Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)=x^3+ax^2+b$ байг.

$b=1$ үед $f(x)$ функцийн минимум утга $c$ бол $P(a,c)$ цэгийн геометр байрыг ол.
$0\leq x\leq 1$ үед $f(x)\geq 0$ байх $Q(a,b)$ цэгийн геометр байрыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $(a>0)$ байг. $f^\prime (x)=0$-ийн бодит шийдүүд $\alpha< \beta$ бол $\alpha$-максимум, $\beta$-минимумын цэг байна.

Бодолт:

$f^\prime (x)=x(3x+2a).$ Хэрэв $a=0$ бол минимум утга байхгүй. $x=0$, $x=-\dfrac{2a}{3}$ сэжигтэй цэгүүд. $a< 0$ үед $-\dfrac{2a}{3}>0$ тул $f(0)$-минимум утга болно. $c=f(0)=1.$ $a>0$ үед $f\left(-\dfrac{2a}{3}\right)$ минимум утга болно. $c=f\left(-\dfrac{2a}{3}\right)=\dfrac{4}{27}a^3+1$ юм. Иймд $P$ цэгүүд нь $\left\{\begin{array}{l} c=1, a< 0 \\ c=\dfrac{4}{27}a^3+1, a>0 \end{array}\right.$ муруй дээр оршино.
$0\leq x\leq 1$ үед $f(x)$-ийн хамгийн бага утга $m$ нь эерэг байх ёстой. $-2a/3\leq 0$ үед $m=f(0)=b\geq 0$, $a\geq 0.$ $0< -2a/3< 1$ үед $m=f\left(-2a/3\right)=a^3/27+b\geq 0$, $-3/2< a< 0.$ $-2a/3\geq 1$ үед $m=f(1)=a+b+1\geq 0$, $a\leq-3/2$ байна. $Q(a, b)$ цэгийн геометр байрыг зурагт дүрслэв.

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.