Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №4932
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=7$, $BC=8$, $CA=9$ нэгж ба $BC$ тал дээр дурын $M$ цэг авч, $AB$-тэй параллель $MN$ ($N\in AC$) хэрчим татав. $AMN$ гурвалжны талбайн хамгийн их утгыг ол.
Бодолт: $AN=x$ гэж тэмдэглээд $ABC$ ба $NMC$ гурвалжнууд төсөөтэй гэдгийг ашиглан $NMC$ буюу $AMN$ гурвалжны $M$ оройгоос татсан өндрийг $x$-ээр илэрхийлж болох ба улмаар талбай нь $x$-ээр $S(x)=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}(\fbox{c}x-x^2)}{\fbox{de}}$ гэж илэрхийлэгдэнэ. Энэ функцээс уламжлал авч 0-тэй тэнцүүлээд гарсан тэгшитгэлийг бодвол $\fbox{e,f}$ бутархай гарна. Буцааж орлуулаад $S_{\max}=\fbox{h}\sqrt{\fbox{b}}$ болно.
abcde = 45927
fg = 45
h = 3
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 20.63%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $h_b=\dfrac{2S}{CA}$ байна. $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ Героны томьёогоор $S$-ийг олно. $NC=9-x$ байх тул $NMC$ ба $ABC$ гурвалжны төсөөгөөс $\dfrac{h}{h_b}=\dfrac{9-x}{9}$ байна.
Бодолт: $p=\dfrac{7+8+9}{2}=12\Rightarrow S=\sqrt{12\cdot5\cdot 4\cdot 3}=12\sqrt5$ байна. Иймд $h_b=\dfrac{2S}{9}=\dfrac{8\sqrt5}{3}$ байна. $S(x)=\dfrac12\cdot x\cdot h=\dfrac{4\sqrt5(9x-x^2)}{27}$ байна. $S^\prime(x)=0\Rightarrow 9-2x=0\Rightarrow x=4.5$. Буцааж орлуулаад $S_{\max}=3\sqrt{5}$ байна.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.