Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ХИ талбайтай багтсан тэгш өнцөгт
$5,5,6$ талуудтай адил хажуут гурвалжинд хоёр орой нь суурь дээр нөгөө хоёр орой нь хажуу талууд дээр байхаар тэгш өнцөгт багтжээ. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол.
A. $4\sqrt3$
B. $4$
C. $5\sqrt2$
D. $6$
E. $12$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 45.88%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тэгш өнцөгт маань суурьт буулгасан өндрийн хувьд тэгш хэмтэй байх нь ойлгомжтой. Өндрийн сууриас тэгш өнцөгтийн суурь дээрх орой хүртэлх зайг $x$ гээд талбайг нь $x$-ээр илэрхийл.
Бодолт: Суурьт буусан өндрийн сууриас тэгш өнцөгтийн суурь дээрх орой хүртэлх зайг $x$ гэе.
Адил хажуут гурвалжин тул уг өндрийн сууриас суурийн орой хүртэлх зай нь $DC=\dfrac{6}{2}=3$, өндөр нь $$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$ байна. Тэгш өнцөгтийн нөгөө тал нь суурьт буусан өндөртэй параллель тул төсөөтэй гурвалжны талуудын харьцаагаар $$\dfrac{GC}{DC}=\dfrac{FG}{BD}\Leftrightarrow\dfrac{3-x}{3}=\dfrac{h}{4}$$ буюу $$h=\dfrac{4}{3}(3-x)$$ байна. Тэгш өнцөгтийн талбай нь $$S(x)=2x\cdot h=\dfrac{8}{3}x(3-x)$$ болно. Энэ нь $$S^\prime(x)=8-\dfrac{16}{3}x\Rightarrow x=\dfrac32$$
үед $6$ гэсэн хамгийн их утгаа авна.