Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №7152
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\cos(n^3)$ хязгаар бод.
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
E. 4
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 16.28%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Дурын $n$ тооны хувьд $x_n\le y_n\le z_n$ ба $A=\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty} z_n$ бол $\lim\limits_{n\to\infty} y_n=A$ байна.
Бодолт: \begin{align*}
A&=\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})(\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1})}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n^3+1)-(n^3-1)}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^3}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n^3}}}\\
&=\dfrac{0}{2}=0
\end{align*}
байна. Нөгөө талаас $-1\le \cos(n^3)\le 1$ тул
$$-(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\le(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\cos(n^3)\le (\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})$$
байна. Иймд $\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\cos(n^3)=0$