Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ММО-08, Бодлого №1
Нэгж эзлэхүүнтэй шулуун дугуй цилиндрт бөмбөрцөг багтжээ. Энэ бөмбөрцгийг багтаасан конусуудын дотроос хамгийн бага эзлэхүүнтэйг нь ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Цилиндрт бөмбөрцөг багтсан учир $h=2r$ байна. Эндээс
$$V=\pi r^2 h=2r^3\pi=1\Rightarrow r^3=\dfrac{1}{2\pi}$$
болно. Иймд конусын тэнхлэг огтлол нь $r$ радиустай тойрог багтаасан адил хажуут гурвалжин байна.
Конусын суурийн радиус $R$, өндөр нь $H$ гэе. Конусын суурийн өнцгийг $\alpha$ гэвэл $$\tg\frac{\alpha}{2}=\dfrac{r}{R},\quad \tg\alpha=\dfrac{H}{R}$$ тул $$R=r\cdot\ctg\dfrac{\alpha}{2},\quad H=R\cdot\tg\alpha=r\cdot\ctg\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha$$ болно. Иймд $$V(\alpha)=\dfrac{1}{3}R^2H\pi=\dfrac{\pi}{3}r^3\cdot\ctg^3\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha=\dfrac{1}{6}\cdot\ctg^3\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha$$ байна. $\tg\alpha=\dfrac{2\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}}{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-1}$ тул $c=\ctg\dfrac{\alpha}{2}$ гэвэл $$V(c)=\dfrac{c^4}{3(c^2-1)}\Rightarrow V'(c)=\dfrac{4c^3(c^2-1)-c^4\cdot 2c}{3(c^2-1)^2}=\dfrac{2c^5-4c^3}{3(c^2-1)}=0\Rightarrow c^2=2$$ үед хамгийн бага утга авна. Иймд $$V_{\min}=\dfrac{2^2}{3(2-1)}=\dfrac{4}{3}$$ байна.
Конусын суурийн радиус $R$, өндөр нь $H$ гэе. Конусын суурийн өнцгийг $\alpha$ гэвэл $$\tg\frac{\alpha}{2}=\dfrac{r}{R},\quad \tg\alpha=\dfrac{H}{R}$$ тул $$R=r\cdot\ctg\dfrac{\alpha}{2},\quad H=R\cdot\tg\alpha=r\cdot\ctg\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha$$ болно. Иймд $$V(\alpha)=\dfrac{1}{3}R^2H\pi=\dfrac{\pi}{3}r^3\cdot\ctg^3\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha=\dfrac{1}{6}\cdot\ctg^3\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha$$ байна. $\tg\alpha=\dfrac{2\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}}{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-1}$ тул $c=\ctg\dfrac{\alpha}{2}$ гэвэл $$V(c)=\dfrac{c^4}{3(c^2-1)}\Rightarrow V'(c)=\dfrac{4c^3(c^2-1)-c^4\cdot 2c}{3(c^2-1)^2}=\dfrac{2c^5-4c^3}{3(c^2-1)}=0\Rightarrow c^2=2$$ үед хамгийн бага утга авна. Иймд $$V_{\min}=\dfrac{2^2}{3(2-1)}=\dfrac{4}{3}$$ байна.