Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2007 A1 №13
$\Big(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tg7x}{x}\Big)^{2007}$ тооны сүүлийн цифрийг ол.
A. $5$
B. $7$
C. $9$
D. $3$
E. $1$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 38.30%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tg7x}{x}=7\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tg 7x}{7x}$ гээд I гайхамшигт хязгаар ашигла.
Бодолт: $$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tg7x}{x}=7\cdot\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tg 7x}{7x}=7$$
тул $7^{2007}$ тооны сүүлийн цифрийг олно. $a_n=7^n$ дарааллын гишүүдийн сүүлийн цифрүүд нь
$$7, 9, 3, 1, 7,\dots$$
гэсэн 4 үетэй дарааллал тул
$$a_{2007}=a_{4\cdot 501+3}\equiv a_3\equiv 3\pmod{10}$$
буюу $3$ цифрээр төгсөнө.