Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Куб функцийн шүргэгч
$0< a< b$ байг. $y=x(x-a)(x-b)$ функцийн $x$ тэнхлэгийг огтлох $(0,0)$, $(a,0)$, $(b,0)$ цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд харгалзан $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ бөгөөд $\ell_1\perp \ell_2$, $\ell_2\perp \ell_3$ бол $a$, $b$-г ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $f(x)=x^3-(a+b)x^2+abx$ ба $f^\prime (x)=3x^2-2(a+b)x+ab$ болно.
$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ шулууны өнцгийн коэффициентүүд харгалзан $f^\prime (0)=ab$, $f^\prime (a)=a^2-ab$, $f^\prime(b)=b^2-ab$ байна. $\ell_1\perp \ell_2$ тул $$ab(a^2-ab)=-1 \boldsymbol{\cdots}(1)$$ $\ell_2\perp \ell_3$ тул $$(a^2-ab)(b^2-ab)=-1 \boldsymbol{\cdots}(2)$$ болно. (1) ба (2)-ийг хооронд нь хасвал $$ab(b-a)(2a-b)=0$$ байна. $0< a< b$ тул $b=2a$ болно. Үүнийг (1)-д орлуулбал $2a^4=1$ буюу $b>a>0$ тул $a=\dfrac 1{\sqrt[4]{2}}$, $b=\sqrt[4]{8}$ болно.
$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ шулууны өнцгийн коэффициентүүд харгалзан $f^\prime (0)=ab$, $f^\prime (a)=a^2-ab$, $f^\prime(b)=b^2-ab$ байна. $\ell_1\perp \ell_2$ тул $$ab(a^2-ab)=-1 \boldsymbol{\cdots}(1)$$ $\ell_2\perp \ell_3$ тул $$(a^2-ab)(b^2-ab)=-1 \boldsymbol{\cdots}(2)$$ болно. (1) ба (2)-ийг хооронд нь хасвал $$ab(b-a)(2a-b)=0$$ байна. $0< a< b$ тул $b=2a$ болно. Үүнийг (1)-д орлуулбал $2a^4=1$ буюу $b>a>0$ тул $a=\dfrac 1{\sqrt[4]{2}}$, $b=\sqrt[4]{8}$ болно.