Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Дараах хязгааруудыг бодож $a$, $f(a)$, $f^\prime (a)$-аар илэрхийл.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

Уламжлалын тодорхойлолт ёсоор \begin{align*} \text{Хяз.}&=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+4h)-f(a-2h)}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+4h)-f(a)}{h}-\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a-2h)-f(a)}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+4h)-f(a)}{h}-\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a-2h)-f(a)}{h}\\ &=4\cdot\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+4h)-f(a)}{4h}+2\cdot\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a-2h)-f(a)}{-2h}\\ &=4f^\prime(a)+2f^\prime(a)=6f^\prime(a) \end{align*}
Уламжлалын тодорхойлолт ёсоор $$\big(x^3f(x)\big)^\prime\Big|_{x=a}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^3f(x)-a^3f(a)}{x-a}$$ ба үржвэрийн уламжлалын томьёо ашиглан уламжлалыг олбол $$\big(x^3f(x)\big)^\prime=3x^2f(x)+x^3f^\prime(x)$$ тул \begin{align*} \lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^3f(x)-a^3f(a)}{x^2-a^2}&=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^3f(x)-a^3f(a)}{x-a}\cdot\dfrac{1}{x+a}\\ &=\{3a^2f(a)+a^3f^\prime(a)\}\cdot\dfrac{1}{2a}\\ &=\dfrac{3af(a)+a^2f^\prime(a)}{2} \end{align*} болно.