Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

ЭЕШ 2015 A №39

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц өгөгдөв.

  1. $y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн $x_0=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=-\fbox{a}x+\fbox{b}$
  2. $y=\dfrac{x}{x-1}$, $x=2$, $x=4$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}+\ln\fbox{d}$
  3. $y=2x+5$ шулуунд перпендикуляр ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-3=0$.
  4. $y=\dfrac{x}{x-1}$ функц ба $x+5y-12=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac45\sqrt{\fbox{gh}}$

ab = 14
cd = 23
ef = 12
gh = 26
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 17.45%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар:
  1. $y=f(x)$ функцийн графикийн $(x_0,f(x_0))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл: $$y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
  2. $[a,b]$ мужийн дурын $x$ цэг дээр $g(x)\le f(x)$ бол $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$, $y=g(x)$ муруйнуудаар үүсэх дүрсийн талбай нь $$S=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x$$ байна.
  3. Харилцан перпендикуляр шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр $-1$ байдаг.
  4. $y=f(x)$, $y=g(x)$ муруйнуудын огтолцлын цэгийн координат нь $$\bigg\{\begin{array}{c} y=f(x)\\ y=g(x)\end{array}$$ систем тэгшитгэлийн шийд байна. Иймд $f(x)=g(x)$ тэгшитгэлийг бодож огтолцлын цэгийн ординатуудыг олно.
Бодолт:
  1. $y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн уламжлал $$y^\prime=\dfrac{x^\prime (x-1)-x(x-1)^\prime}{(x-1)^2}=-\dfrac{1}{(x-1)^2}$$ $y^\prime(2)=-\dfrac{1}{(2-1)^2}=-1$, $y(2)=\dfrac{2}{2-1}=2$ тул бидний олох шүргэгчийн тэгшитгэл $$y=-(x-2)+2=-x+4$$
  2. $[2;4]$ мужид $0\le \dfrac{x}{x-1}$ тул бидний олох талбай нь \begin{align*} S&=\int_2^4\dfrac{x}{x-1}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_2^4\left[1+\dfrac{1}{x-1}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\left[x+\ln(x-1)\right]\Big|_2^4\\ &=4+\ln(4-1)-2-\ln(2-1)\\ &=2+\ln3 \end{align*}
  3. $y=2x+5$ шулуунд перпендикуляр шулууны өнцгийн коэффициент нь $k=-\dfrac{1}{2}$ тул $y=-\dfrac12x+b$ хэлбэртэй байна. Энэ шулуун дээр $(1;1)$ цэг орших бол $$1=-\dfrac12\cdot 1+b\Rightarrow b=\dfrac32$$ иймд бидний олон шулууны тэгшитгэл нь $y=-\dfrac12x+\dfrac32$ буюу $$x+2y+3=0$$ байна.
  4. $y=\dfrac{x}{x-1}$ функц ба $x+5y-12=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн нь $$ \left\{\begin{array}{c} y=\dfrac{x}{x-1}\\ x+5y-12=0 \end{array} \right.$$
системийн шийд байна. 2 дахь тэгшитгэлээс $x=12-5y$ тул $$y=\dfrac{12-5y}{11-5y}\Rightarrow 5y^2-16y+12=0$$ $$y=\dfrac{16\pm\sqrt{16^2-4\cdot 5\cdot 12}}{2\cdot 5}=\dfrac{16\pm4}{10}$$ тул $y_1=2$, $y_2=\dfrac{6}{5}$ тул $x_1=12-5\cdot2=2$, $x_2=12-5\cdot\dfrac65=6$ байна. $(2;2)$, $\left(6;\dfrac65\right)$ цэгүүдийн хоорондох зай $$d=\sqrt{(6-2)^2+\left(\dfrac65-2\right)^2}=\dfrac45\sqrt{26}$$

Сорилго

ЭЕШ 2015 A  2017-01-19  ЭЕШ 2015 A alias  Тодорхой интеграл  ЭЕШ 2015 A тестийн хуулбар  Координатын арга А хэсэг тестийн хуулбар  Даалгавар 3 

Түлхүүр үгс

  • Шүргэгч ба нормал шулуун
  • Интеграл ашиглан талбай бодох
  • Координатын аргын үндсэн томьёонууд
  • Шулууны тэгшитгэл
  • ЭЕШ 2015 A