Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$x_n\le y_n\le z_n$$ ба $S=\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty} z_n$ бол $\lim\limits_{n\to\infty} y_n=S$ байна.

Бодолт: $$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n^2+1)-(n^2-1)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}=$$ $$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}=0$$ ба $-1\le \sin(n^2)\le 1$ тул $$-(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})\le(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})\sin(n^2)\le\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}$$ тэнцэтгэлд бишид хязгаарт шилжвэл $$0\le\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})\sin(n^2)\le 0$$ болно. Иймд $\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})\sin(n^2)=0$ байна.