Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Функцийн хамгийн бага утга
$f(x)=\ln\dfrac{mx^2+7}{nx+3}$ функц өгөв. ($m$, $n$ - тогтмол тоо)
- $f^\prime(2)=\dfrac{\fbox{a}m}{\fbox{b}m+\fbox{c}}-\dfrac{n}{\fbox{d}n+\fbox{e}}$
- Хэрэв $f(x)$ функц $x=2$ үед минимум утга нь 0 байх бол $m=\fbox{f}$, $n=\fbox{g}$ болно.
abcde = 44723
fg = 14
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 8.52%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Давхар функцийн уламжлал олох $$[f(g(x))]^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$$ ба ноогдворын уламжлалыг олох $$\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)^\prime=\dfrac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}$$ томьёог ашигла.
$f(x)$ функц $x=x_0$ цэг дээр минимум утгаа авах бол $f^\prime(x_0)=0$ байна.
$f(x)$ функц $x=x_0$ цэг дээр минимум утгаа авах бол $f^\prime(x_0)=0$ байна.
Бодолт: \begin{align*}
f^\prime(x)&=\left[\ln\dfrac{mx^2+7}{nx+3}\right]^\prime=\dfrac{1}{\frac{mx^2+7}{nx+3}}\cdot\Big(\dfrac{mx^2+7}{nx+3}\Big)^\prime\\
&=\dfrac{1}{\frac{mx^2+7}{nx+3}}\cdot\dfrac{2mx(nx+3)-n(mx^2+7)}{(nx+3)^3}\\
&=\dfrac{mnx^2+6mx-7n}{(mx^2+7)(nx+3)}
\end{align*}
тул
$$f^\prime(2)=\dfrac{4mn+12m-7n}{(4m+7)(2n+3)}=\dfrac{4m}{4m+7}-\dfrac{n}{2n+3}$$
$x=2$ цэг дээр минимум утгатай бол $4mn+12m-7n=0$ байна. Бид $0\le m,n\le 9$ байх бүхэл шийдийг хайж байгаа тул $n=0, 4, 8$ ($n$ нь 4-т хуваагдана) гэсэн утгуудыг шалгаж үзье. $n=0$ үед $m=0$ болно. Энэ үед $f(x)=\ln\dfrac{7}{3}$ гэсэн тогтмол функц тул минимум утга байхгүй. $n=4$ үед $16m+12m-28=0\Rightarrow m=1$ байна. $n=8$ үед $32m+12m-56=0\Rightarrow m=\dfrac{56}{44}$ гэсэн бүхэл утга гарахгүй тул $m=1$ ба $n=4$ гэсэн утгуудыг авна.