Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)=x^4+4x^3-6ax^2$ функц максимум, минимум утгатай байх $a$-ийн утгуудыг ол.
Дурын $x_1$, $x_2$ тоонуудын хувьд $x_1^4-3x_1^2+20x_1\geq -4x_2^2+26x_2+a$ нөхцөл биелэх $a$ тооны бүх утгуудыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $f(x_1)\geq g(x_2)$ нөхцөл дурын $x_1$, $x_2$ тооны хувьд биелэх бол $f(a)$-ийн хамгийн бага утга $g(x)$-ийн хамгийн их утгаас их байна.

Бодолт:

$f^\prime (x)=4x^3+12x^2-12ax=4x(x^2+3x-3a)$ байна. $f(x)$ максимум утгатай байхын тулд $f^\prime (x)$ -ийн утга $x$ нь өсөхөд эерэгээс сөрөг болж шилжих ёстой. Иймд $f^\prime (x)=0$ тэгшитгэл 3 ялгаатай шийдтэй байх ёстой. $4x(x^2+3x-3a)=0, x=0, x^2+3x-3a=0\Rightarrow3a\neq0, D=9+12a>0$ буюу $-3/4< a< 0\cup0< a$ үед $f(x)$ нь максимум утгатай.
$f(x)=x^4-3x^2+20x$, $g(x)=-4x^2+26x+a$ гэе. Түүнчлэн $f(x)$-ийн хамгийн бага утгыг $m$, $g(x)$-ийн хамгийн их утгыг $M$ гэе. $f^\prime (x)=4x^3-6x+20=2(x+2)(2x^2-4x+5)$ тул $m=f(-2)=-36$ байна. $g^\prime (x)=-8x+26$ тул $M=g\left(-\dfrac{13}{4}\right)=\dfrac{169}{4}+a$ байна. $m\geq M$ тул $-36\geq \dfrac{169}{4}+a$ буюу $a\leq -\dfrac{313}{4}$ болно.

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.