0} = 3$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
A. $0$
B. $3$
C. $-3$
D. $\dfrac23$
E. $\dfrac32$
$y=\sin^2(2x+1)$ бол $y^\prime=?$
A. $2\sin(4x+2)$
B. $2\sin(2x+1)$
C. $2\sin(2x+1)\cos(2x+1)$
D. $\cos^2(2x+1)$
E. $2\cos(4x+2)$
$f(x)=x\cdot \sin x$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $1\cdot \cos x$
B. $\sin x-x\cos x$
C. $x\sin x+\cos x$
D. $x\cos x+\sin x$
E. $\sin x+x\sin x$
$f(x)=(4x^2+1)^{\frac{1}{2}}$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $\dfrac12(4x^2+1)^{-\frac12}$
B. $(4x^2+1)^{-\frac12}$
C. $4x(4x^2+1)^{-\frac12}$
D. $\dfrac{x}{\sqrt{4x^2+1}}$
E. $\dfrac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}$
$f(x)=4x+\dfrac{8}{x}$ бол $f(x)$ функцийн экстремумын цэгүүдийг ол.
A. $-\sqrt2;\sqrt2$
B. $\sqrt2$
C. $0;2$
D. $-2;2$
E. $-\sqrt2$
$f(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{2}{x}$ функцийн графикийн $(2,f(2))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны налалтыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. $\dfrac12$
E. $-\dfrac12$
$f(x)=4(x+\tfrac 14)(2x+1)$ бол $f^{\prime}(-2)$ утгыг ол.
A. $-3$
B. $16x+6$
C. $-16$
D. $-26$
E. $8x+6$
$5^{\frac23}$ тоог язгуур дээрх илэрхийллээр соль
A. $\sqrt[5]{25}$,
B. $\sqrt[3]{5}$,
C. $\sqrt[3]{125}$,
D. $\sqrt[5]{3}$,
E. $\sqrt[3]{25}$,
$f(x)=(4-x)^5$ бол $f^\prime(x)$-ийг ол.
A. $5\cdot(4-x)^5$
B. $5\cdot(4-x)^4$
C. $-5\cdot(4-x)^4$
D. $-\dfrac{(4-x)^4}{5}$
E. $-\dfrac{(4-x)^6}{6}$
$f(x)=(3-x)^6$ бол $f^\prime(x)$-ийг ол.
A. $-6\cdot(3-x)^5$
B. $6\cdot(3-x)^5$
C. $\dfrac{(3-x)^7}{7}$
D. $-\dfrac{(3-x)^5}{6}$
E. $-\dfrac{(3-x)^7}{7}$
$y = 2x^3-\sin x$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $y' = 6x^2 + \cos x $,
B. $y' = 6x^2 - \cos x $,
C. $y' = 6x^2 + \sin x$,
D. $y' = 3x^2 +-\cos x$,
E. $y' = 3x^3 + \cos x$
$5^{\frac23}$ тоог язгуур дээрх илэрхийллээр соль
A. $\sqrt[5]{25}$,
B. $\sqrt[3]{5}$,
C. $\sqrt[3]{125}$,
D. $\sqrt[5]{3}$,
E. $\sqrt[3]{25}$,
$y = 3x^4-\cos x$ функцийн уламжлалыг ол.
A. $ y' = 12x^3 + \cos x $,
B. $ y' = 6x^3 + \sin x $,
C. $ y' = 12x^3- \sin x$,
D. $ y' = 12x^3 -\cos x$,
E. $ y' = 12x^3 + \sin x$
$f(x)=\sqrt{(2x-1)^3(x^2+3)^4}$ бол $f'(1)=\fbox{ab}$.
$f(x)=\sqrt{\displaystyle\frac {4x+1}{2x^2+1}}$ бол $f'(0)=\fbox{a}$.
$y=(x^2-2)\sqrt{x^2+1}$ функцийн $y'(1)=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\sqrt{\fbox{c}}$ байна.
$y=(x^2+3)\sqrt{x^2-1}$ функцийн $y'(\sqrt{2})=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ байна.
$f(x)=\ln\dfrac{mx^2+7}{nx+3}$ функц өгөв. ($m$, $n$ - тогтмол тоо)
- $f^\prime(3)=\dfrac{\fbox{a}m}{\fbox{b}m+\fbox{c}}-\dfrac{n}{\fbox{d}n+3}$
- Хэрэв $f(x)$ функц $x=3$ үед минимум утга нь 0 байх бол $m=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$, $n=\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ болно.
$f(x)=x^2(3x-1)(x+1)$ функцийн $x_0=-1$ цэг дээрх уламжлалыг ольё. $$f^\prime(x)=\fbox{ab}x^3+\fbox{c}x^2-\fbox{d}x$$
тул
$$f^\prime(-1)=\fbox{ef}$$
байна.
$f(x)=\ln\dfrac{mx^2+7}{nx+3}$ функц өгөв. ($m$, $n$ - тогтмол тоо)
- $f^\prime(2)=\dfrac{\fbox{a}m}{\fbox{b}m+\fbox{c}}-\dfrac{n}{\fbox{d}n+\fbox{e}}$
- Хэрэв $f(x)$ функц $x=2$ үед минимум утга нь 0 байх бол $m=\fbox{f}$, $n=\fbox{g}$ болно.
Уламжлалыг ойролцоо тооцоонд хэрэглэх
Уламжлалын геометр утга
$f(x)$ нь дурын квадрат функц байг. $a< b$ нь дурын бодит тоонууд бол $f^\prime (c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ байх $c$ тоо $(a, b)$ завсраас олдохыг харуул.
$f(x)=x^3$ бол
- $x$-ийн утга $a$-аас $b$ хүртэл өөрчлөгдөх үед $f(x)$-ийн дундаж өөрчлөлтийг ол.
- Хэрэв $0< a< b$ бол $f^\prime (c)$ нь (1)-д олдсон дундаж өөрчлөлттэй тэнцүү байх $c$-г $(a, b)$ завсраас ол.
- (2)-ийн геометр утгыг тайлбарла.
$0< a< b$, $f(x)=x^3-\dfrac{a^3-b^3}{a-b}(x-a)-a^3$ байг. $0\leq x\leq b$ бол
$f(x)\leq 0$ байхыг харуул.
Цэг $x(t)=3t^2+\dfrac{2}{t}+2t-8$ хуулиар хөдөлж байв. Хугацааны $t=1$ эгшинд ямар хурдтай байх вэ?
A. $8$
B. $10$
C. $6$
D. $4$
E. $-1$
Зураг дээр $f(x)$ функцийн уламжлал болох $f^\prime(x)$ функцийн график $[-4;7]$ завсарт өгөв. Энэ завсарын ямар утганд $f(x)$ функц хамгийн бага утга авах вэ?
A. $x=-1$
B. $x=-4$
C. $x=6$
D. $x=3$
E. $x=7$
Зураг дээр $f(x)$ функцийн уламжлал болох $f^\prime(x)$ функцийн график $[-2;3.5]$ завсарт өгөв. Энэ завсарын ямар утганд $f(x)$ функц хамгийн бага утга авах вэ?
A. $x=1.5$
B. $x=-2$
C. $x=-0.5$
D. $x=3$
E. $x=3.5$
Уламжлалын тодорхойлолт
Дурын бодит $x, y$-н хувьд $f\left({x}\right)-f\left( {y}\right)\le\left({x-y}\right)^{2}$ тэнцэтгэл биш биелэх бүх $f$ функцийг ол.
$f(x)$ нь дурын $x, y$ бодит тоонуудын хувьд
$f(x+y)=f(x)+f(y)+x\cdot y$, $f^\prime (0)=a$ нөхцлүүдийг хангах бол $f(0)$ ба $f^\prime (x)$-ийг ол.
Уламжлалын хэрэглээ
$60^{\circ}$ өнцөг бүхий 8 см гипотенузтай тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг тал нь гипотенуз дээр орших хамгийн их талбайтай байх тэгш өнцөгт багтжээ. Энэ тэгш өнцөгтийн их талыг ол.
Бөмбөрцөгт хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндр багтжээ. Хэрвээ бөмбөрцөгийн радиус 5 см бол бөмбөрцөгийн эзлэхүүнийг цилиндрийн суурийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
Конусын радиус 4дм, өнцөг нь 6дм бөгөөд түүнд хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийг багтаажээ. Цилинприйн өндрийг ол
$a$ суурьтай, оройн өнцөг нь $\alpha$ байх бүх гурвалжнуудаас хамгийн их периметртэйг ол.
$S$ гэсэн өгөгдсөн талбайтай тэгш өнцөгтүүдээс 3 талых нь нийлбэр нь хамгийн их байх утгыг ол
Параллелограммын талбай нь $S$, хурц өнцөг нь $\alpha$ бол параллелограммын 3 талынх нь нийлбэр хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
$R$ радиустай бөмбөрцөгт хамгийн их хажуу гадаргуутай цилиндр багтсан бол энэ цилиндрийн эзлэхүүнийг ол
20 гэсэн тоог нэг нэмэгдэхүүн нь куб ба нөгөө нэмэгдэхүүний квадратых нь нийлбэр хамгийн бага байх 2 нэмэгдэхүүнд задал
2 эерэг тооны квадратын нийлбэр нь 300, эдгээр нэмэгдэхүүний нэгийг нь нөгөөгийх нь квадратаар үржүүлсэн үржвэр хамгийн их байхаар задал.
Эерэг $a$ тоон дээр түүний урвууг нэмэхэд экстремал нийлбэр нь гараг $a$тоог ол! Энэ утга нь хамгийн их ба багын аль нь болох вэ?
Ямар нэгэн тооны квадратыг 3 дахин авсан нь түүний хамгийн их утгын кубээс их бол уг тоог ол
64-ийг 1 дэх нэмэгдэхүүн дээр 2 дахь нэмэгдэхүүний квадратыг нэмсэн нь хамгийн бага утга авах 2 нэмэгдэхүүн болгон задал.
$-4x-3y = 25$ шулуун дээр орших координатын эхээс хамгийн бага зайд байх цэгийн координатыг ол.
Бүх ирмэгүүдийн нийлбэр нь хамгийн бага байх зөв 6 өнцөгт призмийн эзлэхүүн нь $V$ бол бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.
$a$ параметрийн ямар утганд дараах тэгшитгэл нэг бодит шийдтэй вэ? $ax^{6}=e^{x}$.
$M$ нь $y=-x+1$ шулуун дээр орших цэг ба $N$ нь $y=x^{2}-5x + 6$ парабол дээр орших цэг. $MN$ хэрчмийн уртын хамгийн багадаа хэдтэй тэнцүү байх вэ?
$A$ цэг нь $y=\frac{1}{8}\left(x^{2}-12x\right)$ функцийн график дээр орших ба $B$ цэг нь $x^{2} + y^{2}-18x-12y + 97=0$ муруй дээр оршино. $AB$ хэрчмийн урт хамгийн багадаа хэд байх вэ?
Хажуу ирмэгийн урт нь $1$ см байх зөв $4$ өнцөгт пирамидын эзлэхүүн хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
Өгөгдсөн периметртай адил хажуут гурвалжнуудаас хамгийн их талбайтайг нь ол.
- $f(x)$ нь дурын $x, y$-бодит тооны хувьд
- $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
- $f^\prime (0)=2$
- $(x+1)\cdot f^\prime (x)=3f(x)$, $f(0)=1$ байх олон гишүүнт $f(x)$-ийг ол.
$A(0,-2)$, $B(4,0)$ цэгүүд ба $y=x^2$ парабол дээр хөдөлж буй $P$ цэгүүдээр
тодорхойлогдох $S_{\triangle PAB}$-ийн хамгийн бага утгыг ол.
$\triangle ABC$-гурвалжны $BC=a$, $\angle B=\theta_1$, $\angle C=\theta_2$ гэе.
- $\triangle ABC$-ны талбайг $a$, $\theta_1$, $\theta_2$-р илэрхийл.
- $\theta_1+\theta_2=150^{\circ}$ үед $S$-ийн хамгийн их утгыг ол. $S$ хамгийн их байх үеийн $AB$, $BC$-талуудын уртыг ол.
$y=\log_2(x^2+\sqrt{2})$ функц нь $x=\ebox$ үед хамгийн бага утга нь $\ebox$ болно. $a$ тогтмол үед
$$\left(\log_2(x^2+\sqrt{2}\right)^2-2\log_2(x^2+\sqrt{2})+a=0\boldsymbol{\cdots}(1)$$
тэгшитгэл шийдтэй байх нөхцөл $a\leq\ebox$ байна. $a=\ebox$ үед $(1)$ тэгшитгэл $\ebox$ ширхэг шийдтэй ба $(1)$-нь 3 шийдтэй байх нөхцөл нь
$\ebox$ үед байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр 10 бол гипотенузын урт хамгийн бага байхын тулд гурвалжны талууд ямар урттай байх вэ?
$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ байг.
- $y=f(x)$ функцийн график нь $x$ тэнхлэгийг ялгаатай гурван цэгээр огтлох ба огтлолцлын цэгүүдийн абцисс $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ нь $(\alpha< \beta< \gamma)$ арифметик прогресс үүсгэдэг бол $a$, $b$, $c$-г $\alpha$, $\beta$ -аар илэрхийл.
- $x=1, 3$ тоонууд $y=f(x)$ функцийн экстремумын цэгүүд бол $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$-г ол.
- (2) нөхцөлд олдсон $y=f(x)$-ийн график зур.
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ функц $x=-1$ цэгт максимум утгатай,
$y=f(x)$ графикийн $(1, f(1))$ цэг дээрх шүргэгч $y=f(x)$-тэй
$(-4, f(-4))$ цэгт огтолцдог, $\left(-1/2, f\left(-1/2\right)\right)$ цэг дээрх шүргэгчид перпендикуляр. Мөн $f(x)$ функцийн минимум утга $\sqrt{2}/3$ бол $f(x)$-ийг ол.
$a$ радиустай тойрогт багтсан их суурь нь диаметр болох трапецийн талбай нь хамгийн их байх трапецийн бага суурийн урт ба талбайг ол.
$xy$ хавтгайд $y=-x^3+ax, (a>0)$ муруйн $x>0$ хэсэг дэх $P$ цэг дээр татсан шүргэгч $y$
тэнхлэгтэй $Q$ цэгт огтолцоно. Хэрэв $y=-x^3+ax$ муруйн $O$ цэг дээрх шүргэгч шулуун $\angle QOP$ өнцгийг хоёр тэнцүү хуваадаг бол $\triangle OQP$-ийн талбай $S(a)$-ийн хамгийн бага утгыг ол.
Квадрат суурьтай тэгш өнцөгт параллелопипедийн гурван хэмжээсийн нийлбэр $a$ бол түүний эзлэхүүн $V$-ийн хамгийн их утгыг ол.
$y=3-x^2$ муруйн $y\geq 0$ мужид байх хэсгийг абсцисс тэнхлэгтэй параллель шулуун $A$, $B$
цэгүүдээр огтолно. $O$ координатын эх бол $OAB$ гурвалжны талбайн хамгийн их утгыг ол.
Квадрат суурьтай гурван хэмжээсийн нийлбэр нь 1 байх тэгш өнцөгт
параллелепипедийн эзлэхүүн $V$, бүтэн гадаргуун талбай $S$ бол
$V-2S$-ийн хамгийн бага утгыг ол.
Нэгж радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их хажуу гадаргуутай конусын суурийн
радиусыг ол.
$y=x^3-x$, $y=2x+a$ ($a$-бодит тоо) функцүүдийн графикийн
огтлолцолын тоог $a$-аас хамааруулан тодорхойл.
- $x>1$ үед $x^3+3>3x$ байхыг харуул.
- $x\geq -4$ үед $x^3-7>12(x-2)$ байхыг харуул.
$x, y$ нь $x^2+4y^2=4$ нөхцөл хангах бол $x(x+2y^2)$-ийн хамгийн их ба хамгийн бага утгуудыг ол.
$x, y$ нь $x^2+y^2=1$, $y\geq 0$ нөхцлийг хангах бол
$x^3+y^3$ илэрхийллийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$2x^3-6x+a=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байх $a$-ийн утгуудыг ол.
- $x\geq -1$ үед $x^3-3x^2+5>0$ болохыг харуул.
- $0\leq x\leq 1$ үед $-2x^3+3x^2+a>0$ биелдэг байх $a$-ийн бүх утгуудыг ол.
$x^3-3p^2x+8p=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байх бүх $p$-ийн утгыг ол.
$x, y$ эерэг тоонууд ба $x^2+y^2=1$ бол $P=x^5+y^5$-ийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$y=(x-1)^2$ функцийн графикийг $y$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд гарах биетийн $h=3$ өндөртэй хэсгийн гадаргуугийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр $x$-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
A. $\dfrac{x^2}{8}$
B. $\dfrac{x^2}{4}$
C. $x^2$
D. $2x^2$
E. $\dfrac{x^2}{9}$
$6$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?
A. 6 см
B. 5 см
C. 4 см
D. 3 см
E. 2 см
Хүснэгтээр $f^\prime(x)$ функцийн талаар дараах мэдээлэл өгөгдөв.
Дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь баталгаатай үнэн бэ?
|
| $x< 2$ | $x=2$ | $2< x< 5$ | $x=5$ | $5< x$ |
| $f^\prime(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
- $f(x)$ функц $[2;5]$ завсарт өснө.
- $f(x)$ функцийн $[1;6]$ завсарын хамгийн их утга нь $f(5)$.
- $f(x)$ функцийн $[1;5]$ завсарын хамгийн бага утга нь $f(2)$.
A. Зөвхөн 1-р өгүүлбэр
B. Зөвхөн 2-р өгүүлбэр
C. Зөвхөн 1 ба 3-р өгүүлбэр
D. Бүгдээрэй
E. Аль нь ч үргэлж үнэн биш
$x^3-6x^2+9x-2=0$ тэгшитгэл $x>1$ мужид хэдэн бодит шийдтэй вэ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. Тодорхойлох боломжгүй
$C\colon x^2+y^2+z^2=6$ бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн суурийн радиусыг ол.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
Гурвалжны 5 урттай талын эсрэг орших өнцөг нь $60^\circ$ бол периметр нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $15$
E. $18$
Тэгш өнцөгтийн периметр $16$ бол талбай нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
A. $20$
B. $12$
C. $18$
D. $15$
E. $16$
$3$ радиустай тойрогт багтсан 4 өнцөгтийн талбай хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
A. $6$
B. $12$
C. $18$
D. $30$
E. $36$
Материал цэг шулуун шугамаар $x(t)=t^3-4t^2$ хуулиар хөдөлж байв. Цэгийн $t=3$ агшин дахь хурдатгалыг ол.
A. $3$
B. $9$
C. $10$
D. $11$
E. $5$
Периметр нь 32 бүхий тэгш өнцөгтүүд дотроос талбай нь хамгийн их утга авах тэгш өнцөгтийн талбай нь:
A. $32$
B. $36$
C. $48$
D. $49$
E. $64$
$5,5,6$ талуудтай адил хажуут гурвалжинд хоёр орой нь суурь дээр нөгөө хоёр орой нь хажуу талууд дээр байхаар тэгш өнцөгт багтжээ. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол.
A. $4\sqrt3$
B. $4$
C. $5\sqrt2$
D. $6$
E. $12$
$A$, $B$-ээс нэгэн зэрэг зурагт заасан чиглэлийн дагуу 2 машин хөдөлжээ. $A$-аас хөдөлсөн машины хурд 36 км/цаг, $B$-ээс хөдөлсөн машины хурд 12 км/цаг бөгөөд $A$, $B$-ийн хоорондох зай 130 км бол хэдэн цагийн дараа 2 машины хоорондох зай хамгийн бага байх вэ?
A. $\dfrac{11}4$
B. $\dfrac{12}4$
C. $\dfrac{13}4$
D. $\dfrac34$
E. $\dfrac94$
Квадрат суурьтай тэгш өнцөгт параллелепипедын аль нэгээс оройгоос гарсан гурван ирмэгүүдийн нийлбэр 256 см бол бүтэн гадаргуу нь хамгийн их байхааар суурын ирмэгийг яаж сонгож авах вэ?
A. $\dfrac{256}3$
B. $\dfrac{127}3$
C. $56$
D. $82$
E. $\dfrac{185}{2}$
48 см периметртэй тэгш өнцөгтийн хамгийн их талбай хэд вэ?
A. 576
B. 144
C. 256
D. 2304
12 см периметртэй тэгш өнцөгтийн хамгийн их талбай хэд вэ?
A. $144$
B. $36$
C. $9$
D. $16$
E. $3$
Нийлбэр нь 8-тай тэнцүү хоёр тооны үржвэр хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцэх вэ?
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
E. 20
$8$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?
A. $2\dfrac13$ см
B. $2\dfrac23$ см
C. $8\dfrac37$ см
D. $\dfrac38$ см
E. $\dfrac37$ см
2 орой нь $y=(x-1)(7-x)$ фунцийн графикийн $y\ge 0$ байх цэгүүд дээр, үлдэх 2 орой нь $x$ тэнхлэг дээр байрлах тэгш өнцөгтүүдийн талбай дотроос хамгийн ихийг нь ол.
A. $14\sqrt2$
B. $15$
C. $6\sqrt3$
D. $12\sqrt3$
E. $18$
$\angle A=90$, $AB=3$, $AC=4$ байх $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан $ADEF$ тэгш өнцөгтийн талбай хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
Зураг дээр $y=f(x)$ функцийн график өгөгдсөн бол $C$ цэг дээр аль нөхцөл биелэх вэ?
A. $f(c)>0, f^\prime(c)>0, f^{\prime\prime}(c)>0$
B. $f(c)>0, f^\prime(c)>0, f^{\prime\prime}(c)<0$
C. $f(c)<0, f^\prime(c)>0, f^{\prime\prime}(c)<0$
D. $f(c)<0, f^\prime(c)<0, f^{\prime\prime}(c)<0$
E. $f(c)>0, f^\prime(c)<0, f^{\prime\prime}(c)>0$
Зураг дээр $y=f(x)$ функцийн график өгөгдсөн бол $C$ цэг дээр аль нөхцөл биелэх вэ?
A. $f(c)>0 , f^\prime(c)>0, f^{\prime\prime}(c)>0$
B. $f(c)>0 , f^\prime(c)>0, f^{\prime\prime}(c)<0$
C. $f(c)<0 , f^\prime(c)>0, f^{\prime\prime}(c)<0$
D. $f(c)<0 , f^\prime(c)<0, f^{\prime\prime}(c)<0$
E. $f(c)>0 , f^\prime(c)<0, f^{\prime\prime}(c)>0$
$13,13,10$ талуудтай адил хажуут гурвалжинд хоёр орой нь суурь дээр нөгөө хоёр орой нь хажуу талууд дээр байхаар тэгш өнцөгт багтжээ. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол.
A. $10$
B. $15$
C. $20$
D. $30$
E. $40$
$13,13,24$ талуудтай адил хажуут гурвалжинд хоёр орой нь суурь дээр нөгөө хоёр орой нь хажуу талууд дээр байхаар тэгш өнцөгт багтжээ. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол.
A. $45$
B. $30$
C. $27$
D. $24$
E. $12$
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр $4$-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
A. $2$
B. $4$
C. $16$
D. $32$
E. $\dfrac{16}{9}$
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр $6$-тай тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
A. $4.5$
B. $4$
C. $10$
D. $9$
E. $2$
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр $2x$-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
A. $\dfrac{4x^2}{9}$
B. $\dfrac{x^2}{8}$
C. $\dfrac{x^2}{2}$
D. $x^2$
E. $\dfrac{2}{3}x^2$
Тэгш өнцөгтийн периметр $16$ бол талбай нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
A. $20$
B. $12$
C. $18$
D. $15$
E. $16$
Цэг $x(t)=3t^2+\dfrac{2}{t}+2t-8$ хуулиар хөдөлж байв. Хугацааны $t=1$ эгшинд ямар хурдтай байх вэ?
A. $8$
B. $10$
C. $6$
D. $4$
E. $-1$
Материал цэг шулуун шугамаар $x(t)=2t^3-3t^2$ хуулиар хөдөлж байв. Цэгийн $t=2$ агшин дахь хурдатгалыг ол.
A. $6$
B. $18$
C. $20$
D. $22$
E. $10$
$5,5,8$ талуудтай адил хажуут гурвалжинд хоёр орой нь суурь дээр нөгөө хоёр орой нь хажуу талууд дээр байхаар тэгш өнцөгт багтжээ. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол.
A. $4\sqrt3$
B. $4$
C. $5\sqrt2$
D. $6$
E. $12$
Зураг дээр $f(x)$ функцийн уламжлал болох $f^\prime(x)$ функцийн график $[-4;7]$ завсарт өгөв. Энэ завсарын ямар утганд $f(x)$ функц хамгийн бага утга авах вэ?
A. $x=-1$
B. $x=-4$
C. $x=6$
D. $x=3$
E. $x=7$
Зураг дээр $f(x)$ функцийн уламжлал болох $f^\prime(x)$ функцийн график $[-2;3.5]$ завсарт өгөв. Энэ завсарын ямар утганд $f(x)$ функц хамгийн бага утга авах вэ?
A. $x=1.5$
B. $x=-2$
C. $x=-0.5$
D. $x=3$
E. $x=3.5$
$y=x^3+\Big(\dfrac32m-10\Big)x^2-(12m-32)x+18m-32$ функц
- $m\neq-\dfrac43$ үед $x_1=\fbox{a}$; $x_2=\dfrac{-\fbox{b}m+\fbox{c}}{3}$ цэгүүд дээр ялгаатай экстремумтай ба
- $m>-\dfrac43$ үед $x_2$ нь максимумын цэг болох бөгөөд $\dfrac{\fbox{d}}{3}\neq m>\fbox{e}$ үед $y=0$ тэгшитгэл ялгаатай гурван язгууртай,
- $m< -\dfrac43$ үед $x_1$ нь максимумын цэг болох бөгөөд $m< -\dfrac{\fbox{fg}}{3}$ үед $y=0$ тэгшитгэл ялгаатай гурван язгууртай байна.
$y=x^{3} -\left(m-\dfrac{13}{2} \right)x^{2} -\left(2m-10\right)x+3m-\dfrac{3}{2} $ функц
- $m\ne \dfrac{7}{2} $ үед $x_{1} =-\fbox{a}; x_{2} =\dfrac{\fbox{b}\cdot m-\fbox{cd}}{3} $ цэгүүд дээр ялгаатай экстремумуудтай ба
- $m< \dfrac{7}{2} $ үед $x_{2} $ нь максимумын цэг болох бөгөөд $\dfrac{1}{\fbox{e}} \ne m< \dfrac{\fbox{f}}{2} $ үед $y=0$ тэгшитгэл ялгаатай гурван язгууртай,
- $m>\dfrac{7}{2} $ үед $x_{1}$нь максимумын цэг болох бөгөөд $m>\dfrac{\fbox{gh}}{2} $ үед $y=0$ тэгшитгэл ялгаатай гурван язгууртай байна.
4 нэгж талтай квадратын өнцгүүдээс нь нэг, нэг квадрат салган авч үлдсэн хэсгээр тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэрийн сав хийлээ. Савны эзлэхүүн хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
Таслан авсан квадратын талыг $x$ гэвэл эзлэхүүн нь $$V=4x^3-\fbox{ab}x^2+\fbox{cd}x$$ болох ба түүний хамгийн их эзлэхүүн нь $V=\fbox{e}\dfrac{\fbox{fg}}{\fbox{hi}}$ байна.
$f(x)=2x^3-9x^2+12x+p$ функцийн график $x=\fbox{a}$ цэгт минимум утгатай, $x=\fbox{b}$ цэгт максимум утгатай байна. $f(x)=0$ тэгшитгэл $-\fbox{c}< p< -\fbox{d}$ үед $x_1< x_2< x_3$ гэсэн бодит шийдүүдтэй бөгөөд хэрвээ $x_1+x_3=2x_2$ бол $p=\fbox{ef.g}$ байна.
$a>0$ тоог $a=x+y+z$ гурван нэмэгдэхүүнд задалжээ. Эдгээр нэмэгдэхүүний эхний хоёр нь $1:2$ харьцаатай бол $x\cdot y\cdot z$ үржвэр нь $x=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot a$, $y=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}\cdot a$, $z=\displaystyle\frac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\cdot a$ үед хамгийн их утгатай байна.
$a>0$ тоог $a=x+y+z$ гурван нэмэгдэхүүнд задалжээ. Эдгээр нэмэгдэхүүний эхний хоёр нь $1:3$ харьцаатай бол $x\cdot y\cdot z$ үржвэр нь $x=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot a$, $y=\displaystyle\frac{a}{\fbox{c}}$, $z=\displaystyle\frac{a}{\fbox{d}}$ үед хамгийн их утгатай байна.
$\left.\begin{array}{l}
x+y=2a-1\\
x^2+y^2=a^2+2a+1\\
\end{array}\right\}$ системийг хангах $a,x,y$ бодит тоонуудын хувьд $f(a)=x\cdot y$ функцийн минимумын цэг нь $a^*=\fbox{a}$ бөгөөд энэ нь тодорхойлогдох муж $\bigl[\fbox{b}-\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\sqrt{2}}; \fbox{d}+\displaystyle\frac{\fbox{e}}{\sqrt{2}}\bigr]$-даа орох тул минимум утга нь $f_{\min}=f(a^*)=-\displaystyle\frac{\fbox{f}}{2}$ болно.
$\left.\begin{array}{l}
x+y=2a-2\\
x^2+y^2=a^2+2a-6\\
\end{array}\right\}$ системийг хангах $a,x,y$ бодит тоонуудын хувьд $f(a)=x\cdot y$ функцийн минимумын цэг нь $a^*=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ бөгөөд энэ нь тодорхойлогдох муж $[\fbox{c}, \fbox{d}]$-даа үл харьяалагдах тул $f_{\min}=f(\fbox{e})=\fbox{f}$ болно.
$a,a,b$ талтай адил хажуут гурвалжинд суурьтай нь ерөнхий талтай бөгөөд хамгийн их талбайтай параллелограмм багтаасан бол түүний талууд нь $x=\displaystyle\frac{a}{\fbox{a}}, y=\displaystyle\frac{b}{\fbox{b}}$; талбай нь $S=\displaystyle\frac{\sqrt{\fbox{c}\,a^2-b^2}\cdot b}{8}$ байна.
$a,b$ катет бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинд түүнтэй ерөнхий тэгш өнцөгтэй тэгш өнцөгт багтаажээ. Түүний талууд нь $x=\displaystyle\frac{b}{\fbox{a}}, y=\displaystyle\frac{a}{\fbox{b}}$ үед тэгш өнцөгтийн талбай хамгийн их бөгөөд $S=\displaystyle\frac{a\cdot b}{\fbox{c}}$ байна.
Хажуу тал нь $a$-тай тэнцүү адил хажуут гурвалжнууд дотроос хамгийн их талбайтай гурвалжны хувьд $S'(a\sqrt{\fbox{a}})=0, S_{\max}=\frac{a^2}{\fbox{b}}$ байна.
Периметр нь $a$-тай тэнцүү урт нь $x$-тэй тэнцүү тэгш өнцөгтийн талбайг $S(x)$ гэе. $S^\prime\Bigl(\displaystyle\frac{a}{\fbox{a}}\Bigr)=0$ ба эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн талбай дотроос хамгийн их нь $$S_{\max}=\displaystyle\frac{a^2}{\fbox{bc}}$$ байна.
$\displaystyle\frac {x-a}{a+1}=\displaystyle\frac{a^3}x$ тэгшитгэлийн язгууруудын хоорондох зай $d$-нь $a=-\displaystyle\frac{1}{\fbox{a}}$ утганд максимум $d=\displaystyle\frac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ утгаа авна.
$\displaystyle\frac {x-a}{a+1}=\displaystyle\frac{a^3}x$ тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын ялгавар $d$ нь $a=-\displaystyle\frac{1}{\fbox{a}}$ утганд максимум $d=\displaystyle\frac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ утгаа авна.
$f(x)=x^2-8x+17$ функц өгөгдөв.
- $f(x)$ функцийн $x_0=5$ абсцисстэй $M$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ (2 оноо).
- $f(x)$ функцийн график, дээрх шүргэгч шулуун болон координатын тэнхлэгүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\dfrac{\fbox{cd}}{3}$ (2 оноо).
- $f(x)$ функцийн графикийг $M$ цэгт шүргэх, төв нь $OX$ (абсцисс) тэнхлэг дээр орших тойргийн тэгшитгэл $(x-\fbox{e})^2+y^2=\fbox{fg}$ (3 оноо).
$x$, $y$, $z$ эерэг бодит тоонуудын нийлбэр 130 ба $y=3z$ байв. $S=x^2+y^2+z^2$ илэрхийллийн хамгийн бага утга нь $\fbox{abcd}$ ба энэ үед $x=\fbox{ef}$ байна.
$32$ периметртэй байшингийн суурь дүрслэгджээ. Тэгвэл суурийн талбай хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?
Бодолт: Дүрсийн периметрийг $x$, $y$-ээр илэрхийлж $32$-той тэнцүүлбэл $\fbox{a}x+\fbox{b}y=32$ болно. Эндээс дүрсийн талбайг олбол $S=12(\fbox{c}x-x^2)$ болно. Энэ нь $x$-ээс хамаарсан квадрат функц байгаа тул экстремум утгыг хялбархан тооцоолж болно. Дээрх функцээс бүтэн квадрат ялгавал $S=\fbox{de}-12(\fbox{f}-x)^2$ болно. Иймд $x=\fbox{f}$, $y=\dfrac{\fbox{g}}{3}$ үед талбайн хамгийн их утга $S=\fbox{de}$ болно. Энэ нь $x$-ээс хамаарсан квадрат функц тул экстремум утгыг хялбархан тооцоолж болно. Дээрх функцээс бүтэн квадрат ялгавал $S=1\fbox{de}-12(\fbox{f}-x)^2$ болно. Иймд $x=\fbox{f}$, $y=\fbox{g}$ үед талбайн хамгийн их утга $S=\fbox{de}$ болно.
$ABCD$ тэгш өнцөгт хэлбэртэй цөөрмийн $D$ цэгт завьтай хүн байв. Завьчин $B$ цэгт очихоор төлөвлөжээ. Завь 4 км/ц хурдтай хөвөх бөгөөд завьнаасаа буугаад 5 км/ц хурдтай алхдаг. Хэрэв $AD=3$ км, $AB=6$ км бол $AB$ хэрчмийн аль цэг дээр завиа орхиод цааш алхаж $B$ цэгт хүрэхэд нийт зарцуулсан хугацаа хамгийн багадаа хэд байх вэ?
Бодолт: $AM=x$ байг. Тэгвэл $BM=6-x$, $DM=\sqrt{x^2+\fbox{a}}$ нийт хугацааг $t(x)$ гэвэл $[0;6]$ завсарт $t(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+\fbox{a}}}{4}+\dfrac{6-x}{5}$ (хугацаа цагаар) функц тодорхойлогдоно. Дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд уламжлалыг нь авбал
$$t^\prime(x)=\dfrac{\fbox{b}x-\fbox{c}\sqrt{x^2+\fbox{a}}}{20\sqrt{x^2+\fbox{a}}}.$$
Эндээс функцийн сэжигтэй цэг $x=\fbox{d}$ байна. $[0;6]$ хэрчим дээрх функцийн хамгийн бага утгыг тооцоолвол $t(\fbox{d})=1.6\fbox{e}$, $t(0)=1.9\fbox{f}$, $t(6)=\dfrac{3}{4}\sqrt{\fbox{g}}$ ба $t(\fbox{d}) < t(6) < t(0)$ тул $t(\fbox{d})=1.6\fbox{e}$ цаг байна.
$48$ периметртэй байшингийн суурь дүрслэгджээ. Тэгвэл суурийн талбай хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?
Бодолт: Дүрсийн периметрийг $x$, $y$-ээр илэрхийлж $48$-той тэнцүүлбэл $\fbox{a}x+\fbox{b}y=48$ болно. Эндээс дүрсийн талбайг олбол $S=12(\fbox{c}x-x^2)$ болно. Энэ нь $x$-ээс хамаарсан квадрат функц байгаа тул экстремум утгыг хялбархан тооцоолж болно. Дээрх функцээс бүтэн квадрат ялгавал $S=\fbox{de}-12(\fbox{f}-x)^2$ болно. Иймд $x=\fbox{f}$, $y=\dfrac{\fbox{g}}{3}$ үед талбайн хамгийн их утга $S=\fbox{de}$ болно. Энэ нь $x$-ээс хамаарсан квадрат функц тул экстремум утгыг хялбархан тооцоолж болно. Дээрх функцээс бүтэн квадрат ялгавал $S=1\fbox{de}-12(\fbox{f}-x)^2$ болно. Иймд $x=\fbox{f}$, $y=\fbox{g}$ үед талбайн хамгийн их утга $S=1\fbox{de}$ болно.
$ABCD$ тэгш өнцөгт хэлбэртэй цөөрмийн $D$ цэгт завьтай хүн байв. Завьчин $B$ цэгт очихоор төлөвлөжээ. Завь 4 км/ц хурдтай хөвөх бөгөөд завьнаасаа буугаад 5 км/ц хурдтай алхдаг. Хэрэв $AD=3$ км, $AB=5$ км бол $AB$ хэрчмийн аль цэг дээр завиа орхиод цааш алхаж $B$ цэгт хүрэхэд нийт зарцуулсан хугацаа хамгийн багадаа хэд байх вэ?
Бодолт: $AM=x$ байг. Тэгвэл $BM=5-x$, $DM=\sqrt{x^2+\fbox{a}}$ нийт хугацааг $t(x)$ гэвэл $[0;5]$ завсарт $t(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+\fbox{a}}}{4}+\dfrac{5-x}{5}$ (хугацаа цагаар) функц тодорхойлогдоно. Дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд уламжлалыг нь авбал
$$t^\prime(x)=\dfrac{\fbox{b}x-\fbox{c}\sqrt{x^2+\fbox{a}}}{20\sqrt{x^2+\fbox{a}}}.$$
Эндээс функцийн сэжигтэй цэг $x=\fbox{d}$ байна. $[0;5]$ хэрчим дээрх функцийн хамгийн бага утгыг тооцоолвол $t(\fbox{d})=1.4\fbox{e}$, $t(0)=1.7\fbox{f}$, $t(5)=\dfrac{1}{4}\sqrt{\fbox{g}4}$ ба $t(\fbox{d}) < t(5) < t(0)$ тул $t(\fbox{d})=1.4\fbox{e}$ цаг байна.
Функцийн өсөх, буурах муж
$f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 9x + 2$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 3x^{3} - \dfrac{9}{2}x^{2}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - 4x^{2} + 15x$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = - x^{3} + 3x$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = \dfrac{2x-1}{x-2}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) =\dfrac{x-1}{\sqrt {x^{2}-2}}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{3-x^2}}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 2^{x} + 4^{ - x}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = 9^{-x} + 3^{x}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = x^{2} - 4x - 2\ln \left( {x - 2} \right) + 7$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
$f(x) = x - \ln x$ функцийн буурах мужийн дундаж цэгийг ол.
$f(x) = 2x^{3} - 6x^{2} - 18x + 7$ функцийн буурах мужийн дундач цэгийг ол.
$f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x + 1$ функцийн өсөх мужийг ол.
$m$ параметрийн ямар утгад $f(x) = 2x^{3} - 3( {m + 2} )x^{2} + 48mx + 6x - 3$ функц бүх тоон шулуун дээр өсөх вэ?
$y = 6x^{3} - 3{\left| {x - 1} \right|}$ функцийн өсөх завсрыг ол.
-
- $f(x)=3x^2+7x+4$ функцийн өсөх завсарыг ол.
- $g(x)=2x^3-15x^2+24x+1$ функцийн буурах завсарыг ол.
- $f(x)=x^3+px^2+x$ функц үл буурах функц байх $p$-ийн утгын мужийг ол.
Дараах функцүүдийн өсөх, буурах завсарыг ол.
- $y=x^3+2$
- $y=-2x^3+1$
- $y=-x^2+4x-3$
- $y=x^3+3x^2-6x$
$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ функц монотон өсдөг байх $(a, b)$ координаттай цэгүүдийн хувьсах мужийг
дүрсэл.
$f(x)=x^3-6x^2-3x+4$ функцийн буурах завсар, экстремум утгуудыг ол.
Дараах функцүүдийн өсөлт, бууралтыг шинжил.
- $y=2x-3$
- $y=-0.5x+2$
- $y=3-x^3$
$y=2x^3-3(a+1)x^2+6(2-a)x+5$ функц $x$-хувьсагчийн дурын утганд өсөж байхаар параметрийн утгыг ол.
A. $-7< a$
B. $-7< a< 1$
C. $-7\le a$
D. $-7\le a< 1$
E. $a< 1$
$f(x)=x^3-3x^2-45x+21$ функц $[-2; 7]$ завсарын аль хэсэгт өсөх вэ?
A. $[-2; 0[$
B. $[-1; 1]$
C. $]1; 3[$
D. $[3; 5]$
E. $]5; 7]$
$y=\dfrac23x^3-x^2-4x+2$ функцийн өсөх завсрыг ол.
A. $]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$
B. $[-2;1]$
C. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
D. $]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[$
E. $[-1;2]$
$f(x)=x^3+3px^2+12x$ функц бүх тоон шулуун дээр өсдөг байх $p$ параметрийн утгын мужийг ол.
A. $p>2$
B. $p<-2$
C. $p\in]-2;2[$
D. $p< -2\bigcup p>2$
E. $\varnothing$
$f(x)=2x^3+9x^2+12x$ функцийн буурах мужийг ол.
A. $]-2;-1[$
B. $]-\infty;-2[\cup]-1;+\infty[$
C. $]-2;1[$
D. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
E. $\varnothing$
$y=2x^3-21x^2+72x$ функцийн буурах мужийг ол.
A. $x>3$
B. $1< x< 5$
C. $3< x< 4$
D. $0< x< 5$
E. $-4< x< -3$
$y=\sin (4x-3)$ функцийн буурах завсрыг ол.
A. $\left]\frac34+\frac{4n+1}{4}\pi;\frac 34+\frac{4n+3}{4}\pi\right[;$
B. $\left]\frac34+\frac{4n+1}{8}\pi;\frac 34+\frac{4n+3}{8}\pi\right[;$
C. $\left]\frac34+\frac{2n-1}{4}\pi;\frac
34+\frac{2n+1}{4}\pi\right[;$
D. $\left]\frac34+\frac{2n+1}{8}\pi;\frac
34+\frac{2n+3}{8}\pi\right[; (n\in Z).$
$y=\cos\left(\dfrac x3-\pi\right)$ функцийн өсөх завсрыг ол.
A. $]6k\pi;3(2k+1)\pi[$
B. $]3k\pi;\frac32(2k+1)\pi[$
C. $]\pi+6k\pi;3(2k+1)\pi[$
D. $]-\pi+6k\pi;3(2k-1)\pi[$
E. $]6k\pi+3\pi;6(k+1)\pi[$
$f(x)=x^3-3x^2-24x+7$ функцийн өсөх завсарыг ол.
A. $]+\infty,1[$
B. $]+\infty,-2[\cup]4,+\infty[$
C. $]0,+\infty[$
D. $]+\infty,-2[\cup \Big]\dfrac 12, +\infty\Big[$
E. $]4,+\infty[$
$f(x)=x^3+3x^2-9x+5$ функцийн буурах завсарыг ол.
A. $]+\infty,-3[$
B. $]-3,1[$
C. $]1,+\infty[;$
D. $]-4,1[$
$y=-5x^3+6x^2+8$ функцийн өсөх завсарыг ол.
A. $]-\infty;0[$
B. $]0;0,8[$
C. $]0;3[$
D. $]0,8;+\infty[$
$y=\displaystyle\frac 16x^3-2x$ функцийн буурах завсарыг ол.
A. $]-2;2[$
B. $]-\infty;-2[$
C. $]-2;0[$
D. $]2;+\infty[$
E. $]0;2[$
$y=x^3+3x^2-24x+11$ функцийн буурах завсрыг ол.
A. $]-3;8[$
B. $]-2;4[$
C. $]-4;-2[$
D. $]2;4[$
E. $]-4;2[$
$y=x^3-3x^2-9x+12$ функцийн буурах завсрыг ол.
A. $]-1;3[$
B. $]-3;-1[$
C. $]1;3[$
D. $]-3;1[$
E. $]-3;3[$
$y=x^3-9x^2+24x+3$ функцийн буурах завсрыг ол.
A. $]2;4[$
B. $]-4;-2[$
C. $]-2;4[$
D. $]-4;2[$
E. $]4;6[$
$y=x^3+3x^2-9x+2$ функцийн буурах завсрыг ол.
A. $]-3;-1[$
B. $]-3;1[$
C. $]1;3[$
D. $]-1;3[$
E. $]-3;3[$
$y=\dfrac13x^3-\dfrac12x^2-6x+4$ функцийн өсөх завсрыг ол.
A. $]-3;2[$
B. $[-2;3]$
C. $]-\infty;-3[\cup]2;+\infty[$
D. $]-\infty;-3]\cup[2;+\infty[$
E. $]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[$
$y=\sin(3x+6)$ функцийн буурах завсарыг ол.
A. $[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k]$
B. $[\frac{\pi}{2}+2\pi k-2;\frac{3\pi}{2}+2\pi k-2]$
C. $\varnothing$
D. $\Big[\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3};\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}\Big]$
E. $\Big[\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}-2;\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}-2\Big]$
$f(x)=\dfrac{x^3}{3}-1.5x^2+2x$ функцийн буурах завсрын уртыг ол.
A. $2$
B. $1$
C. $3$
D. $4$
E. $0.5$
$f(x)=\dfrac{x^3}{3}-0.5x^2-12x$ функцийн буурах завсрын уртыг ол.
A. $9$
B. $8$
C. $7$
D. $6$
E. $5$
$f(x)=\dfrac{x^3}{3}-1.5x^2-4x$ функцийн буурах завсрын уртыг ол.
A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $7$
E. $8$
$f(x)=\dfrac{x^3}{3}-2.5x^2-6x$ функцийн буурах завсрын уртыг ол.
A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $7$
E. $8$
$f(x)=\dfrac{x^3}{3}-1.5x^2-4x$ функцийн буурах завсрын уртыг ол.
A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $7$
E. $8$
$y=x^3+3x^2-9x+5$ функцийн өсөх завсрыг ол.
A. $]-3;1[$
B. $]1;+\infty[$
C. $]-\infty;+\infty[$
D. $]-\infty;-3[$
E. $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$
$y=x^3-3x^2+9x+1$ функцийн өсөх завсрыг ол.
A. $]-1;3[$
B. $]3;+\infty[$
C. $]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$
D. $]-\infty;-1[$
E. $]-\infty;+\infty[$
$y=\dfrac{1}{25-x^2}$ функцийн буурах завсрыг ол.
A. $]-\infty;-5[$, $]-5;0[$
B. $]-\infty;0[$
C. $]-5;5[$
D. $]0;5[$, $]5;\infty[$
E. $]-\infty;-5[$
$y=2x^3+9x^2-24x$ функцийн буурах завсрын уртыг ол.
A. $5$
B. $4$
C. $3$
D. $2$
E. $1$
$y=2x^3-9x^2+12x$ функцийн буурах завсрын уртыг ол.
A. $5$
B. $4$
C. $3$
D. $2$
E. $1$
$y=\dfrac{1}{9-x^2}$ функцийн буурах завсрыг ол.
A. $]-\infty;0[$
B. $]-\infty;-3[$, $]-3;0[$
C. $]-3;3[$
D. $]0;3[$, $]3;\infty[$
E. $]-\infty;-3[$
$f(x)=2x^3+9x^2+12x$ функцийн буурах мужийг ол.
A. $]-2;-1[$
B. $]-\infty;-2[\cup]-1;+\infty[$
C. $]-2;1[$
D. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
E. $\varnothing$
$f(x)=2x^3+9x^2+12x$ функцийн өсөх мужийг ол.
A. $]-2;-1[$
B. $]-\infty;-2[\cup]-1;+\infty[$
C. $]-2;1[$
D. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
E. $\varnothing$
$f(x)=\sqrt{x^2-8x+12}$ функцийн монотон өсөх завсар нь
$[\fbox{a};+\infty[$ ба энэ завсар дээрх урвуу функц нь
$f^{-1}(x)=\fbox{b}+\sqrt{\fbox{c}x^2+\fbox{d}}$ болно.
$f(x)=\sqrt{x^2-9x+18}$ функцийн монотон буурах завсар нь
$]-\infty;\fbox{a}]$ ба энэ завсар дээрх урвуу функц нь
$f^{-1}(x)=\dfrac{\fbox{b}-\sqrt{\fbox{c}x^2+\fbox{d}}}{2}$ болно.
$y=\sqrt{(ax^2+3x+1)x}$ функц $x>0$ үед тодорхойлогдсон, монотон өсдөг байх $a$-параметрийн утга нь $a>\fbox{a}, a\geq \displaystyle\frac{\fbox{b}}{\fbox{c}}, a>\fbox{d}$ хангах тул $a>\fbox{e}$ болно.
$y=\sqrt{(ax^2+3x-1)x}$ функц $x< 0$ үед тодорхойлогдсон, монотон буурдаг байх $a$- параметрийн утга нь $a< \fbox{a}, a\leq -\displaystyle\frac{\fbox{b}}{\fbox{c}}, a< -d$ хангах тул $a< -\fbox{e}$ болно.
$y=\sqrt{x+a}+\sqrt{b-x}$ функц $\fbox{a}\cdot a\leq x< \displaystyle\frac{b-a}{\fbox{b}}$ завсарт өсч, $\displaystyle\frac{b-a}{\fbox{c}}< x\leq \fbox{d}\cdot b$ завсарт буурна.
$f(x)=3x^3-6x^2+3x+5$ функц нь
- $\bigg]-\infty;\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\bigg[\cup]\fbox{c};+\infty[$ завсарт өсөж, $\bigg]\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}};\fbox{c}\bigg[$ завсарт буурна.
- $[0;3]$ завсар дээрх хамгийн бага утга нь $y_{\min}=\fbox{d}$, хамгийн их утга нь $y_{\max}=\fbox{ed}$.
- $3x^3-6x^2+3x+5=0$ тэгшитгэл нь $\fbox{g}$ ширхэг бодит шийдтэй.
Функцийн хамгийн их, хамгийн бага утга
$x^2+2ax+2a^2+4a+3=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр $S$ нь хамгийн их байх $a$ тоог ол. Энэ үед $S$ хэдтэй тэнцэх вэ?
$f\left( {x} \right) = 9x + 3x^{2} - x^{3}$, ${\left[ { - 2;2} \right]}$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{3} - 9x^{2} + 15x + 1$, ${\left[ { - 2;6} \right]}$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{2}\left( {x - 3} \right) + 5$, $[0;3]$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f(x)=x^3-3x^2-5$, ${\left[ {1;4} \right]}$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{2}\left( {x - 2} \right)$ функцийн ${\left[ {1;2} \right]}$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол. Мөн функцийн графикийг байгуул.
$f\left( {x} \right) = {\frac{{1}}{{3}}}x^{3} - {\frac{{3}}{{2}}}x^{2} + 1$, ${\left[ { - 1;1} \right]}$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{3} - 3x^{2}$, ${\left[ {1;3} \right]}$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = 4x^{4} - 2x^{2} - 5$, ${\left[ {0;2} \right]}$
$f\left( {x} \right) = {\frac{{x^{4}}}{{2}}} - 2x + {\frac{{3}}{{2}}}$, ${\left[ { - 1;2} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x^{4} - 4x^{2}$, ${\left[ { - 3;3} \right]}$
$f\left( {x} \right) = 3x^{2} - 4x^{3} - 12x^{2} + 5$, ${\left[ { - 2;3} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x^{5} - x^{3} + x + 2$, ${\left[ { - 1;1} \right]}$
$f\left( {x} \right) = \dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{x}$ фунцийн ${\left[ { - 5;1} \right]}$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\frac{{\left( {x - 1} \right)^{4}}}{{x + 1}}}$, ${\left[ {0,5;1} \right]}$
$f\left( {x} \right) = {\frac{{x}}{{x - x^{2} - 1}}}$, ${\left[ { - 2;2} \right]}$
$f\left( {x} \right) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 9}$ функцийн ${\left[ {4;6} \right]}$ завсар дах хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\frac{{x^{3} + 2x^{2}}}{{x - 2}}}$, ${\left[ { - 1;1} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x \cdot \ln 5 - x\ln x$ , ${\left[ {{\frac{{5}}{{3}}};2,5} \right]}$
$f\left( {x} \right) = \ln \left( {2x} \right) - x^{2} + x$, ${\left[ {{\frac{{1}}{{2}}};2} \right]}$
$f\left( {x} \right) = \ln \left( {2x} \right) - 6x^{2} + 11x$, ${\left[ {{\frac{{1}}{{2}}};2} \right]}$
$f\left( {x} \right) = 2x - tgx$, ${\left[ {0;{\frac{{\pi }}{{3}}}} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x^{2} - 6x + 10 - 9\sqrt[{3}]{{\left( {x - 3} \right)^{4}}} + 27\sqrt[{3}]{{\left( {x - 3} \right)^{2}}}$, ${\left[ { - 5;4} \right]}$
$f\left( {x} \right) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1$, ${\left[ { - 1;5} \right]}$
$f\left( {x} \right) = \sqrt[{3}]{{x^{2}}} - 4\sqrt[{3}]{{x}} + 5$, ${\left[ { - 1;8} \right]}$
$f\left( {x} \right) = 3x + {\frac{{9}}{{x}}} + {\frac{{4}}{{x^{3}}}}$, ${\left[ {1;3} \right]}$
$f\left( {x} \right) = {\frac{{3}}{{2}}}x^{4} - 6x + 3$, ${\left[ { - 1;2} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x^{2} - 4\sqrt {x} + 2$, ${\left[ {{\frac{{1}}{{4}}};4} \right]}$
x, ${\left[ { - 1;0} \right]}$
$f\left( {x} \right) = 4x + {\frac{{1}}{{\sqrt {x}} }} - 3$, $\left( {{\frac{{1}}{{9}}};1} \right)$
$f\left( {x} \right) = \sqrt {x} + {\frac{{4}}{{\sqrt {x} }}}$, ${\left[ {1;9} \right]}$
$f\left( {x} \right) = 2\log _{2}^{3} x - 15\log _{2}^{2} x + 36\log _{2} x$, ${\left[ {4;16} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x^{3} - 3x^{2} + 3x + 2$, ${\left[ { - 2;2} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x^{5} - x^{3} + x + 2$, ${\left[ { - 1;1} \right]}$
$f\left( {x} \right) = x^{{\frac{{5}}{{2}}}} - 20x$, ${\left[ {1;9} \right]}$
$f\left( {x} \right) = \sqrt {x^{2} - 6x + 16} $, ${\left[ {1;6} \right]}$
$f\left( {x} \right) = {\frac{{1}}{{ - 2x^{3} + 3x^{2} + 12x + 8}}}$, ${\left[ { - 3;3} \right]}$
, ${\left[ { - {\frac{{\pi} }{{2}}};{\frac{{\pi }}{{2}}}} \right]}$
$y = - \dfrac{1}{3}x^{3} + x + 1$ функцийн уламжлалын ${\left[ { - 2;2} \right]}$ муж дахь хамгийн бага утгыг ол.
$a$ параметрийн ямар утгад $f(x) = 3ax^{2} - 12ax + a^{2} - 11$ функцийн хамгийн их утга 2 байх вэ?
$a$ параметрийн ямар утганд $y=ax+4$ шулуун $y=-\dfrac{10}{x}$ функцийн графикийг шүргэх вэ?
$a$ параметрийн ямар утгад $x^{3} - 2ax + 2a^{2} - 6a + 8 = 0$ тэгшитгэлийн шийдийн квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байх вэ? Энэ нийлбэрийг ол.
$y(x) = x^{3} - \dfrac{4}{3}{\left| {x} \right|}$ функцийн $[-1.1;1.1]$ хэрчим дэх хамгийн их утгыг ол.
$f( {x} ) = - x^{2} + 7| {x} | - 12$ функцийн $[- 4;3]$ хэрчим дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$y = | {x^{2} - x - 6} | - x^{3}$ функцийн $[-4;4]$ завсар дахь хамгийн их утгыг ол.
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{9}{x + 3} \ge 1 \\ | {x - 4} | \le 3\end{array}\right.$ системийн шийдийн олонлогт $f(x) = 3x + \dfrac{27}{x}$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.
$y = \dfrac{\cos \left( \frac{1}{x} \right)}{4\cos^{2}\left(\frac{1}{x}\right) + 1}$ функцийн хамгийн их утгыг ол.
- $a>0$ байг. $y=x^3-3x$ функцийн $0\leq x\leq a$ завсар дахь хамгийн их утгыг $a$-аар илэрхийл.
- $a>0$ байг. $y=x^2(a-x)$ функцийн $[-1, 1]$ завсар дахь хамгийн бага утгыг $a$-аар илэрхийл.
$f(x)=x^3-9x$ функцийн $[-3, 4]$ завсар дахь хамгийн их ба хамгийн бага утгуудыг ол.
- $y=x^2-2x-2, (0\leq x\leq 3)$ завсарт функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
- $y=-2x^2-12x-c, (2\leq x\leq 5)$ завсарт функцийн хамгийн бага утга $y=-5$ бол $c$-г ол.
Дараах функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
- $y=-3x^2-6x+5$
- $y=4x^2-8x-1$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -2x^2+2x+4, & x< 3\\
4x^2-28x+40, & x\geq 3\end{array}\right.$ гэе.
$g(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t$ функцийн $x\geq 0$ үеийн
экстремум утгуудыг ол.
$y=\int\limits_{1}^{x} (4t^2-8t+3)\, dt$ функцийн экстремумыг ол.
Дараах функцүүдийн экстремум утгуудыг ол.
- $f(x)=\int\limits_{-3}^{x}(t^2-x)\, dt$
- $f(x)=\int\limits_{x}^{x+1}(t^2-5t+7)\,dt$
$0\leq a\leq 1$ үед
$\mathop{\int\limits_{-a}^{1-a}}|x(x-a)|\,\textrm{d}x$ функц хамгийн их ба
бага утгаа авах $a$-ийн утгыг ол.
$F(a)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|t^2-at|\,\mathrm{d}t$-ийн хамгийн
бага утгыг ол.
$y=ax+b$ шулуун $(1, 1)$ цэгийг дайрах бол $\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x$ хамгийн бага утгаа авах $a, b$-г ол.
$0< a< 1, O(0, 0), P(1, a), Q(2, 4)$ байг. $OPQ$
тахир шугам график нь байх функцийг $y=f_a(x)$ гэе.
- $y=f_a(x)$ ба $y=x^2$-ийн огтлолын цэгүүдийн координатуудыг ол.
- $S(a)=\mathop{\int\limits_{0}^{2}}|x^2-f_a(x)|\,\mathrm{d}x$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.
$0\leq a\leq 1$ үед $\mathop{\int\limits_{-a}^{1-a}}|x(x-a)|\,\mathrm{d}x$ функц хамгийн их ба бага утгаа авах $a$-ийн утгыг ол.
$y=(ax+b)^2 (0\leq x\leq 1)$ функцийн хамгийн их утгыг $M(a, b)$
гэе. $M(a, b)\leq m \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x$ тэнцэтгэл биш дурын $a, b$ бодит тооны хувьд биелэх $m$-ийн хамгийн бага утгыг ол.
Дараах функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
- $y=x^2-3x+1$
- $y=-2x^2-8x-3$
Дараах функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
- $y=\cos^2\theta+\sin\theta-1$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ}$
- $y=2\tg^2\theta+4\tg\theta+1$, $-90^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$
$f(t)=\sin^2t+2a\cdot \cos t$, $0^{\circ}\leq t\leq
360^{\circ}$ фунцийн хамгийн их утгыг $M(a)$ гэе. $M(a)$ функцийн
графикийг зур.
Дараах функцийн минимум ба максимум утгыг ол.
- $y=\sin (\theta-60^{\circ})+\sin \theta, 0\leq\theta\leq 180^{\circ};$
- $y=\cos^2 \theta+\sin \theta\cdot\cos \theta, 0\leq\theta\leq 180^{\circ}.$
Дараах функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
- $y=9^x-6\cdot 3^x+10$
- $y=4^{x+1}-2^{x+2}+2\quad(-2\leq x \leq 2)$
$y=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+8$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.
Дараах функцүүдын өгөгдсөн завсар дахь хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
- $y=x^3-12x, [-3, 3]$
- $y=x^3-6x^2+9x, [-2, 4]$
- $y=-2x^3+15x^2-36x, [1, 3]$
$a>0$ байг. $[-a, a]$ завсарт $y=3x-x^3$ функцийн хамгийн их утгыг ол.
$f(x)=x^3-3tx+t$ функцийн $[0, 1]$ завсар дахь хамгийн их утга $g(t)$-г олж $y=g(t)$ функцийн график байгуул.
$0< a< 2$ байг. $f(x)=2x^3-3ax^2+b$ функцийн $[0, 3]$ завсар дахь хамгийн бага утга $10$, хамгийн их утга $18$ бол $a, b$-г ол.
$y=2(\cos\theta+\sin\theta)^3-1-\sin 2\theta$
функцийн $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ}$ завсар дахь
хамгийн их, хамгийн бага утгыг ол.
Нэгж эзлэхүүнтэй шулуун дугуй цилиндрт бөмбөрцөг багтжээ. Энэ бөмбөрцгийг багтаасан конусуудын дотроос хамгийн бага эзлэхүүнтэйг нь ол.
$f\left( {x} \right) = \left( {x - 4} \right)^{2}\left( {x - 1} \right)$ функцийн максимум утгыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $4$
E. $5$
$f(x)=\dfrac{x-5}{x^2-10x+61}$ функцийн $[-a;a]$ завсар дахь хамгийн их ба бага утгуудыг $m; M$ гэж тэмдэглэв. $m+M=0$ байлгах $a$ параметрийн хамгийн бага утгыг ол.
A. $11$
B. $12$
C. $-1$
D. $10$
E. $5$
$f(x)=\dfrac{2x-5}{4x^2-20x+61}$ функцийн $[-a; a]$ завсар дахь хамгийн их ба хамгийн бага утгыг $M$, $m$ гэж тэмдэглэв. $m+M=0$ байлгах $a$ параметрийн хамгийн бага утгыг ол.
A. $5.5$
B. $6.5$
C. $7.5$
D. $8.5$
E. $9.5$
$f(x)=x^2-4x+10$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.
A. $-4$
B. $0$
C. $2$
D. $4$
E. $6$
$y=\sqrt{(2-x)(x+4)}+1$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгын үржвэр аль нь вэ?
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$
$f(x)=ax^3+3ax^2+b, (-1\le x\le 2)$ функцийн хамгийн их, хамгийн бага утга нь харгалзан $10,-10$ бол $|a+b|=?$
A. 10
B. 9
C. 8
D. 6
E. 11
$y=\log_2^2(x^2-6x+9)+\sqrt{x^2+2x-8}$ функц хамгийн бага утгаа авах $x$-ийн утгыг ол.
A. $0$
B. $4$
C. $3$
D. $\sqrt{10}$
E. $2$
$f(x)=3-(x+1)^2$ функцийн хамгийн их утгыг ол.
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$
E. $3$
$f(x)=27^x-3^{x+3}+2\cdot 3^3$, $x\leq 1$ үед хамгийн бага утгыг ол.
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$
E. $3$
$y=\dfrac{9^{ax+5}}{3^{x^3-7x}}$ функц $x=3$ цэг дээр максимумтай байх $a$ параметрийн утгыг ол.
A. $10$
B. $-30$
C. $5$
D. $20$
E. $40$
$y=-|x^3-6x^2+9x-3|$ функцийн $[-1;4]$ завсар дахь хамгийн бага утгыг ол.
A. $-1$
B. $-3$
C. $-10$
D. $-19$
E. $-21$
$y=x^4-6x^2+10$ функцийн хамгийн бага утгаа авах цэгийг ол.
A. $\pm2$
B. $\pm3$
C. $0$
D. $\pm\sqrt{2}$
E. $\pm\sqrt{3}$
$f(x)=ax^3+3ax^2+b, (-2\le x\le 1)$ функцийн хамгийн их, хамгийн бага утга нь харгалзан $10,-10$ бол $|a+b|=?$
A. 10
B. 9
C. 7
D. 5
E. 12
$f(x)=x^2-6x+2$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.
A. $-4$
B. $0$
C. $2$
D. $4$
E. $-6$
$R$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн хажуу гадаргууг ол.
A. $\dfrac{4\sqrt2\pi R^2}{3}$
B. $\dfrac{\pi R^2}{\sqrt2}$
C. $\dfrac{\pi R^2}{\sqrt3}$
D. $\dfrac{\pi R^2}{\sqrt3}$
E. $\pi R^2$
$2x+y=20$ бол $x^2+y^2$ илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.
A. $60$
B. $30$
C. $100$
D. $125$
E. $80$
$2x-y=10$ бол $x^2+y^2$ илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.
A. $25$
B. $30$
C. $40$
D. $20$
E. $10$
$f\left( {x} \right) = \left( {x - 4} \right)^{2}\left( {x - 1} \right)$ функцийн максимум утгыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $4$
E. $5$
$f(x) = ax^{2} - \dfrac{1}{x}$ функцийн $x > 0$ үеийн максимумын цэг нь $1$ бол $a=-\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна. Энэ үед максимум утга нь $-\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=7$, $BC=8$, $CA=9$ нэгж ба $BC$ тал дээр дурын $M$ цэг авч, $AB$-тэй параллель $MN$ ($N\in AC$) хэрчим татав. $AMN$ гурвалжны талбайн хамгийн их утгыг ол.
Бодолт: $AN=x$ гэж тэмдэглээд $ABC$ ба $NMC$ гурвалжнууд төсөөтэй гэдгийг ашиглан $NMC$ буюу $AMN$ гурвалжны $M$ оройгоос татсан өндрийг $x$-ээр илэрхийлж болох ба улмаар талбай нь $x$-ээр $S(x)=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}(\fbox{c}x-x^2)}{\fbox{de}}$ гэж илэрхийлэгдэнэ. Энэ функцээс уламжлал авч 0-тэй тэнцүүлээд гарсан тэгшитгэлийг бодвол $\fbox{e,f}$ бутархай гарна. Буцааж орлуулаад $S_{\max}=\fbox{h}\sqrt{\fbox{b}}$ болно.
Бодолт: $AN=x$ гэж тэмдэглээд $ABC$ ба $NMC$ гурвалжнууд төсөөтэй гэдгийг ашиглан $NMC$ буюу $AMN$ гурвалжны $M$ оройгоос татсан өндрийг $x$-ээр илэрхийлж болох ба улмаар талбай нь $x$-ээр $S(x)=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}(\fbox{c}x-x^2)}{\fbox{de}}$ гэж илэрхийлэгдэнэ. Энэ функцээс уламжлал авч 0-тэй тэнцүүлээд гарсан тэгшитгэлийг бодвол $\fbox{e,f}$ бутархай гарна. Буцааж орлуулаад $S_{\max}=\fbox{h}\sqrt{\fbox{b}}$ болно.
$\displaystyle y=x^2-2x+3$
функцийн $t\le x\le t+2$ завсар дээрх хамгийн бага утгийг $m(t)$
гэе. $$m(t)=\left\{\begin{array}{ll}
t^2+2t+3, & t< -\fbox{a} \\
2, & -\fbox{a}\le t< \fbox{b} \\
t^2-2t+3, & \fbox{b}\le t \\
\end{array}\right.$$ болно. Иймд $-2\le t\le 5 $
үед $m(t)$-ийн хамгийн их утга $\fbox{cd}$ байна.
$y=3\sqrt[3]{(x-1)^2}+x$ функцийн $[-7;0]; [1;2]$
завсрууд дээрх хамгийн их (ХИ), хамгийн бага (ХБ) утга нь
байна.
| завсар | ХИ | ХБ |
| [-7,0] | $\fbox{a}$ | $\fbox{b}$ |
| [1,2] | $\fbox{c}$ | $\fbox{d}$ |
$y=x+\displaystyle\frac{8}{x^4}$ функцийн $[-2;-1]; [1;3]$ завсрууд дээрх хамгийн их (ХИ), хамгийн бага (ХБ) утга нь
байна.
| завсар | ХИ | ХБ |
| [-2,-1] | $\fbox{a}$ | $-\displaystyle\frac{3}{\fbox{b}}$ |
| [1,3] | $\fbox{c}$ | $\displaystyle\frac{\fbox{d}}{2}$ |
$y=\sqrt{x+a}+\sqrt{b-x}$ функц $x_0=\displaystyle\frac{b-a}{\fbox{a}}$ цэг дээр $y_{\max}=\sqrt{\fbox{b}\cdot (b+a)}$ утгаа авна, $x_1=\fbox{c}\cdot a, x_2=\fbox{d}\cdot b$ цэгүүд дээр хамгийн бага ($\sqrt{(b+a)}$) утгаа авна.
$f(x)=x+\dfrac{8}{x^2}$ функцийн $[-2;-1]$ муж дахь хамгийн их ба хамгийн бага утгын нийлбэрийг ольё.
$$f^\prime(x)=\fbox{a}-\dfrac{\fbox{bc}}{x^{\fbox{d}}}$$
бөгөөд энэ нь $[-2;-1]$ мужид ямагт эерэг утгатай байх тул $f(x)$ функц энэ өснө. Иймд $f(x)$ функцийн $[-2;-1]$ муж дахь хамгийн их утга нь $\fbox{e}$, хамгийн бага утга нь $\fbox{f}$ бa эдгээрийн нийлбэр нь $\fbox{g}$ байна.
$y = x$ функцийн графикаар дүрслэгдэх голын эрэг дээр зусч байгаа иргэн Батын зуслангийн байрны байршлыг $A(14, 0)$ цэгээр дүрслэв. Батынхаас гол хүрэх хамгийн богино зайг олоорой.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
$y = x$ функцийн графикаар дүрслэгдэх голын эрэг дээр зусч байгаа иргэн Батын зуслангийн байрны байршлыг $A(14, 0)$ цэгээр дүрслэв. Батынхаас гол хүрэх хамгийн богино зайг олоорой.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
$y = x$ функцийн графикаар дүрслэгдэх голын эрэг дээр зусч байгаа иргэн Батын зуслангийн байрны байршлыг $A(14, 0)$ цэгээр дүрслэв. Батынхаас гол хүрэх хамгийн богино зайг олоорой.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
$y = x$ функцийн графикаар дүрслэгдэх голын эрэг дээр зусч байгаа иргэн Батын зуслангийн байрны байршлыг $A(16, 0)$ цэгээр дүрслэв. Батынхаас гол хүрэх хамгийн богино зайг олоорой.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
Бодолт: $y=\sqrt{x} $ функцийн график дээр орших $B$ цэг авч $A$-гаас $B$ хүрэх зайг олвол $$|AB| =\sqrt{(x - \fbox{ab})^2 + (x - 0)^2 }= \sqrt{x^2 - \fbox{cd}x+ \fbox{ab}^2}$$ болно. Иймд олох зүйл нь $y =\sqrt{x^2} -\fbox{cd}x +\fbox{ab}^2$ функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. Дээрх функцийн уламжлал нь $y' =\dfrac{2x -\fbox {cd}}{2\sqrt{x^2 - \fbox{cd}+ \fbox{ab}^2}}$ тул сэжигтэй цэгийг олвол $x = \dfrac{\fbox{cd}}{2}$ болно.
Функцийн хамгийн бага утга буюу $A$-аас $B$ хүрэх хамгийн богино зай нь $|AB|=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ юм.
Функцийн экстремум
$f\left( {x} \right) = - 0.5x^{4} + 2x^{3}$ функцийн максимум утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 10$ функцийн максимум утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{x}}{{x^{2} + 1}}}$ функцийн минимум утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{2} \cdot e^{-x}$ функцийн минимум утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = 6x + e^{ - 6x}$ функцийн минимум утгыг ол.
$f\left( {x} \right) = \sqrt {2x^{2} - x + 2} $ функцийн минимумийн цэгийг ол.
$f\left( {x} \right) = {\dfrac{{x^{3}}}{{3}}} - x^{2} - 3x$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
$f(x) = \dfrac{1}{3}x^{3} - \dfrac{5}{2}x^{2} + 6x$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
$f(x) = x\ln x$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
$f(x)=x\cdot e^{-3x}$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
$f\left( {x} \right) = - x^{2} + 2\ln x$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
$f\left( {x} \right) = \left( {{\dfrac{{2x - 1}}{{x}}}} \right)^{2}$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{5} - 5x^{4}$ функцийн экстремумын цэгүүдийг ол.
$y = \left( {x - a} \right)^{3} - 3x + a$ функцийн экстремум цэг нь $x = 6$ байх $a$-ийн хамгийн их утгыг ол
$c$ параметрийн ямар утгад $y = x^{3} - 2.4x^{2} + cx - 8.4$ функц сэжигтэй цэг дээрээ экстремумгүй байх вэ?
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ функцийн минимум утга нь $x=-1$ үед $-4$, максимум утга нь $x=3$ үед $28$ байдаг бол $a$, $b$, $c$, $d$-г ол.
$y=x^3-6x^2+9x-2$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
- $y=\dfrac 13(x+1)(x-2)(x-5)$ функцийн экстремум утгуудыг ол.
- $y=x^3+ax^2+x+1$ функц экстремум утгатай байх $a$-г ол.
$f(x)=x^3+ax^2+bx$ функц $[-1,1]$ завсарт бүх экстремум утгаа авдаг байх $(a,b)$ координаттай цэгүүдийн олонлогийг дүрсэл.
Куб зэргийн функц $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ нь $x=\alpha,\beta$
цэгүүдэд экстремум утгуудтай бол максимум утга ба минимум утгын
ялгаврыг $a$, $\alpha$, $\beta$-аар илэрхийл.
$0< a< 1$ завсарт хувьсах үед $f(x)=x^3-3ax^2+a^2$ функц $x=\alpha$ цэгт максимум, $x=\beta$ цэгт минимум утга авдаг бол $(\alpha, f(\alpha))$, $(\beta, f(\beta))$ цэгүүдийг холбосон шулууны хувьсах мужийг дүрсэл.
Максимум, минимум утгыг ол.
- $y=\cos 2x+\dfrac 43\sin x+1$
- $y=\sin^4x+\sin^2x+\cos^4x$
Дараах функцийн минимум ба максимум утгыг ол.
- $y=\sin (\theta-60^{\circ})+\sin \theta, 0\leq\theta\leq 180^{\circ};$
- $y=\cos^2 \theta+\sin \theta\cdot\cos \theta, 0\leq\theta\leq 180^{\circ}.$
Дараах функцүүдийн экстремум утгуудыг олж максимум, минимумын аль нь болохыг тогтоо.
- $y=x^3-3x^2$
- $y=x^3-3x^2+3x$
- $y=-x^3+2x^2-x-1$
- $y=x^3+\dfrac 32x^2-6x-6$
$f(x)=x^3+ax^2-6x+b$ байв. $f(x)$ функц $x=2$ цэгт минимум утга авдаг, $x=c$ цэгт максимум утга 2-ыг авдаг бол $a, b, c$-г ол. $f(x)$-ийн минимум утгыг ол.
$f(x)$ куб функц байг. Хэрэв $y=f(x)$ функцийн $(-1, 9)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент $-12$ ба $f(x)$ функц нь $x=1$ үед минимум утга $-11$-ийг авдаг бол $f(x)$ функцийг ол.
$f(x)=ax^3+bx^2+cx$ функц $x=1$ цэгт максимум, $x=3$ цэгт минимум утга авдаг, максимум утга ба минимум утгын зөрөө $8$ бол $a, b, c$-г ол.
$f(x)=x^3-6x^2-3x+4$ функцийн буурах завсар, экстремум утгуудыг ол.
$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$ байг.
- $f(x)$ функц экстремумгүй байх $a$-ийн утгуудыг ол.
- $f(x)$-ийн минимум утга 0 байх $a$-ийн утгыг ол.
$f(x)=x^2(x-a)$ функцийн максимум, минимум утгуудыг $a$-аар илэрхийл.
$y=x^3+ax^2+bx+c$ функц $x=-3$ цэгт экстремумтай, $(-1, 3)$ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй бол $a$, $b$, $c$-г ол.
$a< b< c$ байг. $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ функцийн экстремумын цэгүүд $\alpha, \beta$
$(\alpha< \beta)$ бол $a< \alpha< b< \beta< c$ байхыг батал.
$y=x^3-3x^2+3ax$ байг.
- Дээрх функцийн минимумын цэг болох $x$-ийн мужийг тодорхойл.
- Дээрх функц экстремум утгуудаа $x>0$ байх цэгүүдэд авдаг бол $a$-ийн авах утгын олонлогийг ол.
$y=x^3-3a^2x$ функц $(1< x< 2)$ завсарт минимум утгаа авдаг бол минимум утга ба максимум
утгуудыг холбосон шулуунуудын геометр байрыг ол.
$f(x)=x^3+ax^2+a$ функц $x=b$ цэгт $y=c$ минимум утга авдаг бол $P(b, c)$ цэгийн геометр байрыг ол.
Дараах функцүүдын экстремум утгуудыг ол.
- $y=-x^4+2x^2$
- $y=|x^3-3x^2+2|$
- $y=|x|(x^2-6x+3)$
$f(x)=x^3+ax^2+b$ байг.
- $b=1$ үед $f(x)$ функцийн минимум утга $c$ бол $P(a,c)$ цэгийн геометр байрыг ол.
- $0\leq x\leq 1$ үед $f(x)\geq 0$ байх $Q(a,b)$ цэгийн геометр байрыг ол.
Дараах функцүүдын экстремум утгуудыг ол.
- $y=x^4-4x^3$
- $y=|x|(x^2-5x+3)$
- $f(x)=x^4+4x^3-6ax^2$ функц максимум, минимум утгатай байх $a$-ийн утгуудыг ол.
- Дурын $x_1$, $x_2$ тоонуудын хувьд $x_1^4-3x_1^2+20x_1\geq -4x_2^2+26x_2+a$ нөхцөл биелэх $a$ тооны бүх утгуудыг ол.
$f\left( {x} \right) = \left( {x - 4} \right)^{2}\left( {x - 1} \right)$ функцийн максимум утгыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $4$
E. $5$
$f(x)=2x^3-15x^2+24x+15$ функцийн минимум утгыг ол.
A. $15$
B. $25$
C. $0$
D. $-1$
E. $-10$
$y=x^2-\ln x^2$ функцийн минимум утгыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. $e^2-e$
E. $-e$
$y=-\displaystyle\frac 13x^3+2.5x^2-4x+\displaystyle\frac 13$ функцийн экстремумуудын нийлбэрийг ол.
A. 1.5
B. 2
C. 3
D. 2.5
$y=-5x^3+6x^2+8$ функцийн экстремумуудын нийлбэрийг ол.
A. $16$
B. $17$
C. $19.28$
D. $17.28$
E. $18$
$y=\dfrac{9^{ax+5}}{3^{x^3-7x}}$ функц $x=3$ цэг дээр максимумтай байх $a$ параметрийн утгыг ол.
A. $10$
B. $-30$
C. $5$
D. $20$
E. $40$
$f(x)=8x-\dfrac{4}{x^2}$ функцийн максимумын цэгийг ол.
A. $x=-4$
B. $x=-2$
C. $x=0$
D. $x=2$
E. $x=-1$
$y=x^3+6x^2-63x+1$ функцийн экстремумуудын нийлбэрийг ол.
A. $204$
B. $188$
C. $302$
D. $280$
E. $286$
$y=\dfrac{1-x^2}{x-2}$ функцийн минимумын цэгийг ол.
A. $2+\sqrt3$
B. $2-\sqrt3$
C. $0$
D. $2$
E. $-2$
$f\left( {x} \right) = \left( {x - 4} \right)^{2}\left( {x - 1} \right)$ функцийн максимум утгыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $4$
E. $5$
Зураг дээр $f(x)$ функцийн уламжлал болох $f^\prime(x)$ функцийн график $[-4;7]$ завсарт өгөв. Энэ завсарын ямар утганд $f(x)$ функц хамгийн бага утга авах вэ?
A. $x=-1$
B. $x=-4$
C. $x=6$
D. $x=3$
E. $x=7$
Зураг дээр $f(x)$ функцийн уламжлал болох $f^\prime(x)$ функцийн график $[-2;3.5]$ завсарт өгөв. Энэ завсарын ямар утганд $f(x)$ функц хамгийн бага утга авах вэ?
A. $x=1.5$
B. $x=-2$
C. $x=-0.5$
D. $x=3$
E. $x=3.5$
$\displaystyle f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$ функц өгөгдөв. Тэгвэл $\displaystyle f(x)$ функц нь $x=-\fbox{a}$, $x=\fbox{b}$ үед
экстремумтай бөгөөд экстремум утгуудын ялгавар нь $\displaystyle \fbox{cd}$ байна.
$f(x)=px^3+qx^2+rx+s$ функц $x=-3$ үед максимум, $x=-1$ үед минимум утгаa авах ба максимум ба минимум утгын зөрөө 4, $f(1)=26$ бол $p=\fbox{a}$, $q=\fbox{b}$, $r=\fbox{c}$, $s=\fbox{de}$. $f(x)$ функцийн максимум утга $\fbox{fg}$, минимум утга $\fbox{h}$ байна.
$f(x)=2x^3-9x^2+12x+p$ функцийн график $x=\fbox{a}$ цэгт минимум утгатай, $x=\fbox{b}$ цэгт максимум утгатай байна. $f(x)=0$ тэгшитгэл $-\fbox{c}< p< -\fbox{d}$ үед $x_1< x_2< x_3$ гэсэн бодит шийдүүдтэй бөгөөд хэрвээ $x_1+x_3=2x_2$ бол $p=\fbox{ef.g}$ байна.
$f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$ функц өгөгдөв. Тэгвэл $\displaystyle f(x)$ функц нь $\displaystyle x=-\fbox{a}$ үед
максимум утгаа авах ба максимум, минимум утгуудын ялгавар нь $\displaystyle \fbox{bc}$ байна.
$f(x)=x^3-6x^2+9x-6$, $(\frac 12\leq x\leq 5)$ функц өгөгдсөн байг.
$f'(x)=\fbox{a}x^2-\fbox{bc}x+\fbox{d}$ тул экстрмумын цэгүүд $x_1=\fbox e, x_2=\fbox f$ байна. Иймд $x=\fbox g$ цэг дээр $y=\fbox{hi}$ хамгийн бага утгаа, $x=\fbox{j}$ цэг дээр $y=\fbox{kl}$ хамгийн их утгаа авна.
$f(x)=2x^3-3x^2-12x+24 (-2\leq x\leq 3)$ функц өгөгдсөн байг. $f'(x)=\fbox{a}x^2-\fbox{b}x-\fbox{cd}$ тул экстремумын цэгүүд $x_1=\fbox{ef}, x_2=\fbox 2$ байна. Иймд $x=\fbox h$ цэг дээр $y=\fbox{i}$ хамгийн бага утгаа, $x=\fbox{jk}$ цэг дээр $y=\fbox{lm}$ хамгийн их утгаа авна.
$f(x)=-2x^3-3x^2+12x$ функц өгөгдөв. Тэгвэл $\displaystyle f(x)$ функц нь $\displaystyle x=-\fbox{a}$ үед
минимум утгаа авах ба максимум, минимум утгуудын ялгавар нь $\displaystyle \fbox{bc}$ байна.
$f(x)=\ln\dfrac{mx^2+7}{nx+3}$ функц өгөв. ($m$, $n$ - тогтмол тоо)
- $f^\prime(3)=\dfrac{\fbox{a}m}{\fbox{b}m+\fbox{c}}-\dfrac{n}{\fbox{d}n+3}$
- Хэрэв $f(x)$ функц $x=3$ үед минимум утга нь 0 байх бол $m=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$, $n=\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ болно.
$f(x)=\ln\dfrac{mx^2+7}{nx+3}$ функц өгөв. ($m$, $n$ - тогтмол тоо)
- $f^\prime(2)=\dfrac{\fbox{a}m}{\fbox{b}m+\fbox{c}}-\dfrac{n}{\fbox{d}n+\fbox{e}}$
- Хэрэв $f(x)$ функц $x=2$ үед минимум утга нь 0 байх бол $m=\fbox{f}$, $n=\fbox{g}$ болно.
$f(x)=px^3+qx^2+rx+s$ функц $x=-3$ үед максимум, $x=-1$ үед минимум утгаa авах ба максимум ба минимум утгын зөрөө 4, $f(1)=26$ бол $p=\fbox{a}$, $q=\fbox{b}$, $r=\fbox{c}$, $s=\fbox{de}$. Максимум утга $\fbox{fg}$, минимум утга $\fbox{h}$
$f(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
2x^2+1&x\leq 1\\
4-x&x>1
\end{array}
\right.$ функц өгөгдөв.
- $f(0)+f(1)+f(2)=\fbox{a}$ /1 оноо/
- $\int\limits_0^2f(x)\,dx=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}$ /2 оноо/
- $f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}$ байна. /1 оноо/
- $g(a)=\int\limits_0^af(x)\,dx$ гэвэл $g(a)$ функцийн максимум утга $a=\fbox{f}$ үед $g_{\max}=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{i}}$ байна. /3 оноо/
$\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2-12x+7$ функц өгөгдөв. Тэгвэл $\displaystyle f(x)$ функц нь $x=-\fbox{a}$, $x=\fbox{b}$ үед
экстремумтай бөгөөд экстремум утгуудын ялгавар нь $\displaystyle \fbox{cd}$ байна.
Хотгор, гүдгэр функц
Цэгээс муруй хүртэлх зай
$y = x^{2}$, $M\left( {0;2,81} \right)$ бол $M$ цэгээс муруй хүртэлх хамгийн богино зайг ол.
$y = \sqrt {x + e^{ - x}} $, $M\left( {0;0} \right)$ бол $M$ цэгээс муруй хүртэлх хамгийн богино зайг ол.
$y = {\left| {x} \right|} \cdot \sqrt {4 - x} $, $M\left( { - 4;0} \right)$ бол $M$ цэгээс муруй хүртэлх хамгийн богино зайг ол.
$y = \sqrt {10 + x - 2x^{2}} $, $M\left( {0;0} \right)$ бол $M$ цэгээс муруй хүртэлх хамгийн богино зайг ол.
$M\left( \frac{1}{4};1 \right)$ цэгээс $y = x^{2} + \frac{1}{2}$ муруйн аль цэг хүртэлх зай хамгийн богино байх вэ?
A. $\Big(\dfrac12;\dfrac34\Big)$
B. $\Big(1;\dfrac32\Big)$
C. $\Big(-\dfrac12;\dfrac34\Big)$
D. $\Big(-1;\dfrac32\Big)$
E. $\Big(0;\dfrac12\Big)$
$x \in [4;7]$ үед $y = {\frac{{9}}{{x - 3}}}$ функцийн график дээрээс $A\left( {3;0} \right)$ цэг хүртэлх хамгийн бага зайтай цэг нь $(\fbox{a};\fbox{b})$ байна. Энэ үед хамгийн бага зай нь $S=\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ байна.
Шүргэгч ба нормал шулуун
$f(x) = 0.5x^{2} + x + 1$ функцийн $x_{0} = 2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = 2 + x - x^{2}$ функцийн $x_{0} = 2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = {\frac{{x^{2}}}{{6}}}$ функцийн $x_{0} = 2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = x - x^{2} + 3$ функцийн $x_{0} = 2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = x^{4} - 2x^{2}$ функцийн $x_{0} = 0.5$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = \sqrt {x} + 1$ функцийн $x_{0} = 4$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = e^{x} + 2$ функцийн $x_{0} = 0$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = \cos x$ функцийн $x_{0} = \dfrac{\pi}{4}$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = \sin \left( {x + \pi} \right) + 1$ функцийн $x_{0} = {\frac{{\pi} }{{4}}}$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = {\frac{{1}}{{2}}}\left( {e^{{\frac{{x}}{{2}}}} + e^{ - {\frac{{x}}{{2}}}}} \right)$ функцийн $x_{0} = 2\ln 2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$f\left( {x} \right) = \cos ^{2}x$ функцийн $x_{0} = {\frac{{\pi }}{{4}}}$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$y = 6x^{2} - 5x + 1$ функцийн графикийн абсцисс тэнхлэгтэй огтлолцох цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$y = x^{2} - 2x$ функцийн графикийн абсцисс тэнхлэгтэй огтлолцох цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$y = 8x^{3} - 1$ функцийн графикийн абсцисс тэнхлэгтэй огтлолцох цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$y = 3x^{3} + 2x + 5$ функцийн графикийн ординат тэнхлэгтэй огтлолцох цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$y = 4 + \sqrt[{2}]{{x^{5}}} + ctg\left( {2x + {\frac{{\pi }}{{2}}}} \right)$ функцийн графикийн ординат тэнхлэгтэй огтлолцох цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
$y=\dfrac12x^{2}$ функцийн графикийн $x_{0} = \dfrac{\sqrt {3}}{3}$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны $Ox$ тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг ол.
$y = 5 - 0.5x^{2}$ фунцкийн графикийн $x_{0} = - \sqrt {3} $ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны $Ox$ тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг ол.
$y = x^{3}$ фунцкийн графикийн $x_{0} = {\frac{{\sqrt {3}} }{{2}}}$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны $Ox$ тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг ол.
$y = x^{2} - 3x + 2$ функцийн графикийн $2x + y = 5$ шулуунтай параллел шүргэгчийн шүргэлтийн цэгийн абсциссийг ол.
$y = x^{2} - 2x + 5$ функцийн графикийн $y = 2x$ шулуунтай параллел шүргэгчийн шүргэлтийн цэгийн абсциссийг ол.
$y = 8\sin x + \sqrt {27} tgx + x$ функцийн графикийн $y = x + 3$; $x_{0} \in {\left[ { - \pi ;0} \right]}$ шулуунтай параллел шүргэгчийн шүргэлтийн цэгийн абсциссийг ол.
$y = \dfrac{x + 2}{x - 2}$ функцийн ямар цэгт татсан шүргэгч $Ox$ тэнхлэгтэй $135^{\circ}$ өнцөг үүсгэх вэ?
$y = {\frac{{2x - 2}}{{x + 1}}}$ функцийн графикт татсан шүргэгчийн өнцгийн коэфициент нь 4 бол уг шулууны координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгийг ол
$y = \dfrac{30}{x} - \dfrac{6x}{5}$ функцийн графикийн $A(5;0)$ цэгт шүргэгч шулуун татжээ. Уг шүргэгчийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцоход үүсэх хэрчмийн уртыг ол.
$y = {\frac{{2}}{{x}}} - {\frac{{8}}{{x^{3}}}} + x$ функцийн графикийн $x_{0} = 2$ цэгт татсан шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр үүсэх гурвалжны талбайг ол.
$y = {\frac{{1 - x^{3}}}{{x^{2}}}}$ функцийн графикийн $x_{0} = - 1$ цэгт татсан шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр үүсэх гурвалжны талбайг ол.
$y = {\frac{{x}}{{2x - 1}}}$ функцийн графикийн $x_{0} = 1$ цэгт татсан шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр үүсэх гурвалжны талбайг ол.
$f(x) = 2x^{4} - x^{3} - \dfrac{4}{3}x + 1$ функцийн графикийн $x = 0$ абсцисстай цэгт шүргэгч шулуун татжээ. Координатын эхээс энэ шулуун хүртэлх зайг ол.
$a$ параметрийн ямар утгад $y = 2x^{2} + 3x + 5$ параболын $x_{0} = - 2$ абсцисстай цэг дэх шүргэгч нь $y = - x^{2} + 4x + a$ параболын шүргэгч болох вэ?
$p$ параметрийн ямар утгад $y = 7x + p$ шулуун $f(x) = x^{3} - 5x - 7$ функцийн графикийг шүргэх вэ?
$y = 8x - x^{2} - 10$ функцийн графикт 2 шүргэгч шулуун татав. Эхнийхийг нь уг функцийн графикийн $x_{0} = 3$ абсцисстай цэгт, 2 дахийг нь максимумын цэгт нь татжээ. Эдгээр шүргэгч шулуун болон ординат тэнхлэгийн хооронд үүсэх гурвалжны талбайг ол.
$y=x^{2}-2x + 3$ функцийн графикт харилцан перпендикуляр 2 шүргэгч шулуун татаж болдог $Oy$ тэнхлэгийн цэгийг ол.
$y=\dfrac{x^{2}}{4}$ функцийн графикт харилцан перпендикуляр 2 шүргэгч татаж болох $2x-3y=6$ шулууны цэгийг ол.
$0< a< b$ байг. $y=x(x-a)(x-b)$ функцийн $x$ тэнхлэгийг огтлох $(0,0)$, $(a,0)$, $(b,0)$ цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд харгалзан $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ бөгөөд $\ell_1\perp \ell_2$, $\ell_2\perp \ell_3$ бол $a$, $b$-г ол.
- Дараах муруйн $P$ цэг дээрх шүргэгчийн тэгшитгэл бич.
- $y=-x^2+2x-3, P(2,-3)$
- $y=x^3, P(1, 1)$
- $C_1: y=4x^2$, $C_2: y=(x-3)^2$ байг. $C_1$ муруй дээр $P$ цэг, $C_2$ муруй дээр $Q$ цэг хөдөлнө. $P, Q$ цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд паралель байв. Ийм чанартай $PQ$ шулуунууд бүгд нэгэн тогтмол $A$ цэгийг дайрахыг харуулж $A$ цэгийг ол.
$C\colon y=x^3-x^2$ муруйн $P$ цэг дээрх шүргэгч шулуун нь $l$ байг.
- $l$ нь $O(0, 0)$ цэгийг дайрдаг бол $P$ цэгийн абсциссийг ол.
- $P$ цэгийн абсцисс нь $\alpha$ бол $l$ шулууны $C$ муруйг огтлох бусад цэгүүдийн абциссыг ол.
$y=x-1$ шулуун дээр орших $P$ цэгээс $y=x^2$ парабол руу татсан 2 шүргэгч ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн бага утгыг ол.
$C_1: y=x^3-3x, C_2:y=-x^2-x+5$ байг.
- $C_2$ муруйтай $(1, 0)$ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй муруй $C_3$-ийг ол.
- $C_1$ ба $C_3$-ийн ерөнхий шүргэгч шулуун $C_4$-ийг ол.
- $C_2$ ба $C_4$-өөр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S$-ийг ол.
$y=x^2$ параболын
$A(a,a^2), B(b,b^2) (a< b)$ цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд $S$ цэгт огтолцдог байг.
- $S$ цэгийн координатыг ол.
- $AS, SB$ хэрчмүүд, $y=x^2$ параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\dfrac{1}{12}(b-a)^3$ байхыг батал.
- $y=x^2$ параболын $C(c, c^2) (a< c< b)$ цэг дээрх шүргэгч $AS$ хэрчимтэй $P$, $SB$ хэрчимтэй $Q$ цэгт огтолцдог бол $AP, PQ, QB$ хэрчмүүд ба $y=x^2$ параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай хамгийн бага байх $C$ цэгийг ол.
$(1, 2)$ цэгийг дайрсан өнцгийн коэффициент нь $k$ байх шулуун $C: y=x^2$ параболыг $P, Q$ цэгээр огтолно. $C$ муруйн $P, Q$ цэгүүд дээрх шүргэгчүүд ба $C$-ээр хүрээлэгдсэн талбай $S$ бол
- $S$-ийг $k$-аар илэрхийл.
- $-3\leq x\leq 3$ үед $S$-ийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
$y=x^2-2px$ параболын $(t, t^2-2pt)$ цэг дээрх шүргэгчийг $y$ тэнхлэгийн дагуу $b$ нэгжээр зөөхөд гарах шулууныг $l(t, b)$ гэе. $l(t, b)$ шулуун параболтой 2 цэгээр огтолцоход үүссэн дүрсийн талбайг ол. $x=u$ гэсэн шулуун уг дүрсийн талбайг 2 тэнцүү хэсэгт хуваадаг бoл $u$-г ол.
$a$ бодит тоо
- $y=\dfrac{8}{27}x^3, y=(x+a)^2$ муруйнууд $x$ тэнхлэгээс ялгаатай 2 ерөнхий шүргэгч шулуунтай байх $a$-ийн утгын мужийг ол.
- (1)-д олдсон 2 шүргэгч ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S$-ийг $a$-аар илэрхийл.
$f(x)=3x^2-5x$ функц өгөгдөв.
- Функцийн графикийн $x=2$ ба $x=4$ абсцисстай цэгүүдийг дайрсан шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
- $x=2$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
- $y=3x^2-5x$ параболын $x=1$ абсцисстай цэг дээрх шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
$f(x)=x^3+px^2+2px+q$ функцийн графикийн $(0, f(0))$ ба $(2, f(2))$
цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд параллель бол $p$-г ол.
$y=x^3-x+1$ функцийн графикийн $(1, 1)$ цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
$y=x^3$ функцийн $(1, 1)$ цэгийг дайрсан шүргэгч шулуунуудыг ол.
$y=x^3+3x+4$ функцийн графикийн $P(x,x^3+3x+4)$ цэг дээрх шүргэгч шулуун $x$ тэнхлэгийг эерэг абсцисстай цэгээр огтлох $P$ цэгийн хувьсах мужийг ол.
$f(x)=2x^3-5x^2+5x$ функцийн графикийн $P(x,2x^3-5x^2+5x)$ цэг дээрх шүргэгч шулуун $x$ тэнхлэгийг эерэг абсцисстай цэгээр огтлох $P$ цэгийн хувьсах мужийг ол.
$f(x)$ куб функц байг. Хэрэв $y=f(x)$ функцийн $(-1, 9)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент $-12$ ба $f(x)$ функц нь $x=1$ үед минимум утга $-11$-ийг авдаг бол $f(x)$ функцийг ол.
$y=-x+4$ шулуун ба $y=x^3-3x^2+2x+k$ муруй шүргэлцдэг ба $y=x^3-3x^2+2x+k$ муруйг $x$ тэнхлэгийн дагуу $-1$, $y$ тэнхлэгийн дагуу $b$ нэгж зөөхөд $y=-x+1$ шулуунтай шүргэлцдэг бол $b$ ба $k$-г ол.
$y=ax^2, (a\not=1)$ муруйг $x$ тэнхлэгийн дагуу $p$ нэгж, $y$ тэнхлэгийн дагуу $q$ нэгж зөөхөд гарсан $C_{p, q}$ муруй $y=x^2$ муруйтай хоёр цэгээр огтолцоно. Эдгээрийн нэг огтолцол нь
$C_{p, q}$ муруйн орой ба нөгөө цэгтээ перпендикуляр\footnote{огтлолцлын цэгт татсан шүргэгч шулуунууд нь перпендикуляр} огтолцдог бол $p$, $q$-г ол.
$y=x^3-3x$ муруйд $P(a, b)$ цэгээс гурван шүргэгч татаж болдог байх $P$ цэгийн олонлогийг ол.
$y=x^4-2x^3+x$ муруйн $(1, 0)$ цэгийг дайрсан шүргэгч энэ муруйтай гурван ерөнхий цэгтэй бол шүргэгч шулууныг
ол.
$C\colon y=x^3+3x^2+x$, $A(1, \alpha)$ байг. $A$ цэгээс $C$ муруйд гурван шүргэгч татаж
болох $\alpha$-ийн утгын мужийг ол.
- $f^\prime(x)=2x^2-3x, f(0)=2$ нөхцөлүүдийг хангах $f(x)$ функцийг ол.
- $y=f(x)$ нь $(1, 0)$ цэгийг дайрдаг $(x, f(x))$ цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь $x^2-1$ бол $f(x)$ функцийг ол.
$f(x)$ функцийн графикт $P(2;1)$ цэгт татсан шүргэгч шулуун нь $y=3x-5$ шулуунтай параллел бол $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{2}\left\{f\Big(2+\dfrac1{3n}\Big)-f(2)\right\}$$ хязгаар бод.
A. $1$
B. $\frac12$
C. $-1$
D. $10$
E. $5$
$f(x)$ функцийн графикт $P(5;4)$ цэгт татсан шүргэгч шулуун $y=4x-1$ шулуунтай параллел бол $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{3}\left(f\Big(5+\dfrac1{4n}\Big)-f(5)\right)$$ хязгаар бод.
A. $3$
B. $\dfrac14$
C. $\dfrac{71}{12}$
D. $\dfrac{1}{14}$
E. $\dfrac{1}{3}$
$y=\dfrac18x^2+\dfrac12x+1$ функцийн графикийн $(0;1)$ цэгт татсан шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр хашигдсан мужийн талбайг ол.
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{1}{8}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $1$
E. $2$
Зурагт дүрслэгдсэн шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
A. $\dfrac{\sqrt2}{2}$
B. $135$
C. $1$
D. $-\dfrac{\sqrt2}{2}$
E. $45$
$f(x)=x^2+3x$ функцийн графикийн $x_0=-1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.
A. $2x$
B. $2x-1$
C. $x$
D. $x+1$
E. $x-1$
$f(x)=\dfrac{x^2-mx+2}{x+2}$ муруйн $x=-1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулуун $y=\frac23x+1$ шулуунтай параллель бол $m$-ийн утгыг ол.
A. $\dfrac{13}{3}$
B. $-\dfrac{13}{3}$
C. $\dfrac23$
D. $-\dfrac{17}{6}$
E. $\dfrac{13}{6}$
$y=\ln 2x$ функцийн графикийн $(\frac12;0)$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
A. $y=x-1$
B. $y=x-\frac12$
C. $y=2x-1$
D. $y=-x+0,5$
E. Энэ цэг дээр шүргэгч шулуун байхгүй
$y=x^2$ функцийн графикийн $(-1;1)$, $(2;4)$ цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудын хооронд үүсэх хурц өнцгийн тангесийг ол.
A. $1$
B. $-1$
C. $\dfrac23$
D. $\dfrac45$
E. $\dfrac67$
$y=x^2$ функцийн графикийн $x_0=5$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
A. $y=10x-25$
B. $y=-10x+35$
C. $y=10x$
D. $y=-10x$
E. $y=10x+15$
$y=\sqrt{x}$ функцийн графикийн $x_0=1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бич.
A. $y=\dfrac12x-\dfrac12$
B. $y=\dfrac32x-\dfrac12$
C. $y=x$
D. $y=\dfrac12x+\dfrac12$
E. $y=1$
$y=3x^3+2x^2+x$ функцийн графикийн $x=-1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $-4$
B. $2$
C. $6$
D. $8$
E. $14$
$y=2\sqrt{x}$ функцийн графикийн $x_0=1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулуун $OX$ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй ямар өнцөг үүсгэх вэ?
A. $15^\circ$
B. $30^\circ$
C. $45^\circ$
D. $60^\circ$
E. $75^\circ$
$y=\sqrt{x-1}$ функцийн графикийн $(2;1)$ цэг татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бич.
A. $y=2x-1$
B. $y=1-2x$
C. $y=\dfrac12x+\dfrac12$
D. $y=\dfrac12x$
E. $y=2x$
$y=e^x$ функцийн графикийн $x_0 =0$ абцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл бич.
A. $y=-x+1$
B. $y=x+1$
C. $y=x-1$
D. $y=-ex$
E. $y=ex+1$
$y=2x^3-x^2-6x$ муруйн $x=-1$ абсцисстай цэг дээр татсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
A. $y=x$
B. $2x-y+5=0$
C. $x-y+5=0$
D. $3x-2y+5=0$
$y=\displaystyle\frac 13x^3-x^2-\displaystyle\frac 23$ муруйн OX тэнхлэгтэй параллель шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
A. $y+\displaystyle\frac 23=0$
B. $y+2=0$
C. $y-\displaystyle\frac 23=0$ ба $y-2=0$
D. $y+\displaystyle\frac 23=0$ ба $y+2=0$
$y=2+x+x^2-x^3$ функцийн графикийн абсцисс тэнхлэгийг огтлох цэгт нь татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.
A. $y=7x+14$
B. $y=-7x+14$
C. $y=-7x-14$
D. $y=7x-14$
E. $y=-7x+2$
Зурагт дүрслэгдсэн шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
%
A. $\sqrt3$
B. 120
C. 1
D. $\dfrac{\sqrt3}{3}$
E. 60
$y=-2x^2+3x+6$ параболын $x_0=-1$ цэг дээрх шүргэгчийн $OY$ тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол.
A. $(0;0)$
B. $(0;8)$
C. $(2;0)$
D. $(0;6)$
E. $(0;-1)$
$y=\dfrac{x}{2x-1}$ муруйн $x_0=1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх гурвалжны талбайг ол.
A. $1$
B. $4$
C. $2$
D. $6$
E. $\dfrac12$
$y=x^3-3x^2+4x+1$ муруйн $x=1$ цэг дээрх шүргэгч шулуун ба $OX$, $OY$ тэнхлэгийн огтлолд үүсэх гурвалжны талбайг ол.
A. $2$
B. $2.5$
C. $3$
D. $3.5$
E. $4$
$y=4-x$ шулуун $m$-ийн ямар утганд $f(x)=e^{-x}-m$ функцийн графикт татсан шүргэгч байх вэ?
A. $m=-3$
B. $m=2$
C. $m=3$
D. $m=-2$
E. $m=4$
$y=\dfrac{1-x^3}{x}$ муруйн $x_0=-1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх гурвалжны талбайг ол.
A. $\dfrac94$
B. $\dfrac92$
C. $4$
D. $6$
E. $3$
$y=-x^3-3x^2-4x+1$ муруйн $x=-1$ цэг дээрх шүргэгч шулуун ба $OX$, $OY$ тэнхлэгийн огтлолд үүсэх гурвалжны талбайг ол.
A. $4$
B. $3.5$
C. $3$
D. $2.5$
E. $2$
$f(x)=x^2-3x$ функцийн графикийн $x_0=1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.
A. $-x-1$
B. $2x-1$
C. $x$
D. $2x+1$
E. $x-1$
$y=x^2$ параболын $x=-1$ ба $x=3$ абсцисстэй цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол.
A. $(1,-3)$
B. $(1,-4)$
C. $(2,-4)$
D. $(1.5,-3.5)$
E. $(0,-3)$
$y=x^2$ параболын $x=-3$ ба $x=1$ абсцисстэй цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол.
A. $(-1,-3)$
B. $(-1,-4)$
C. $(-2,-4)$
D. $(0,-3)$
E. $(-1.5,-3.5)$
$y=\dfrac16x^2+\dfrac13x-1$ функцийн графикийн $(0;-1)$ цэгт татсан шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр хашигдсан мужийн талбайг ол.
A. $3$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $1$
D. $\dfrac{3}{2}$
E. $2$
$ A$, $ B$ олонлогуудын хувьд $ |A|=8 $, $|A B|=3 $ $ |A B|=14 $ бол $ |B|$ =?
A. $ 8$
B. $ 3$
C. $ 19$
D. $ 9$
E. $ 6$
$y=x^2$ функцийн графикийн $A(1,1)$, $B(3,9)$ цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунууд $C$ цэгт огтлолцжээ. $C$ цэгийн абсциссыг ол.
A. $1$
B. $1.75$
C. $2$
D. $2.25$
E. $3$
$y =\dfrac{12}{x}$ функцийн графикийн $x_0 = -2$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.
A. $ y = 3x$
B. $y = -3x$
C. $ y = -3x - 6$
D. $y = 3x - 12$
E. $y = -3x - 12$
$y =\dfrac{12}{x}$ функцийн графикийн $x_0 = -2$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.
A. $ y = 3x$
B. $y = -3x$
C. $ y = -3x - 6$
D. $y = 3x - 12$
E. $y = -3x - 12$
$y =\dfrac{8}{x}$ функцийн графикийн $x_0 = -2$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.
A. $ y = -2x-8 $
B. $y = -2x$
C. $ y = -2x - 6$
D. $y = -2x +8$
E. $y = 2x - 8 $
$y=\dfrac6{\sqrt x}$; $y=\dfrac{12}{\sqrt x}-2\sqrt x$ муруйнуудын
- Огтлолцлын цэг $M(\fbox{a};\fbox{b}\sqrt{\fbox{a}})$ (2 оноо)
- $M$ цэгт татсан шүргэгчүүдийн өнцгийн коэффициент харгалзан $k_1=-\dfrac{1}{\sqrt{\fbox{c}}}$; $k_2=-\sqrt{\fbox{d}}$ (2 оноо)
- Шүргэгч шулуунуудын $OX$ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцгүүдийн ялгавар нь $\alpha_1-\alpha_2=\dfrac{\pi}{\fbox{e}}$ (1 оноо)
- $f(x)=\dfrac{6}{\sqrt x}$ функцийн графикийн $M$ цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь $y=-\dfrac{1}{\sqrt{\fbox{c}}}x+\fbox{f}\sqrt{\fbox{g}}$ байна. (2 оноо)
$C\colon y=x^2-x+1$ параболын $A(1;1)$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $y=\fbox{a}x+\fbox{b}$. Энэ шүргэгч шулуун, $x=0$ шулуун ба $C$ параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь $$\displaystyle\int\limits_{\fbox{c}}^{\fbox{d}}(x-\fbox{e})^2 \,\mathrm{d}x=\frac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$$ байна.
$y=x^2+x+1$ параболын $x=1$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $y=\fbox{a}x+\fbox{b}$ байна. Энэ шулуунтай перпендикуляр координатын эхийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $x+\fbox{c}y+\fbox{d}=0$ байна.
$k>0$ байг. $C\colon y=x^2$ параболын $(k,k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг $\ell$ гэе.
- $\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}kx-k^2$ болно.
- $C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$.
- $S=72$ бол $k=\fbox{d}$ байна.
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ ба $g(x)=\sqrt{x}$ функцүүдийн график $A(\fbox{a},\fbox{b})$ цэгт огтлолцоно. $f(x)$ функцийн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{cd}x+\fbox{e}$, $g(x)$ функцийн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\dfrac{1}{\fbox{f}}x+\dfrac{1}{\fbox{g}}$ байна. Эдгээр шүргэгч шулуунуудын хоорондох хурц өнцөг нь $\arctg\fbox{h}$ байна.
$y=x^2$ параболыг $A(1;1)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$, $B(3;9)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл ${y=\fbox{c}x-\fbox{d}}$ байна. Эдгээр шүргэгч шулуунууд $C(\fbox{e};\fbox{f})$ цэгүүдэд огтлолцоно. Парабол болон түүний хоёр шүргэгчийн хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.
$y=x^2$ параболыг $A(1;1)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$, $B(3;9)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл ${y=\fbox{c}x-\fbox{d}}$ байна. Эдгээр шүргэгч шулуунууд $C(\fbox{e};\fbox{f})$ цэгүүдэд огтлолцоно. Парабол болон түүний хоёр шүргэгчийн хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.
$k>0$ байг. $C\colon y=x^2$ параболын $(k,k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг $\ell$ гэе.
- $\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}kx-k^2$ болно.
- $C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$.
- $S=72$ бол $k=\fbox{d}$ байна.
$f(x)=x^2-4x+5$ функц өгөгдөв.
- $x=0$ абсцисстэй цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{ab}x+\fbox{c}$ байна.
- $x=1$ шулуун $f(x)$ функцийн график болон дээрх шүргэгч шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{1}{\fbox{d}}$ байна.
- Шүргэгч шулуунд перпендикуляр $(0;5)$ цэгийг дайрсан шулуун тэгшитгэл нь $y=\dfrac{1}{\fbox{e}}{x}+\fbox{f}$ ба энэ шулууны $OX$ тэнхлэгийг огтлох цэг нь $x=\fbox{ghi}$
$k>0$ байг. $C\colon y=x^2$ параболын $(k, k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг $\ell$ гэе.
- $\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}kx-k^2$ болно.
- $C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$.
- $S=72$ бол $k=\fbox{d}$ байна.
$y=x^2$ парабол өгөгдөв.
- Уг параболын $x=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$
- Уг парабол, түүний $x=2$ цэгт татсан шүргэгч шулуун, $OY$ тэнхлэгээр үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$.
$y=x(x-4)^3$ муруйн $M_1(\fbox{a},-\fbox{bc}), M_2(\fbox{d},\fbox{e})$ цэгүүд дээр татсан шүргэгч нь абсцисс тэнхлэгтэй параллель байна.
$y=\displaystyle\frac{x-4}{x-2}$ муруйн координатын тэнхлэгүүдтэй огтолцсон $M_1(\fbox{a},0)$, $M_2(0,\fbox{b})$ цэгүүд дээр уг муруйд татсан шүргэгчүүдийн өнцгийн коэффициентүүд нь $k_1=k_2=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ тул шүргэгчүүд параллель байна.
$y=\displaystyle\frac 23x^5-\displaystyle\frac{x^3}9$ муруйн $x=1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч нь $y-\displaystyle\frac {5}{\fbox{a}}=\fbox{b}\cdot (x-1)$ тул түүний ординат тэнхлэгтэй үүсгэх өнцөг нь $\varphi=\displaystyle\frac {\pi}{\fbox{c}}-\arctg\fbox{d}$ болно.
$y=\displaystyle\frac 6{\sqrt{x}}; y=\displaystyle\frac{12}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}$ муруйнуудын огтлолын цэг $M\bigg(\fbox{a},\displaystyle\frac {6}{\sqrt{\fbox{b}}}\bigg)$ дээр муруй тус бүрт татсан шүргэгчүүдийн өнцгийн коэффициентүүд нь $k_1=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\fbox c}}$; $k_2=\displaystyle\frac {1}{k_1}$ учраас тэдгээрийн абсцисс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцгүүдийн ялгавар нь $\alpha_1-\alpha_2=\displaystyle\frac {\pi}{\fbox{d}}$ болно.
$y=x^3-3x^2+2x+5$ муруйн $A(\fbox{a},\fbox{b})$ цэг дээр татсан шүргэгч $y=-x+1$ шулуунтай параллель байна.
$y=\displaystyle\frac 23+3x-x^2-\displaystyle\frac{x^3}3$ муруйн $B(\fbox{ab},\fbox{cd})$ цэг дээр татсан шүргэгч $y=4x-3$ шулуунтай параллель байна.
$y=x^2-9x+13$ муруйн $A(\fbox{a},\fbox{bc})$ цэг дээр татсан шүргэгч $y=-5x+7$ шулуунтай параллель байна.
$y=3+2x-x^2$ муруйн $B(\fbox{c},\fbox{d})$ цэг дээр татсан шүргэгч $y=-2x+1$ шулуунтай параллель байна.
$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-x$ байг. $y=f(x)$-ийн графикийг ялгаатай хоёр цэгээр шүргэх шулуун ба шүргэлтийн цэгийн абсциссийг ол. Шүргэгч шулуун нь $y=\fbox{a}x+\fbox{b}$, шүргэлтийн цэгүүд нь $(\fbox{c};\fbox{d})$ ба $(\fbox{e};\fbox{fg})$ байна.
$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функц өгөгдөв.
- $y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функцийн $x_0=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$;
- $y=\dfrac{x-2}{x-1}$, $x=2$, $x=5$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}-\ln\fbox{d}$;
- $y=5x+5$ шулуунд перпендикулар ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-6=0$;
- $y=\dfrac{x-2}{x-1}$ муруй ба $x-3y-2=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac{2}{3}\sqrt{\fbox{gh}}$.
$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц өгөгдөв.
- $y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн $x_0=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=-\fbox{a}x+\fbox{b}$
- $y=\dfrac{x}{x-1}$, $x=2$, $x=4$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}+\ln\fbox{d}$
- $y=2x+5$ шулуунд перпендикуляр ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-3=0$.
- $y=\dfrac{x}{x-1}$ функц ба $x+5y-12=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac45\sqrt{\fbox{gh}}$
$y=x^2$ функцийн $A(1,1)$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ байна. $A$ цэгийг агуулсан шүргэгчид перпендикуляр шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{c}x+\fbox{d}y-3=0$ байна.
$y=x^4$ ба $y=\sqrt[4]{x}$ муруйнууд $]0;+\infty]$ завсарт:
- $A(\fbox{a};\fbox{b})$ цэгээр огтлолцоно.
- $y=x^4$ муруйн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулуун нь $y=\fbox{c}\cdot x-\fbox{d}$ тэгшитгэлтэй байна.
- $y=\sqrt[4]{x}$ муруйн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулуун нь $x-\fbox{e}\cdot y+\fbox{f}=0$ байна.
- Эдгээр шулуунуудын хооронд $\alpha=\arctg\dfrac{\fbox{gh}}{8}$ хурц өнцөг үүснэ.
$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц өгөгдөв.
- $y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн $x_0=0$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=-\fbox{a}x+\fbox{b}$;
- $y=\dfrac{x}{x-1}$, $x=2$, $x=5$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}+\ln\fbox{d}$;
- $y=3x+5$ шулуунд перпендикулар ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-4=0$;
- $y=\dfrac{x}{x-1}$ муруй ба $x+4y-10=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac{3}{4}\sqrt{\fbox{gh}}$.
$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функц өгөгдөв.
- $y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функцийн $x_0=0$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=\fbox{a}x+\fbox{b}$;
- $y=\dfrac{x-2}{x-1}$, $x=2$, $x=4$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}-\ln\fbox{d}$;
- $y=4x+5$ шулуунд перпендикулар ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-5=0$;
- $y=\dfrac{x-2}{x-1}$ муруй ба $x-3y+6=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac23\sqrt{\fbox{gh}}$.
$y=1+\dfrac{6}{\sqrt{x}}$; $y=1-2\sqrt{x}+\dfrac{12}{\sqrt{x}}$ муруйнуудын
- Огтлолцлын цэг $M(\fbox{a};\fbox{b}\sqrt{\fbox{a}}+\fbox{c})$;
- $M$ цэгт татсан шүргэгчүүдийн өнцгийн коэффициент харгалзан $k_1=-\dfrac{1}{\sqrt{\fbox{d}}}$; $k_2=-\sqrt{\fbox{e}}$;
- Шүргэгч шулуунуудын $OX$ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцгүүдийн ялгавар $\alpha_1-\alpha_2=\dfrac{\pi}{\fbox{f}}$;
- $f(x)=1+\dfrac{6}{\sqrt{x}}$ функцийн графикийн $M$ цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь $y=-\dfrac{1}{\sqrt{\fbox{d}}}x+\fbox{g}\sqrt{\fbox{a}}+\fbox{c}$ байна.
$f(x)=x^2-8x+17$ функц өгөгдөв.
- $f(x)$ функцийн $x_0=5$ абсцисстэй $M$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ (2 оноо).
- $f(x)$ функцийн график, дээрх шүргэгч шулуун болон координатын тэнхлэгүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\dfrac{\fbox{cd}}{3}$ (2 оноо).
- $f(x)$ функцийн графикийг $M$ цэгт шүргэх, төв нь $OX$ (абсцисс) тэнхлэг дээр орших тойргийн тэгшитгэл $(x-\fbox{e})^2+y^2=\fbox{fg}$ (3 оноо).
$y=x^2+4x+8$ параболын $x=x_1$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь
$$y=(2x_1+\fbox{a})x+\fbox{b}-x_1^2,$$ $y=x^2+8x+4$ параболын $x=x_2$ абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь
$$y=(2x_2+\fbox{c})x+\fbox{d}-x_2^2$$ байна. Иймд параболуудын ерөнхий шүргэгч нь
$$y=\fbox{e}x+\fbox{f}$$
байна.
$y=\dfrac{4-x}{x+3}$ функцийн $x=\fbox{a}$, $x=-\fbox{bc}$ цэгүүд дээрх шүргэгч шулуунууд нь $x+7y-7=0$ шулуунтай параллель байна. $x=-\fbox{bc}$ цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $x+7y+\fbox{de}=0$ байна.
$\ell_1: y=\dfrac6{\sqrt x}$; $\ell_2: y=\dfrac{12}{\sqrt x}-2\sqrt x$ муруйнуудын
- Огтлолцлын цэг $M(\fbox{a};\fbox{b}\sqrt{\fbox{a}})$ (1 оноо)
- $M$ цэгт татсан шүргэгчүүдийн өнцгийн коэффициент харгалзан $k_1=-\dfrac{1}{\sqrt{\fbox{c}}}$; $k_2=-\sqrt{\fbox{d}}$ (1 оноо)
- Шүргэгч шулуунуудын $OX$ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцгүүдийн ялгавар нь $\alpha_1-\alpha_2=\dfrac{\pi}{\fbox{e}}$ (1 оноо)
- $f(x)=\dfrac{6}{\sqrt x}$ функцийн графикийн $M$ цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь $y=-\dfrac{1}{\sqrt{\fbox{c}}}x+\fbox{f}\sqrt{\fbox{g}}$ байна. (2 оноо)
$y=x^2$ параболын $x=2$ абцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь
$$y=\fbox{a}x-\fbox{b}$$ (2 оноо)
ба энэ шүргэгчтэй перпендикуляр шүргэгчийн тэгшитгэл нь
$$y=-\dfrac{1}{\fbox{a}} x-\dfrac{1}{\fbox{cd}}$$
байна (3 оноо).
Эдгээр шүргэгчүүд ба параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{\fbox{efgh}}{6144}$ байна (3 оноо).
$y=x^2$ параболын $x=3$ абцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь
$$y=\fbox{a}x-\fbox{b}$$ (2 оноо)
ба энэ шүргэгчтэй перпендикуляр шүргэгчийн тэгшитгэл нь
$$y=-\dfrac{1}{\fbox{a}} x-\dfrac{1}{\fbox{cde}}$$
байна (3 оноо).
Эдгээр шүргэгчүүд ба параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{\fbox{fghij}}{20736}$ байна (3 оноо).
$0< a< b$ байг. $y=x(x-a)(x-b)$ функцийн $x$ тэнхлэгийг огтлох $(0,0)$, $(a,0)$, $(b,0)$ цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд харгалзан $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ бөгөөд $\ell_1\perp \ell_2$, $\ell_2\perp \ell_3$ бол
- $y^\prime=\fbox{a}x^2-\fbox{b}(a+b)x+ab$ байна.
- $b=\fbox{c}a$ байна.
- $a=\dfrac{1}{\sqrt[4]{\fbox{d}}}$, $b=\sqrt[4]{\fbox{e}}$ байна.