Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2011 D №25
$y=x^4$ ба $y=\sqrt[4]{x}$ муруйнууд $]0;+\infty]$ завсарт:
- $A(\fbox{a};\fbox{b})$ цэгээр огтлолцоно.
- $y=x^4$ муруйн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулуун нь $y=\fbox{c}\cdot x-\fbox{d}$ тэгшитгэлтэй байна.
- $y=\sqrt[4]{x}$ муруйн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулуун нь $x-\fbox{e}\cdot y+\fbox{f}=0$ байна.
- Эдгээр шулуунуудын хооронд $\alpha=\arctg\dfrac{\fbox{gh}}{8}$ хурц өнцөг үүснэ.
ab = 11
cd = 43
ef = 43
gh = 15
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 20.54%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Графикийг зурж үз. Графикийн $(x_0,f(x_0))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $$y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$ байна.
$y=k_1x+a_1$, $y=k_2x+a_2$ шулуунуудын хоорондох өнцгийн тангес нь $$\tg\alpha=\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}$$ байна.
$y=k_1x+a_1$, $y=k_2x+a_2$ шулуунуудын хоорондох өнцгийн тангес нь $$\tg\alpha=\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}$$ байна.
Бодолт: 
Графикаас огтлолцлын цэг нь $A(1,1)$ болох нь харагдаж байна.
$f(x)=x^4$, $g(x)=\sqrt[4]{x}$ гэвэл $(x^\alpha)^\prime=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ тул $f^\prime(x)=(x^4)^\prime=4\cdot x^{4-1}=4x^3$ ба $g^\prime(x)=(\sqrt[4]{x})^\prime=(x^{\frac14})^\prime=\frac14\cdot x^{\frac14-1}=\frac{1}{4x^{3/4}}$ байна.
$f(x)$ функцийн $(1,f(1))=(1,1)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $$y=f^\prime(1)(x-1)+1=4\cdot 1^3(x-1)+1=4x-3,$$ $g(x)$ функцийн $(1,g(1))=(1,1)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $$y=g^\prime(1)(x-1)+1=\frac{1}{4\cdot 1^{\frac34}}(x-1)+1=\frac14x+\frac34$$ буюу $x-4y+3=0$ байна.
Шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүд нь $4$ ба $\frac34$ тул хоорондох өнцгийн тангес нь $$\tg\alpha=\dfrac{4-\frac14}{1+4\cdot\frac14}=\dfrac{15}{8}$$ байна.
$f(x)=x^4$, $g(x)=\sqrt[4]{x}$ гэвэл $(x^\alpha)^\prime=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ тул $f^\prime(x)=(x^4)^\prime=4\cdot x^{4-1}=4x^3$ ба $g^\prime(x)=(\sqrt[4]{x})^\prime=(x^{\frac14})^\prime=\frac14\cdot x^{\frac14-1}=\frac{1}{4x^{3/4}}$ байна.
$f(x)$ функцийн $(1,f(1))=(1,1)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $$y=f^\prime(1)(x-1)+1=4\cdot 1^3(x-1)+1=4x-3,$$ $g(x)$ функцийн $(1,g(1))=(1,1)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $$y=g^\prime(1)(x-1)+1=\frac{1}{4\cdot 1^{\frac34}}(x-1)+1=\frac14x+\frac34$$ буюу $x-4y+3=0$ байна.
Шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүд нь $4$ ба $\frac34$ тул хоорондох өнцгийн тангес нь $$\tg\alpha=\dfrac{4-\frac14}{1+4\cdot\frac14}=\dfrac{15}{8}$$ байна.