Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Муруйн цэг ба шулууны хоорондын зай
$A(0,-2)$, $B(4,0)$ цэгүүд ба $y=x^2$ парабол дээр хөдөлж буй $P$ цэгүүдээр тодорхойлогдох $S_{\triangle PAB}$-ийн хамгийн бага утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $S_{\triangle PAB}=\dfrac 12\cdot AB\cdot$($P$ ба $AB$-ийн хоорондох
зай) ба $AB$-нь тогтмол тул $P$ цэг ба $AB$-ийн хоорондын зайн
хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай. Түүнчлэн $P$ нь $y=x^2$ параболын цэг учраас
координат нь $P(t, t^2)$ байна.
Бодолт: $P$ цэг $y=x^2$ параболын цэг тул координатыг нь $(t, t^2)$
гэе. $AB$ шулууны тэгшитгэл $x-2y-4=0$ $\Rightarrow$ $P$ цэг ба
$AB$ шулууны хоорондын зай $\displaystyle d=\dfrac{|t-2t^2-4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{|2t^2-t+4|}{\sqrt{5}}$,\\ $S_{\triangle PAB}=\dfrac 12AB\cdot d$ ба $AB=\sqrt{(-2)^2+4^2}=
\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ тул
$$S_{\triangle PAB}=\dfrac 12\cdot2 \sqrt{5}\cdot\dfrac{|2t^2-t+4|}{\sqrt{5}}=|2t^2-t+4| $$
$2t^2-t+4=2\left(t-\dfrac14\right)^2+\dfrac{31}{8}>0$ тул $S_{\triangle PAB}=2t^2-t+4$ юм. Иймд $S_{\triangle PAB}$-ийн хамгийн бага утга $t=\dfrac14$ үед
$\dfrac{31}8$ байна.