Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Хязгаарын үндсэн теорем:

Хэрвээ $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$, $\lim\limits_{x\to x_0} g(x)$ (шаардлагатай тохиолдолд тэгээс ялгаатай) төгсгөлөг хязгаарууд оршин байдаг бол $f(x)+g(x)$, $f(x)-g(x)$, $f(x)\cdot g(x)$, $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ функцүүд $x=x_0$ цэг дээр хязгаартай бөгөөд

1. $\lim\limits_{x\to x_0}\{f(x)+g(x)\}=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)+\lim\limits_{x\to x_0} g(x)$
2. $\lim\limits_{x\to x_0}\{f(x)-g(x)\}=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)-\lim\limits_{x\to x_0} g(x)$
3. $\lim\limits_{x\to x_0}\{f(x)\cdot g(x)\}=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\cdot\lim\limits_{x\to x_0} g(x)$
4. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0} g(x)}$, энд $\lim\limits_{x\to x_0} g(x)\neq 0$.

байна.

Тасралтгүй функцийн хувьд $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ байдаг.

Бодолт: $f(x)=\cos^23x-\sin^23x$ ба $g(x)=6+\sin x$ функцүүд бүх тоон шулуун дээр тасралтгүй функцүүд тул $$\lim\limits_{x\to 0}{(\cos^23x-\sin^23x)}=\cos^2(3\cdot0)-\sin^2(3\cdot 0)=1,$$ $$\lim\limits_{x\to 0}{(6+\sin x)}=6+\sin0=6$$ байна. Иймд хязгаарын үндсэн теорем ёсоор $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos^23x-\sin^23x}{6+\sin x}=\dfrac{\lim\limits_{x\to 0}{(\cos^23x-\sin^23x)}}{\lim\limits_{x\to 0}{(6+\sin x)}}=\dfrac{1}{6}$$ болно.