Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Куб тэгшитгэлийн шийдийн тоо
$x^3-3p^2x+8p=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байх бүх $p$-ийн утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $f(x)=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй бол $y=f(x)$-функцийн график $x$ тэнхлэгийг гурван удаа огтлоно. Хэрэв $f(x)$ нь куб олон гишүүнт бол $f(x)=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байхын тулд максимум ба минимум утгынх нь үржвэр сөрөг байна.
Бодолт: $f(x)=x^3-3p^2x+8p$ гэвэл $f^\prime (x)=3(x+p)(x-p)$ болно.
$p\ne 0$ үед
\\
$f(x)=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байхын тулд $f(-p)\cdot f(p)< 0$ байх ёстой. $f(-p)=2p(p^2+4), f(p)=2p(4-p^2)$ тул $f(-p)\cdot f(p)=4p^2(16-p^4)< 0\Rightarrow p^2>4$ буюу $p< -2$ эсвэл $2< p$ байна.
| % after | |||||
| : or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... $x$ | $\boldsymbol{\ldots}$ | $-p$ | $\boldsymbol{\ldots}$ | $p$ | $\boldsymbol{\ldots}$ |
| $f^\prime (x)$ | $+$ | 0 | $-$ | 0 | $+$ |
| $f (x)$ | $\nearrow$ | $\max$ | $\searrow$ | $\min$ | $\nearrow$ |
$f(x)=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байхын тулд $f(-p)\cdot f(p)< 0$ байх ёстой. $f(-p)=2p(p^2+4), f(p)=2p(4-p^2)$ тул $f(-p)\cdot f(p)=4p^2(16-p^4)< 0\Rightarrow p^2>4$ буюу $p< -2$ эсвэл $2< p$ байна.