Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Holy guacamole! www.integral.mn сайт 2026-01-01-ээс шинэчлэгдэж www.mathminds.club хуудас руу шилжинэ.
Хязгаар
I гайхамшигт хязгаар
$\Big(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tg7x}{x}\Big)^{2007}$ тооны сүүлийн цифрийг ол.
A.$5$ B.$7$ C.$9$ D.$3$ E.$1$
$\Big(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tg 3x}{x}\Big)^{2007}$ хязгаарыг бодоход гарах тооны сүүлчийн цифрийг ол.
A.5 B.7 C.9 D.3 E.1
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+6x+\sin 8x}{\sin4x-8x}$ хязгаарыг бод.
A.$0$ B.$-\dfrac72$ C.$\dfrac78$ D.$1$ E.$-\dfrac34$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{\cos2x-1}$ хязгаарыг бод.
A.$2$ B.$0$ C.$-2$ D.$-0.5$ E.$0.5$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos2x-1}{x^2}$ хязгаарыг бод.
A.$-0.5$ B.$0$ C.$-2$ D.$0.5$ E.$2$
Бутархайг хурааж бодох
- $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^3+1}{x+1}$ хязгаар бод.
- $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3$ бол $a, b$-г ол.
Дараах хязгаарыг бод.
- $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$
- $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^2-x-6}{x^2+x-2}$
- $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-a^2}{x-a} (a\ne 0)$
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=6$, $\lim\limits_{x\to -2}f(x)=0$ нөхцөлийг хангах $f(x)$ квадрат функцийг ол.
Дараах хязгаарыг бод.
- $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^4-16}{x-2}$
- $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^5+x+2}{x+1}.$
$\lim\limits_{x\to-6}\dfrac{x+6}{x^2-36}$ хязгаарыг бодоорой.
A.$-\dfrac16$ B.$-12$ C.$\dfrac1{12}$ D.$-\dfrac1{12}$ E.$-6$
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-ax-b}{x-2}=3$ бол $2a+b=?$
A.$0$ B.$1$ C.$2$ D.$3$ E.$4$
$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^3+x^2-12x}{x^2-9}$ хязгаарыг бод.
A.$-7$ B.$-\dfrac72$ C.$0$ D.$\dfrac72$ E.Хязгаар оршин байхгүй
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-2}{x^2-4}$ хязгаарыг бодоорой.
A.$-0.5$ B.$-2$ C.$0.25$ D.$-\dfrac14$ E.$-4$
$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{x-4}{x^2-16}$ хязгаарыг бодоорой.
A.$\dfrac18$ B.$-4$ C.$-\dfrac18$ D.$-\dfrac14$ E.$8$
$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^2-x-2}{x^2-1}$ хязгаарыг бод.
A.$-\dfrac23$ B.$\dfrac23$ C.$\dfrac32$ D.$\infty$ E.$0$
$\lim\limits_{x\to-3}\dfrac{x+3}{x^2-9}$ хязгаарыг бодоорой.
A.$-\dfrac13$ B.$-3$ C.$-\dfrac16$ D.$\dfrac16$ E.$-6$
$\lim\limits_{x\to-6}\dfrac{x+6}{x^2-36}$ хязгаарыг бодоорой.
A.$-\dfrac16$ B.$-12$ C.$\dfrac1{12}$ D.$-\dfrac1{12}$ E.$-6$
$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3-8}{x-2}=?$
A.$8$ B.$2x^2$ C.$-8$ D.$4$ E.$12$
$\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3+8}{x+2}=?$
A.$8$ B.$2x^2$ C.$-8$ D.$4$ E.$12$
$\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{x^2+ax+b}{x+2}=4$ бол $a+b=?$
A.$10$ B.$20$ C.$30$ D.$40$ E.$50$
$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2-8x+15}{x^2+2x-15}$ хязгаарыг бод.
A.$-2$ B.$0.25$ C.$0$ D.$-0.25$ E.$+\infty$
$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-8x+12}{x^2+4x-12}$ хязгаарыг бод.
A.$-1$ B.$-0.5$ C.$0$ D.$1$ E.$+\infty$
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x^2-3x+1}{3x^2-2x-1}$ хязгаарыг ол.
A.$\dfrac14$ B.$\dfrac12$ C.$\dfrac16$ D.$\dfrac13$ E.$\dfrac15$
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}=2$ бол $a+b=?$
A.$-5$ B.$-4$ C.$-3$ D.$-2$ E.$-1$
$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-8x+12}{x^2+4x-12}$ хязгаарыг бод.
A.$-1$ B.$-0.5$ C.$0$ D.$1$ E.$+\infty$
$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3-2^3}{x-2}=?$
A.$8$ B.$2x^2$ C.$-8$ D.$4$ E.$12$
$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2+2x-15}{x^2-2x-3}$ хязгаарыг бод.
A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$-1$ E.$-2$
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{3x^2-2.5x-0.5}{x^2+x-2}$ хязгаарыг бод.
A.$1$ B.$\dfrac 23$ C.$\dfrac 67$ D.$\dfrac 76$ E.$\dfrac 32$
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+3x-10}{x-2}=?$
A.$10$ B.$9$ C.$8$ D.$7$ E.$6$
$\lim\limits_{x\to a}\Bigl(\displaystyle\frac{1}{x-a}-\displaystyle\frac{2a}{x^2-a^2}\Bigr)$ хязгаар бод.
A.$\displaystyle\frac {1}{2a}$ B.$a$ C.$\displaystyle\frac{1}{4a}$ D.$0$.
$\lim\limits_{x\to a}\displaystyle\frac{x^3-a^3}{x^2-a^2}$ хязгаар бод.
A.$a$ B.$-a$ C.$\displaystyle\frac{3}{2}a$ D.$\displaystyle\frac{a}2$.
$\lim\limits_{x\to 1}\displaystyle\frac{x^2-1}{x^3-x^2+x-1}$ хязгаарыг ол.
A.$2$ B.$\dfrac 12$ C.$1$ D.$3$ E.$\dfrac 13$
$\lim\limits_{x\to 3}\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x-3}$ хязгаарыг ол.
A.$3$ B.$5$ C.$7$ D.$2$ E.$0$
$\lim\limits_{x\to 1}\displaystyle\frac{(x-1)\sqrt{2-x}}{x^2-1}=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болно.
$\lim\limits_{x\to 2}\displaystyle\frac{x^2-\frac 52 x+1}{(x-2)^2}\cdot \sin(x-2)=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.
$\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2+ax+b}{x-3}=6$ бол $a=\fbox{a}$, $b=-\fbox{b}$ байна.
$\lim\limits_{x\to-2}\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x+2}=\fbox{ab}$
$\lim\limits_{x\to -3}\displaystyle\frac{x^2+x-6}{x+3}=\fbox{ab}$
$\lim\limits_{x\to-2}\displaystyle\frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-x-6}=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
Дарааллын хязгаар
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln^3 n}{\sqrt{n}}=0$ болохыг батал.
$\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\dots}}}=\sqrt[3]{4}$ бол $x$-г ол.
A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$4$ E.$5$
$\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\dots\sqrt3}}}}_{n}$ хязгаар хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$3$ B.$\infty$ C.$\sqrt3$ D.$1$ E.$9$
$\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\dots}}}}=?$
A.$\sqrt[3]{147}$ B.$\sqrt[3]{63}$ C.$\sqrt[4]{147}$ D.$\sqrt[4]{63}$ E.$3\sqrt7$
$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$2$ B.$-3$ C.$3$ D.$-2$ E.$\sqrt6$
$\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5\dots}}}}=?$
A.$\sqrt[3]{75}$ B.$\sqrt[3]{45}$ C.$\sqrt[4]{45}$ D.$\sqrt[4]{75}$ E.$3\sqrt{5}$
$\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\dots}}}=\sqrt[3]{4}$ бол $x=?$
A.1 B.2 C.3 D.4 E.5
$\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\dots}}}}=?$
A.$\sqrt[3]{75}$ B.$\sqrt[3]{45}$ C.$\sqrt[4]{45}$ D.$\sqrt[4]{75}$ E.$5\sqrt3$
$\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\dots}}}}=?$
A.$\sqrt[3]{147}$ B.$\sqrt[3]{63}$ C.$\sqrt[4]{147}$ D.$\sqrt[4]{63}$ E.$7\sqrt3$
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{3 \cdot 5^{n-1}+3^{n+1}}{5^n+3^n}=?$ хязгаарыг бод.
A.$1$ B.$5$ C.$\dfrac{5}{3}$ D.$0$ E.$\dfrac{3}{5}$
$f(x)=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}}$ бол $f''(1)=?$
A.0 B.3 C.1 D.$\dfrac{1}{2}$ E.2
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[8]{2}\cdots\sqrt[2^n]{2}$ хязгаар хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$4\sqrt2$ B.$2\sqrt2$ C.$4$ D.$\infty$ E.$2$
Лопиталын дүрэм
$\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}$ хязгаар бод.
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{1-\cos 4x}{2x^2\cos x}$ хязгаарыг ол.
A.$8$ B.$7$ C.$\displaystyle\frac 14$ D.$4$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x-\sin6x}{x^2+10x-\sin4x}$ хязгаарыг бод.
A. $-\dfrac12$ B.1 C.0 D.$\dfrac32$ E.$\dfrac3{10}$
$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x-1}{x-\frac{\pi}{2}}$ хязгаарыг ол.
A.$-1$ B.$-\frac{1}{2}$ C.$0$ D.$\frac{1}{2}$ E.$1$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos2x}{4x^2}$ бод.
A.$\dfrac14$ B.$\dfrac12$ C.$1$ D.$2$ E.$0$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos^23x-\sin^23x}{6+\sin x}=?$
A.$\dfrac{1}{6}$ B.$\dfrac{1}{3}$ C.$\dfrac{1}{2}$ D.$0$ E.$-\dfrac{1}{12}$
$\lim\limits_{x\to \displaystyle\frac{\pi}2}\displaystyle\frac{\cos x}{\sin \displaystyle\frac x2-\cos \displaystyle\frac x2}$ хязгаарыг ол.
A.$\sqrt{2}$ B.$\sqrt{3}$ C.$2$ D.$-\sqrt{2}$
$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{8x+\sin 6x}{x^{2} -4x+\sin 12x} $ хязгаарыг бод.
A.$1$ B.$\dfrac{3}{2} $ C.$\dfrac{7}{4} $ D.$\dfrac{7}{2} $ E.$0$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}$ хязгаар бод.
A.$\displaystyle\frac{2}{3}$ B.$\displaystyle\frac{3}2$ C.$3$ D.$2$ E.$1$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{\ln(x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1)}$ хязгаар бод.
A.$\displaystyle\frac{1}{5}$ B.$\displaystyle\frac {1}6$ C.$\displaystyle\frac 25$ D.1
$\lim\limits_{x\to a^6}\displaystyle\frac{a^3-\sqrt{x}}{a^2-\sqrt[3]{x}}$ хязгаар бод.
A.$\displaystyle\frac{3}{2}a$ B.$a$ C.$0$ D.$\displaystyle\frac{a}2$.
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1– \cos^22x}{2x^2+x^3}$ хязгаарыг бод.
A.$0$ B.$1$ C.$2$ D.$+\infty$ E.$-1$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos^2 x-1}{x}=?$
A.$0$ B.$1$ C.$-1$ D.$2x$ E.$\dfrac12$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x+\tg x}{\sin x+2x^2}$ хязгаарыг бод.
A.0 B.1 C.2 D.3 E.4
$\lim\limits_{x\to \pi}\dfrac{x\sin x}{x-\pi}$ хязгаарыг бод.
A.$1$ B.$0$ C.$\pi\cos\pi$ D.$\pi$ E.$\pi^2$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2}$ хязгаар бод.
A.1 B.2 C.4 D.8 E.16
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{4x^4+2x^2+\sin^22x}{\cos2x+4x^2-1}$ хязгаарыг бод.
A.$\dfrac{3}{2}$ B.$\dfrac{2}{3}$ C.$3$ D.$2$ E.$\dfrac{1}{6}$
$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{1-2\cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}}\displaystyle
\frac{\cos\Bigl(\frac{x}{\fbox{a}}-\frac{\pi}{\fbox{b}}\Bigr)}
{2\sin\Bigl(\frac{x}{\fbox{c}}+\frac{\pi}{\fbox d}\Bigr)}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\fbox{e}}}$ байна.
$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{\sin(x-\frac{\pi}{4})}{1-\sqrt{2}\cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{\cos\Bigl(\frac{x}{\fbox{a}}-\frac{\pi}{\fbox{b}}\Bigr)}{\sqrt{2}\sin\Bigl(\frac{x}{\fbox{c}}+\frac{\pi}{\fbox d}\Bigr)}=\fbox{e}$ байна.
$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin\Big(x-\frac{\pi}{6}\Big)}{\cos\frac{\pi}{6}-\cos x}=\fbox{a}$ хязгаар бод.
Өрөөсгөл хязгаар
$\lim\limits_{x\to 1-}\displaystyle\frac{|x-1|}{x-1}=\fbox{ab}$, $\lim\limits_{x\to 1+}\displaystyle\frac{|x-1|}{x-1}=\fbox{c}$
$\lim\limits_{x\to 3-}\displaystyle\frac{x-3}{|x-3|}=\fbox{ab}, \lim\limits_{x\to 3+}\displaystyle\frac{|x-3|}{x-3}=\fbox{c}$
Тасралтгүй функц
$\lim\limits_{x\to 0}\cos\left(\dfrac{x(x^2+1)}{(x+1)}\right)$ хязгаарыг бод.
A.$-\infty$ B.$-1$ C.$0$ D.$1$ E.$\pi/2$
Функцийн хязгаарын теоремууд
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\frac12+\frac14+\dots+\frac{1}{2^n}}{1+\frac13+\frac19+\dots+\frac{1}{3^n}}$ хязгаар бод.
A.$\displaystyle\frac 12$ B.$\displaystyle\frac 43$ C.$\displaystyle\frac 34$ D.$\displaystyle\frac 13$
Функцийн цэг дээрх хязгаар
Хосмог ашиглан хялбарчлах
$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-a^2}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=$
A.$0$ B.$2a^{1.5}$ C.$2a$ D.$4a^{\frac23}$ E.$4a^{\frac32}$
$\lim\limits_{x\to \infty}(x-\sqrt{x^2-8})$ хязгаарыг ол.
A.$1$ B.$0$ C.$2$ D.$\dfrac12$ E.$\dfrac13$
$\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ хязгаарыг ол.
A.$3$ B.$5$ C.$7$ D.$4$ E.$6$
$\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3-2x^2-6x+4}{\sqrt{5x+14}-2}$
A.$11.2$ B.$9.2$ C.$10.2$ D.$13.2$ E.$12.2$
$\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{x^2-9}{x+\sqrt{2x+15}}$ хязгаарыг ол.
A.$-\dfrac29$ B.$\dfrac92$ C.$\dfrac32$ D.$-\dfrac92$ E.$-\dfrac34$
$\lim\limits_{x\to5}\dfrac{x^2-25}{x-\sqrt{6x-5}}$ хязгаарыг ол.
A.$\dfrac{10}{4}$ B.$0$ C.$25$ D.$\infty$ E.$\varnothing$
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n-1})$ хязгаарыг бод.
A.0 B.1 C.2 D.3 E.4
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2-n}-n)$ хязгаарыг бод.
A.$\dfrac12$ B.$-\dfrac12$ C.$1$ D.$\dfrac13$ E.$-\dfrac13$
$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=?$
A.$\dfrac{3}{4}$ B.$1$ C.$\dfrac{1}{4}$ D.$\dfrac{3}{2}$ E.$2$
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=?$
A.$\dfrac{3}{4}$ B.$1$ C.$\dfrac{1}{4}$ D.$\dfrac{3}{2}$ E.$2$
$\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x-\sqrt{4x-3}}{x^2-9}$ хязгаар бод.
A.$\dfrac16$ B.$\dfrac1{18}$ C.$\dfrac1{36}$ D.$-\dfrac1{18}$ E.$-\dfrac1{36}$
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x(x-2)}{\sqrt{3-x}-1}$
A.$0$ B.$2$ C.$-0.75$ D.$-4$ E.$-2$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x+1-\sqrt{x+1}}{x}$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$1$ C.$1.5$ D.$2$ E.$2.5$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x+\sqrt{x+1}-1}{x}$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$-1$ C.$3.5$ D.$2$ E.$2.5$
$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}=?$
A.$\dfrac{3}{4}$ B.$\dfrac{1}{4}$ C.$-\dfrac{3}{4}$ D.$\dfrac{1}{6}$ E.$\dfrac{1}{3}$
$\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-2x+2}-x)$ хязгаарыг бод.
A.$2$ B.$0$ C.$-2$ D.$1$ E.$-1$
$\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-4x+1}-x)$ хязгаарыг бод.
A.$2$ B.$0$ C.$-2$ D.$1$ E.$-1$
Хязгаар бод.
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1}$
A.$\frac12$ B.$0$ C.$\infty$ D.$\frac{\sqrt3}{2}$ E.$2$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}}$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$\dfrac{1}{3}$ C.$1$ D.$3$ E.$\dfrac{2}{3}$
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{1+\tg x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$ хязгаар бод.
A.1 B.$\displaystyle\frac {1}2$ C.$\displaystyle\frac 14$ D.$\displaystyle\frac13$
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x+1)\sin(x^2-4)}{\sqrt{3x-5}-1}$ хязгаарыг бод.
A.$3$ B.$5$ C.$8$ D.$\dfrac23$ E.$\dfrac13$
$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{x^2-16}{x-\sqrt{5x-4}}$ хязгаарыг ол.
A.$\dfrac{3}{64}$ B.$0$ C.$21\dfrac13$ D.$\infty$ E.$\varnothing$
Хязгаар бод.
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1}$
A.$\dfrac12$ B.$0$ C.$\infty$ D.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$2$
$\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x^2-x-12}{\sqrt{x}-2}=?$
A.$0$ B.$+\infty$ C.$56$ D.$14$ E.$28$
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})\sin(n^2)$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$1$ C.$2$ D.$4$ E.$5$
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\cos(n^3)$ хязгаар бод.
A.1 B.2 C.0 D.3 E.4
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})$ хязгаарыг ол.
A.$1$ B.$0$ C.$\displaystyle\frac 12$ D.$2$
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1})$ хязгаарыг ол.
A.$0$ B.$1$ C.$\displaystyle\frac 13$ D.$3$
$\lim\limits_{x\to a^2}\Bigl(\displaystyle\frac{2a}{x-a^2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}-a}\Bigr)$ хязгаар бод.
A.0 B.$\displaystyle\frac {1}{2a}$ C.$-\displaystyle\frac{1}{2a}$ D.$a$ E.$2a$
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{x+a^2}-a}{x}$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$\displaystyle\frac{1}{a}$ C.$a$ D.$\displaystyle\frac1{2a}$.
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[3]{b+x}-\sqrt[3]{b-x}}$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$\displaystyle\frac{3}{2}\sqrt[3]{b^2}$ C.$\sqrt[3]{b^2}$ D.$\displaystyle\frac{\sqrt[3]{b^2}}2$ E.$1$
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$\dfrac 32$ C.$\dfrac 12$ D.$\dfrac 13$ E.$\dfrac 23$
$\lim\limits_{x\to8}\displaystyle\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}$ хязгаар бод.
A.$\displaystyle\frac{12}{5}$ B.$\displaystyle\frac {11}5$ C.$9$ D.$\displaystyle\frac 13$ E.$0$
$\lim\limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2+x}-x)$ хязгаарыг ол.
A.$\displaystyle\frac 12$ B.$2$ C.$\displaystyle\frac 13$ D.$3$
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}$ хязгаар бод.
A.2 B.$\displaystyle\frac 43$ C.$\displaystyle\frac 13$ D.$\displaystyle\frac12$
$\lim\limits_{x\to 1}\displaystyle\frac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ хязгаарыг ол.
A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$\displaystyle\frac13$
$\lim\limits_{x\to 10}\displaystyle\frac{\sqrt{x-1}-3}{x-10}$ хязгаарыг ол.
A.$\displaystyle\frac 12$ B.$\displaystyle\frac 16$ C.$\displaystyle\frac 18$ D.$1$
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болно.
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n})=\fbox a$
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2-1}-n-1)=-\fbox a$
$f(x)=x+\sqrt{x^2-4x}$ бол
байна.
| $a$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ | $\fbox{a}\,\infty$ | $\fbox{b}$ |
$f(x)=x-\sqrt{x^2-2x}$ бол
байна.
| $a$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ | $\fbox{a}$ | $\fbox{b}\,\infty$. |
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[3]{d-x}-\sqrt[3]{d+x}}=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot \sqrt[3]{d^2}$ байна.
$\lim\limits_{x\to a^3}\displaystyle\frac{a-\sqrt[3]{x}}{x-a^3}=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot a^2}$ байна.
$\lim\limits_{x\to a^6}\displaystyle\frac{a^3-\sqrt x}{a^2-\sqrt[3]{x}}= \displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot a$ байна.
Хязгаар ба уламжлал
Дараах хязгааруудыг $f(a)$ ба $f^\prime (a)$-аар илэрхийл.
- $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}$
- $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}$
- $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$
- $\lim\limits_{x\to 2}(2x^3-4x^2+3x-1)$ хязгаарыг бод.
- $f(x)=2x^3-4$ бол $x=-1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
- $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h^3-2h^2+3h}{h}$ хязгаарыг бод.
- $y=x^2$ функц өгөгдөв.
- Энэ функцийн графикийн $x=1, x=1+h, (h\ne 0)$ абсцисстай цэгүүдийг дайрсан шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
- Энэ функцийн $x=1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
Дараах хязгааруудыг бодож $a$, $f(a)$, $f^\prime (a)$-аар илэрхийл.
- $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+4h)-f(a-2h)}{h}$
- $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^3f(x)-a^3f(a)}{x^2-a^2}$.
$f(x)=2x^2-2x+3$ бол $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ хязгаарыг бод.
A.$4$ B.$0$ C.$8$ D.$2$ E.$1$
$\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x\sin x-\alpha\sin\alpha}{x-\alpha}$ хязгаарыг бод.
A.$\alpha\cos\alpha$ B.$\sin\alpha-\alpha\cos\alpha$ C.$\cos\alpha-\alpha\sin\alpha$ D.$\cos\alpha+\alpha\sin\alpha$ E.$\sin\alpha+\alpha\cos\alpha$
$f(x)=\cos 3x$ бол $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f\big(\frac{\pi}{2}+3\Delta x\big)-f\big(\frac{\pi}{2}\big)}{\Delta x}$ хязгаарыг ол.
A.$-\dfrac13$ B.$\dfrac13$ C.$1$ D.$3$ E.$-3$
$f(x)$ нь дифферциалчлагдах функц бол $\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x f(x)-\alpha f(\alpha)}{x^2-\alpha^2}=?$
A.$\dfrac{f(\alpha)-\alpha f^\prime(\alpha)}{2\alpha}$ B.$f(\alpha)+\alpha f^\prime(\alpha)$ C.$\dfrac{f(\alpha)}{\alpha}-f^\prime(\alpha)$ D.$\dfrac{f(\alpha)+\alpha f^\prime(\alpha)}{2\alpha}$ E.$\dfrac{f(\alpha)}{\alpha}+f^\prime(\alpha)$
$f(x)$ нь дифферциалчлагдах функц бол $\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x^2f(x)-\alpha^2 f(\alpha)}{x-\alpha}=?$
A.$\alpha f^\prime(\alpha)$ B.$f^\prime(\alpha)$ C.$2\alpha f^\prime(\alpha)$ D.$2\alpha f(\alpha)-\alpha^2 f^\prime(\alpha)$ E.$2\alpha f(\alpha)+\alpha^2 f^\prime(\alpha)$
Хязгаарын тодорхойлолт
$x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$ дараалал монотон буурахыг харуулж хязгаарыг ол.
$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2^n}{3^n}=?$
A.$0$ B.$1$ C.$\frac23$ D.$+\infty$ E.Хязгаар оршин байхгүй
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n-2^n}$ хязгаар бод.
A.$2$ B.$3$ C.$0$ D.$1$ E.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2n^3+1}{3n^3-2}}$ хязгаар бод.
A.$3$ B.$2$ C.$0$ D.$1$ E.$e$
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n-3^n}=?$
A.1 B.2 C.3 D.4 E.5
Хялбар хязгаарууд
Дараах хязгааруудыг бод.
- $\lim\limits_{x\to 1}(2x^2-3x+4)$
- $\lim\limits_{x\to 0}(2-3x+4x^3)$
- $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{2b^3-2a^3}{b-a}$
- $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h^3-2h^2+3h}{h}$ хязгаарыг бод.
- $y=x^2$ функц өгөгдөв.
- Энэ функцийн графикийн $x=1, x=1+h, (h\ne 0)$ абсцисстай цэгүүдийг дайрсан шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
- Энэ функцийн $x=1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
- $\lim\limits_{x\to 2}(2x^3-4x^2+3x-1)$ хязгаарыг бод.
- $f(x)=2x^3-4$ бол $x=-1$ цэг дээрх уламжлалыг ол.
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+3+5+\dots+(2n-1)}{n^2}$ хязгаарыг ол.
A.$3$ B.$2$ C.$1$ D.$0$ E.$\infty$
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{3 \cdot 5^{n-1}+3^{n+1}}{5^n+3^n}=?$ хязгаарыг бод.
A.$1$ B.$5$ C.$\dfrac{5}{3}$ D.$0$ E.$\dfrac{3}{5}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+6}{2+n+3n^2}=?$
A.$\dfrac13$ B.$2$ C.$\dfrac12$ D.$3$ E.$3$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{5x^3-8x^2+9}{10x^3+2x-10}$ хязгаар бод.
A.10 B.$\displaystyle\frac 15$ C.$\displaystyle\frac 12$ D.$\displaystyle\frac 13$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{6x^6+4x^2+5}{3x^6+2x+7}$ хязгаар бод.
A.5 B.2 C.7 D.3
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5\cdot3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n+2^n}$ хязгаарыг бод.
A.$5$ B.$13/5$ C.$17/5$ D.$15$ E.$1$
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{n^2+3n-2}{1+2+\dots+n}$ хязгаарыг ол.
A.$0$ B.$1$ C.$2$ D.$3$ E.$\dfrac12$
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}(1+2+\dots+n)$ хязгаар бод.
A.$\dfrac12$ B.$1$ C.$0$ D.$2$ E.$\dfrac14$
$\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl[\Bigl(\displaystyle\frac{5n}{n-3.5}\Bigr)\displaystyle\frac{\ln (ne)}{\ln n}\Bigr]$ хязгаар бод.
A.0 B.1 C.1.5 D.5
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{n}{(n^2-1)\ln n}$ хязгаар бод.
A.0 B.1 C.2. D.3
$\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl(\sqrt{a}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt a}+\dots +\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{a^{n-1}}\Bigr) 0< a< 1$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$\displaystyle\frac {a\sqrt{a}}{a-1}$ C.$\sqrt{a}$ D.$\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{a-1}.$
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{4\cdot13^{n+1}-11^n}{8\cdot13^n+11^n}$ хязгаарыг бод.
A.$1/2$ B.$11/13$ C.$13/2$ D.$13$ E.$13/8$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x-\sin6x}{x^2+10x-\sin4x}$ хязгаарыг бод.
A.$-\dfrac12$ B.$1$ C.$0$ D.$\dfrac{3}{2}$ E.$\dfrac{3}{10}$
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3 \cdot 5^{x+1}+3^{x-1}}{5^x+3^x}=?$ хязгаарыг бод.
A.3 B.5 C.10 D.15 E.$\frac{47}{3}$
$f(x)=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}}$ бол $f''(3)=?$
A.0 B.3 C.1 D.$\frac{1}{2}$ E.2
$a_n=4\cdot 4^{\frac{1}{3}}\cdot 4^{\frac{1}{3^2}}\cdots 4^{\frac{1}{3^n}}$ бол $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ хязгаарыг бод.
A.$3$ B.$4$ C.$16$ D.$2\sqrt{2}$ E.$8$
$f(x)=\sqrt{3x\sqrt{3x\sqrt{3x\dots}}}$, $x>0$ бол $f(x)=?$
A.$3x$ B.$x$ C.$3$ D.$9$ E.$9x$
$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^2+1}{-2n^2+3n}=?$
A.$0$ B.$-\dfrac{1}{2}$ C.$\dfrac12$ D.$+\infty$ E.$1$
$f(x)=\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots}}}, x>0$ бол $f^\prime(x)=?$
A.$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ B.$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ C.$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{x}}$ D.$x^{\frac13}$ E.$x^{-\frac13}$
$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1+3+\dots+(2n+1)}{n^2+2n-1}=?$
A.$\dfrac{1}{2}$ B.$1$ C.$0$ D.$+\infty$ E.$\dfrac{1}{4}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{8n^3-4n+1}-3n}{\sqrt{n^2-3}+3n}$ хязгаар бод.
A.$-1$ B.$\dfrac 13$ C.$-\dfrac14$ D.$\dfrac54$ E.$0$
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2\sqrt{n^2+n-1}-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2-1}}$ хязгаар бод.
A.$0$ B.$\infty$ C.$1$ D.$-\infty$.
$\lim\limits_{n\to\infty}(1+x+x^2+\dots +x^n) |x|< 1$ хязгаар бод.
A.$1$ B.$0$ C.$\displaystyle\frac{1}{1-x}$ D.$-\displaystyle\frac{1}{1-x}.$
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2^{n+2}+3^{n+3}}{2^n+3^n}=\fbox {ab}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{5\cdot 2^n-3\cdot 5^{n+1}}{100\cdot 2^n+2\cdot 5^n}=-\displaystyle\frac{\fbox{ab}}2$
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\frac12+\frac14+\dots+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{3^n}}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}(1+2+3+\dots+n)=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болно.
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(1+n)^2}{2n^2}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(2n+1)^4-(n-1)^4}{(2n+1)^4+(n-1)^4}=\displaystyle\frac{\fbox{cd}}{\fbox{ef}}$ болно.
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(3n+2)^2-(n-1)^2}{(3n+2)^2+(n-1)^2}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(2n+1)^3}{3n^3}=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болно.
$\lim\limits_{x\to \infty}\Bigl(\displaystyle\frac{x^3}{2x^2-1}-\displaystyle\frac{x^2}{2x+1}\Bigr)=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
$\lim\limits_{x\to\infty}\displaystyle\frac{3x^2+1}{5-12x^2}=-\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болно.