Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Дараах хязгааруудыг $f(a)$ ба $f^\prime (a)$-аар илэрхийл.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$ \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{2h}\cdot 2=2\cdot \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{(a+2h)-a}$ болно. $h\to 0$ үед $a+2h\to a$ тул $2f^\prime (a)$ байна.
$f(a+2h)-f(a-h)=\left(f(a+2h)-f(a)\right)-\left(f(a-h)-f(a)\right)$ тул $$\begin{aligned} \lim\limits_{h\to 0}&\dfrac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\left\{\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}- \dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}\right\}\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}-\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a-h)-f(a)}{(a-h)-a}\cdot(-1)\\ &=2f^\prime (a)-f^\prime (a)\cdot (-1)=3f^\prime (a). \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}[t] x^2f(a)-a^2f(x)&=\left(x^2f(a)-a^2f(a)\right)+\left(a^2f(a)-a^2f(x)\right)\\ &=(x^2-a^2)f(a)+a^2\left(f(a)-f(x)\right) \end{aligned}$$ тул $\begin{aligned}[t] \lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}&=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{(x^2-a^2)f(a)}{x-a}+\lim\limits_{x\to a}\dfrac{a^2\left(f(a)-f(x)\right)}{x-a}\\ &=\lim\limits_{x\to a}(x+a)f(a)-\lim\limits_{x\to a}a^2\cdot \dfrac{f(a)-f(x)}{a-x}\\ &=2af(a)-a^2f^\prime (a) \end{aligned}$