Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Дараах функцүүдийн уламжлалыг ол.
1. $y=x^4-4x^3+3x^2-2x+1$
2. $y=(x^2+3)(x^2-2x-3)$
3. $y=(2x-3)^4$
4. $y=(x-1)^2(x+2)^2$
$n$-натурал тоо бол $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^n-1}{x-1}$ хязгаарыг бод.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $(u\cdot v)^\prime =u^\prime \cdot v+u\cdot v^\prime, \left((ax+b)^n\right)^\prime =n\cdot a\cdot (ax+b)^{n-1}$ томьёонуудыг ашигла.

Бодолт:

1. $y^\prime =4x^3-4\cdot 3x^2+3\cdot 2x-2=4x^3-12x^2+6x-2$
2. $y^\prime =2x\cdot (x^2-2x-3)+(x^2+3)(2x-2)=4x^3-6x^2-6$
3. $y^\prime =4\cdot 2\cdot (2x-3)^3=8(2x-3)^3$
4. $y^\prime =2\cdot(x-1)\cdot(x+2)^2+(x-1)^2\cdot2\cdot(x+2)=2(x-1)(x+2)(2x+1)$
$f(x)=x^n$ гэе. $\dfrac{x^n-1}{x-1}=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ юм. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^n -1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^\prime (1)$ болно. $f^\prime(x)=nx^{n-1}$ болохыг ашиглавал $$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^n-1}{x-1}=f^\prime(1)=n\cdot 1^{n-1}=n$$ байна.