Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Хамгийн их эзлэхүүнтэй багтсан цилиндр
$C\colon x^2+y^2+z^2=6$ бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн суурийн радиусыг ол.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 40.85%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Бөмбөрцгийн төвийг суурийн ирмэгтэй холбосон хэрчмийн гол тэнхлэгтэй үүсгэх хурц өнцгийг $\alpha$ гэвэл цилиндрийн өндөр нь $2R\cos\alpha$, суурийн радиус нь $R\sin\alpha$ болно. $V=\pi R^3\sin^2\alpha\cos\alpha=\pi R^3(1-c^2)c$, $c=\cos\alpha$ байна.
Бодолт: $V^\prime(c)=\pi R^3(1-3c^2)=0\Rightarrow c^2=\dfrac{1}{3}, (c>0)$ ба $\sin^2\alpha=1-\dfrac13=\dfrac23$ үед цилиндрийн эзлэхүүн хамгийн их байна. $C\colon x^2+y^2+z^2=6$ бөмбөрцгийн хувьд $R=\sqrt{6}$ тул цилиндрийн суурийн радиус нь $\sqrt6\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}=2$.