Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)$ нь дурын $x, y$-бодит тооны хувьд
1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
2. $f^\prime (0)=2$
нөхцөлийг хангах функц бол $f^\prime (x)$-ийг ол.
$(x+1)\cdot f^\prime (x)=3f(x)$, $f(0)=1$ байх олон гишүүнт $f(x)$-ийг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: (2)-д олон гишүүнтийн зэргийг тодорхойлох нь маш чухал.

Бодолт:

[A] нөхцөлд $y=0$ гэвэл $f(x)=f(x)+f(0)$ болох тул $f(0)=0$. [B] нөхцөлөөс $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h-0}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(h)}{h}=2$ юм.

$f(x+h)-f(x)=f(x)+f(h)-f(x)=f(h)$ тул $$f^\prime (x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(h)}{h}=2$$ байна.
$f(x)$-ийн ахлах гишүүн $ax^n$ гэе ($a\ne 0$, $n$-натурал тоо). Тэгвэл $f^\prime (x)$ -ийн ахлах гишүүн нь $n\cdot ax^{n-1}$ болно. $f^\prime (x)\cdot (x+1)$ олон гишүүнтийн ахлах гишүүн нь $nax^n$ болно. Иймд $nax^n=3ax^n$ гэдгээс $n=3$ байна. $f(0)=1$ нөхцлийг тооцвол $f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$ юм. $$(x+1)(3ax^2+2bx+c)=3(ax^3+bx^2+cx+1)$$ олон гишүүнтийн тэнцэлээс $a=1$, $b=3$, $c=3$ болохыг харахад төвөггүй. Иймд $f(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$ байна.