Иррационал тоо -Монгол Бодлогын Сан

$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}$ бол $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\sqrt{5}$$ (2 оноо)
$a=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}$ бол $a-\dfrac{1}{a}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3-\dfrac{1}{a^3}=\fbox{d}$ (2 оноо), $a^5-\dfrac{1}{a^5}=\fbox{ef}$ (2 оноо) байна.

ЭЕШ 2017 B №37

$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}-1}$ бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлье.

$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}-1=(\sqrt[3]{3}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{3}-\fbox{c})$ хэлбэрт оруулъя.
$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}-1}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{3}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{3}-\fbox{c})}$ кубүүдийн нийлбэр, ялгаврын томьёо ашиглан хувиргавал $\dfrac{\fbox{d}\sqrt[3]{9}+13\sqrt[3]{2}-\fbox{e}}{\fbox{fg}}$ гэж иррационалаас чөлөөлөгдөнө.

ЭЕШ 2017 D №37

$A=\dfrac{12}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ ба $B=\sqrt2+2\sqrt{6}+\sqrt{21}$ тоонуудыг жишье. Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлбөл $A=\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{3}+\sqrt{\fbox{cd}}$ тул $\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{3}$ ба $\sqrt2+2\sqrt{6}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёр тоогоо квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл ${\fbox{ef}}+12\sqrt{3}$ ба $\fbox{gh}+8\sqrt{3}$ тул $A > B$ байна.

ЭЕШ 2017 D №37

$A=\dfrac{20}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}}$ ба $B=5+2\sqrt{10}+\sqrt{70}$ тоонуудыг жишье. Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлбөл $A=\fbox{a}\sqrt2+\fbox{b}\sqrt{5}+\sqrt{\fbox{cd}}$ тул $\fbox{a}\sqrt2+\fbox{b}\sqrt{5}$ ба $5+2\sqrt{10}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёр тоогоо квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл ${\fbox{ef}}+20\sqrt{10}$ ба $\fbox{gh}+20\sqrt{10}$ тул $A>B$ байна.

ЭЕШ 2017 D №37

$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-1}$ бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлье.

$2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-1=(\sqrt[3]{2}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{2}-\fbox{c})$ хэлбэрт оруулъя.
$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{2}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{2}-\fbox{c})}$ кубуудийн нийлбэр, ялгаврын томьёо ашиглан хувиргавал $\dfrac{\sqrt[3]{4}+\fbox{d}\sqrt[3]{2}-\fbox{e}}{\fbox{fg}}$ гэж иррационалаас чөлөөлөгдөнө.

Бодлого №37

$x=\dfrac{1}{\sqrt7-\sqrt5}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{a}\sqrt7$ (3 оноо)
$a=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$ бол $a+\dfrac1a=\sqrt{\fbox{b}}$ (1 оноо), $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3+\dfrac{1}{a^3}=\fbox{d}\sqrt{\fbox{e}}$ (2 оноо)

Бодлого №37

$x=\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt5+\sqrt3}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{a}\sqrt5$ (3 оноо)
$a=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$ бол $a+\dfrac1a=\fbox{b}$ (1 оноо), $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3+\dfrac{1}{a^3}=\fbox{de}$ (2 оноо)

Илэрхийлэл хялбарчлах

$\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}\Bigr):\Bigl(1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}}{\sqrt{3}+\fbox{c}}$ байна.

Хялбарчил

$\dfrac{4}{\sqrt{2}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}}+\dfrac{4}{\sqrt{2}+ \sqrt{6-4\sqrt{2}}}=\fbox{a}.$

Бутархайн хуваарийг иррационалиас чөлөөлөх

$\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}$ байг. $\alpha$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $$\alpha=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{2}+\fbox{b}\sqrt{5}-\sqrt{\fbox{cd}}}{20}$$ болно.

Илэрхийллийг хялбарчлах

$m=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}$, $n=\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}$ бол $$m^3-m^2n+mn^2-n^3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$$ (2 оноо)
$a=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$ бол $a-\dfrac{1}{a}=-\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3-\dfrac{1}{a^3}=-\fbox{d}$ (2 оноо), $a^5-\dfrac{1}{a^5}=-\fbox{ef}$ (2 оноо) байна.

Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлөх

$\left(\dfrac{2}{\sqrt3-1}+\dfrac{3}{\sqrt3-2}+\dfrac{15}{3-\sqrt3}\right)\cdot(\sqrt3+5)^{-1}$ илэрхийллийг хялбарчилбал $\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.

Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлөх

$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{15}}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt3+\fbox{cd}\sqrt{5}-\fbox{e}\sqrt{15}-\fbox{fg}}{\fbox{hi}}$

Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөл

$\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ байг. $\alpha$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $\alpha=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{5}+\fbox{b}\sqrt{6}-\sqrt{\fbox{cde}}}{60}$ болно.

Иррационал тооны бутархай хэсэг

$x=\sqrt{8-\sqrt{60}}, y=\sqrt{8+\sqrt{60}}$ бол $\alpha=\dfrac{x+y}{x-y}=-\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{3}$ байна. Иймд $\{\alpha\}=\alpha+\fbox{c}$ байна. ( $\{x\}$-ээр $x$ тооны бутархай хэсгийг тэмдэглэдэг.)

Илэрхийллийн утгыг ол

$x=\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{ab}\sqrt3$
$a=\dfrac{2}{3-\sqrt5}$ бол $a+\dfrac1a=\fbox{c}$, $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{d}$, $a^5+\dfrac{1}{a^5}=\fbox{efg}$

ЭЕШ 2015 D №38

$x=\dfrac{3-\sqrt6}{3+\sqrt6}$ ба $y=5+2\sqrt6$ бол

$x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt6$;
$x+y=\fbox{cd}$
$x\cdot y=\fbox{e}$
$\sqrt{x^3+y^3+54}=\fbox{fg}$

Иррационал илэрхийлэл

$x=\dfrac{1}{2-\sqrt3}$, $y=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ байв.

$x+y=\fbox{a}$, $xy=\fbox{b}$
$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\fbox{cd}$
$x^3+y^3=\fbox{ef}$

ЭЕШ 2015 A №38

$x=\dfrac{\sqrt6-2}{\sqrt6+2}$ ба $y=5+2\sqrt6$ бол

$x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt6$.
$x+y=\fbox{cd}$.
$x\cdot y=\fbox{e}$.
$\sqrt{x^3+y^3+119}=\fbox{fg}$.

Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлөх

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{10}}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{2}+\fbox{c}\sqrt{5}-\fbox{d}\sqrt{10}-\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$$ байна.

Иррационал илэрхийлэл

$x=\dfrac{1}{\sqrt5-2}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt5+2}$ байв.

$x-y=\fbox{a}$, $xy=\fbox{b}$
$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\fbox{cd}$
$x^3-y^3=\fbox{ef}$

Бутархайн хуваарийг иррационалиас чөлөөлөх

$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt{10}}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt2+\fbox{c}\sqrt5-\fbox{d}\sqrt{10}-\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$

ЭЕШ 2015 B №38

$x=\dfrac{3-\sqrt7}{3+\sqrt7}$ ба $y=8+3\sqrt 7$ бол

$x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt 7$;
$x+y=\fbox{cd}$
$x\cdot y=\fbox{e}$
$\sqrt{x^3+y^3+48}=\fbox{fg}$

ЭЕШ 2015 C №38

$x=\dfrac{\sqrt5-2}{\sqrt5+2}$ ба $y=9+4\sqrt 5$ бол

$x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt 5$;
$x+y=\fbox{cd}$
$x\cdot y=\fbox{e}$
$\sqrt{x^3+y^3+151}=\fbox{fg}$

2019 A №10

$p= 0.16 $ үед $\sqrt[3] {k} \cdot \sqrt[6] {k} $ үржвэрийн утгыг ол.

A.0.4 B.0.16 C.$0.2$ D.$2.5$ E.$ 2$

2019 A №10

$p= 0.36 $ үед $\sqrt[3] {p} \cdot \sqrt[6] {p} $ үржвэрийн утгыг ол.

A.0.6 B.0.36 C.$0.3$ D.$\frac{5}{3}$ E.$ 0.2$

2019 A №10

$p= 0.36 $ үед $\sqrt[3] {p} \cdot \sqrt[6] {p} $ үржвэрийн утгыг ол.

A.0.6 B.0.36 C.$0.2$ D.$ \frac53$ E.$ 0.3$

Бодлого №10625

Дараах нөхцлийг хангах $x, y$ рационал тоонуудыг ол.

$20^x=10^{y+1}$
$7^{2x}8^y=2^x7^{y-2}$

МАТ 1.10

$\pi$, $2.(07)$, $-4.5$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$ тоонуудас рационал тоог ялгаж бич.

Тэгш хэмтэй илэрхийлэл

$x=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$, $y=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$ бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг ол.

$x+y$
$x\cdot y$
$x^2+y^2$
$x^3+y^3$
$x^5+y^5$

байна.

Бодлого №171

$\left(\sqrt{\Big(\sqrt5-\dfrac52\Big)^2}-\sqrt[3]{\Big(\dfrac32-\sqrt5\Big)^3}\right)^{\frac12}-\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}4$ илэрхийллийн утгыг ол.

Бодлого №10624

$3^x=5$ байх $x$ рационал тоо олдох уу?

Рационал тооны хэлбэр

$2^r=3$ нөхцлийг хангах $r$ рационал тоог ол.
$2^x\cdot 3^{-2y}=3^x\cdot 2^{y-6}$ байх $x, y$ рационал тоонуудыг ол.

Бодлого №204

$x=\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}$ тоо $x^3+12x-8=0$ тэгшитгэлийн шийд болохыг харуул.

Тооны бүхэл хэсэг

$\dfrac{1}{5-2\sqrt{6}}$ тооны бүхэл хэсгийг ол.

A.$9$ B.$8$ C.$7$ D.$6$ E.$5$

ЭЕШ 2008 E №2

I. $1.0\left(13\right)$ II. $\pi$ III. $\sqrt{6}$ IV. $-\dfrac{5}{12}$ V. $\sqrt[{3}]{16} $ тоонуудын аль нь иррационал тоо вэ?

A.I; III; V B.II; III; V C.III; V D.II E.I; IV

Язгуур бодох

$\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}=?$

A.$2$ B.$2\sqrt3$ C.$4$ D.$7$ E.$14$

ЭЕШ 2008 A №1

I. $e$ II. $\sqrt{8}$ III. $11.(15)$ IV. $\sqrt[3]{81}$ V. $\dfrac{7}{11}$ тоонуудын аль нь иррационал тоо вэ?

A.I, II, IV B.I C.II, IV D.III, V E.III, IV, V

ЭЕШ 2008 A №7

$\sqrt{28+16\sqrt{3}}+\sqrt{\dfrac{524^2-476^2}{480}}-\sqrt{12}$

A.$14-2\sqrt{3}$ B.$140$ C.$6+4\sqrt{3}$ D.$14+2\sqrt{3}$ E.$14$

Рационал ба иррационал тоо

I. $\sqrt3$; II. $\dfrac{1}{1+\sqrt2}-\sqrt2$; III. $\dfrac{37}{21}$; IV. $\dfrac{e}{2}$; V. $1.(27)$ тоонуудын аль нь рационал вэ?

A.III B.I; II C.III, V D.II, III, V E.I; IV

Рационал ба иррационал тоо

I. $\sqrt4$; II. $\dfrac{1}{1-\sqrt2}+\sqrt2$; III. $\dfrac{2016}{2017}$; IV. $\dfrac{\pi}{3}$; V. $1.(01)$ тоонуудын аль нь рационал вэ?

A.III, V B.I; II C.II, III, V D.I, II, III, V E.I; IV

2018 №A.22

$(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3})^2$ утгыг ол.

A.$6$ B.$4$ C.$2$ D.$0$ E.$2\sqrt3$

Сорилго №2, 2019-2020

$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}$ утгыг ол.

A.$6$ B.$4$ C.$2$ D.$0$ E.$2\sqrt3$

ЭЕШ 2008 E1 №9

I. $\sqrt2$; II. $\dfrac{1}{1+\sqrt2}-\sqrt2$; III. $\dfrac{37}{21}$; IV. $e$; V. $1.(23)$ тоонуудын аль нь иррациональ вэ?

A.I; II; IV B.I; II C.III; V D.IV E.I; IV

Иррационал тооны бүхэл ба бутархай хэсэг

$\dfrac{1}{\alpha}=\sqrt{5}-2$ байг. $\alpha$-ийн бүхэл хэсгийг $a$, бутархай хэсгийг $b$ гэвэл $a=\fbox{a}$ байх ба $a+b^2+4b=\fbox{b}$ байна.

Бодлого №6051

$a, b, b\neq 0$ бүхэл тоо, $\alpha=a+b\sqrt{2}$ байг. $\alpha^2+2b\alpha-3a=0$ бол $(a;b)=(\fbox{a};\fbox{bc}).$

Иррационал тооны бүхэл ба бутархай хэсэг

$\dfrac{1}{\alpha}=2-\sqrt{3}$ байг. $\alpha$-ийн бүхэл хэсгийг $a$, бутархай хэсгийг $b$ гэвэл $a=\fbox{a}$ байх ба $a+2b+b^2=\fbox{b}$ байна.

Тэгш хэмтэй илэрхийлэл

$x=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$, $y=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$ бол

$x+y=\fbox{ab}$, $x\cdot y=\fbox{c}$
$x^2+y^2=\fbox{de}$
$x^3+y^3=\fbox{fgh}$
$x^5+y^5=\fbox{ijklm}$

байна.

Язгууруудын үржвэр

$\sqrt{90}\times\sqrt{562.5}=?$

A.$75$ B.$125$ C.$150$ D.$225$ E.$175$

2018 №A.22

$(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3})^2$ утгыг ол.

A.$6$ B.$4$ C.$2$ D.$0$ E.$2\sqrt3$

Сорилго №2, 2019-2020

$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}$ утгыг ол.

A.$6$ B.$4$ C.$2$ D.$0$ E.$2\sqrt3$

Язгууруудын үржвэр

$\sqrt{360}\times\sqrt{28.9}=?$

A.$75$ B.$125$ C.$102$ D.$150$ E.$175$

Бодлого №212

$\sqrt{|40\sqrt2-57|}-\sqrt{|40\sqrt2+57|}$ тоо нь бүхэл тоо бол түүнийг ол.

Квадрат язгуур бодох

Язгуураас гарга ($\sqrt{x}+\sqrt{y}$ байх $x$, $y$ рационал тоонуудыг ол).

$\sqrt{11+2\sqrt{30}}$
$\sqrt{9-2\sqrt{14}}$
$\sqrt{10-\sqrt{84}}$
$\sqrt{6+\sqrt{35}}$

Квадрат язгуур бодох

Язгуураас гарга.

$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$
$\sqrt{8-\sqrt{48}}$
$\sqrt{2+\sqrt{3}}$
$\sqrt{9-3\sqrt{5}}$

$\sqrt{14+6\sqrt5}$

$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=A+B\sqrt{5}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A-B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$8$ B.$4$ C.$2$ D.$1$ E.$0$

Утгыг ол

$\dfrac{\sqrt{146.5^2-109.5^2+27\cdot 16^2}}{\Bigl(\sqrt{12+2\sqrt{11}}-\sqrt{12-2\sqrt{11}}\Bigr)^2}+\sqrt 3\Bigl(\sqrt{5+2\sqrt 6}+\sqrt{5-2\sqrt 6}\Bigr)$ нь аль вэ?

A.$9$ B.$4$ C.$0.9$ D.$38$ E.$27$

ЭЕШ 2015 D №1

$\sqrt{221^2-220^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$11$ B.$1$ C.$21$ D.$31$ E.$9$

ЭЕШ 2011 D №16

$\sqrt[3]{\sqrt5-2}-\sqrt[3]{2+\sqrt5}$ тоотой тэнцүү тоо аль нь вэ?

A.$-1$ B.$0$ C.$1$ D.$2$ E.$3$

ЭЕШ 2015 B №1

$\sqrt{181^2-180^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$19$ B.$11$ C.$21$ D.$29$ E.$361$

ЭЕШ 2014 B №4

$\sqrt{24.5}\times\sqrt{50}=?$

A.15 B.25 C.30 D.45 E.35

Арифметик язгуур гаргах

$\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$ илэрхийллийн утга аль нь вэ?

A.$1$ B.$\sqrt3-1$ C.$1+\sqrt3$ D.$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt2}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt2}{2}$

Иррационал илэрхийллийн утга

$\sqrt{\dfrac{4+\sqrt{15}}{2}}-\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{15}}{2}}=?$

A.$\sqrt3$ B.$\sqrt5$ C.$3$ D.$2\sqrt2$ E.$\sqrt{15}$

ЭЕШ 2008 A №7

$\sqrt{28+16\sqrt{3}}+\sqrt{\dfrac{524^2-476^2}{480}}-\sqrt{12}$

A.$14-2\sqrt{3}$ B.$140$ C.$6+4\sqrt{3}$ D.$14+2\sqrt{3}$ E.$14$

Илэрхийллийн утгыг ол

$\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}}+\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}}=?$

A.$3$ B.$2\sqrt2$ C.$\sqrt{7}$ D.$4\sqrt2$ E.$\sqrt{5}$

Илэрхийллийн утга олох

$\sqrt{117^2-108^2}$

A.$80$ B.$35$ C.$10$ D.$20$ E.$45$

Илэрхийллийг хялбарчил

$\dfrac{\sqrt{117.5^2-26.5^2-10\cdot 12^2}}{\Bigl(\sqrt{3+\sqrt 5}-\sqrt{3-\sqrt 5}\Bigr)^2}+\sqrt{7+4\sqrt 3}+\sqrt{7-4\sqrt 3}$ нь аль вэ?

A.$8$ B.$58$ C.$38$ D.$10$ E.$60$

$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

$\sqrt[3]{13+2\sqrt{11}}\cdot\sqrt[3]{13-2\sqrt{11}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$4$ E.$5$

Бодлого №30

$\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{6}}{2}}+\sqrt{\dfrac{5-2\sqrt{6}}{2}}=?$

A.$\sqrt6$ B.$\sqrt7$ C.$3$ D.$2\sqrt2$ E.$2\sqrt{3}$

Бодлого №1

$\sqrt{37^2-12^2}$

A.$80$ B.$45$ C.$10$ D.$20$ E.$35$

Бодлого №30

$\sqrt{\dfrac{5\sqrt{2}-7}{2}}+\sqrt{\dfrac{5\sqrt{2}+7}{2}}=?$

A.$5\sqrt2+1$ B.$3\sqrt5$ C.$9$ D.$2\sqrt5$ E.$\sqrt{5\sqrt{2}+1}$

Бодлого №1

$\sqrt{65^2-16^2}$

A.$80$ B.$35$ C.$10$ D.$63$ E.$45$

Илэрхийллийг хялбарчлах

$20\sqrt{245}-\sqrt 5+\sqrt{125}-2\frac{1}{2}\sqrt {180}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$\sqrt 5$ B.$161\sqrt 5$ C.$129\sqrt 5$ D.$129$ E.$120\sqrt{5}$

Бодлого №14846

$\sqrt{5^2+12^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$12$ B.$5$ C.$14$ D.$13$ E.$17$

Бодлого №14852

$\sqrt{7^2+24^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$27$ B.$25$ C.$26$ D.$35$ E.$\sqrt{875}$

$\sqrt{14-6\sqrt5}$

$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=A+B\sqrt{5}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A-B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$8$ B.$4$ C.$2$ D.$1$ E.$0$

Иррационал тооноос квадрат язгуур гаргах

$\sqrt{13-\sqrt{88}}\cdot(\sqrt{11}+\sqrt{2})$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$11$ B.$9$ C.$3+\sqrt6$ D.$3-\sqrt6$ E.$10$

Арифметик язгуур

$\sqrt{34596}$ нь аль вэ?

A.$216$ B.$194$ C.$196$ D.$186$ E.$204$

Язгуураас үржвэр гаргах

$3\sqrt{108}-3\sqrt3+2\sqrt{147}-3\frac{2}{3}\sqrt{243}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$-4\sqrt 3$ B.$4\sqrt 3$ C.$4$ D.$3\sqrt 3$ E.$-3\sqrt 3$

Язгуур ба рационал зэрэг

$\left(\sqrt[4]{32\cdot\sqrt[3]{4}}+\sqrt[4]{64\sqrt[3]{\dfrac12}}-3\sqrt[3]{2\sqrt[4]2}\right)\cdot\dfrac3{\sqrt[12]{2^5}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$0$ B.$\dfrac12$ C.$1$ D.$2$ E.$3$

ЭЕШ 2011 A №6

$\sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt{A}+\sqrt{B}$ бол $A+B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$7$ B.$6$ C.$5$ D.$9$ E.$8$

$\sqrt{a^2}=|a|$

$\sqrt{(\sqrt{3}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+3)^2}=?$

A.$2\sqrt{3}$ B.$6$ C.$2$ D.$3$ E.$\sqrt{3}$

Иррационал тооноос квадрат язгуур гаргах

$(\sqrt{28}-\sqrt{12})\cdot\sqrt{10+\sqrt{84}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$8$ B.$9$ C.$3+\sqrt8$ D.$3-\sqrt8$ E.$10$

Язгуураас үржигдэхүүн гаргах

$a<0$, $b>0$ бол $\dfrac{b}{a}\sqrt{\dfrac{a^2}{b}\sqrt{\dfrac1{b^2}}}=?$

A.$1$ B.$-1$ C.$\dfrac{a}{b}$ D.$\dfrac{b}{a}$ E.$\dfrac{b^2}{a^2}$

$\sqrt{14-6\sqrt5}$

$\sqrt{14-6\sqrt{5}}=A-B\sqrt{5}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A-B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.$8$ B.$4$ C.$2$ D.$1$ E.$0$

Иррационал тооны язгуур

$\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{A}-\sqrt{B}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A+B=?$

A.$9$ B.$5$ C.$7$ D.$2$ E.$14$

Арифметик язгуур

$\sqrt{10+2\sqrt{21}}=\sqrt{A}+\sqrt{B}$ бол $|A-B|=?$

A.1 B.2 C.3 D.4 E.5

Зэргээс язгуур гаргах

$A=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt[3]{a^3}\cdot\sqrt[4]{a^4}\cdots\sqrt[10]{a^{10}}=?$

A.$a^9$ B.$a^{10}$ C.$|a^{9}|$ D.$|a^{10}|$ E.$\dfrac{1}{1-a}$

Арифметик язгуур

$\sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{5}=?$

A.$2\sqrt{5}-3$ B.$5+\sqrt{5}+\sqrt{3}$ C.$2\sqrt{5}$ D.$3$ E.$1+\sqrt5$

Арифметик язгуур

$\sqrt{54756}$ нь аль вэ?

A.$226$ B.$234$ C.$184$ D.$334$ E.$196$

Илэрхийллийг хялбарчлах

$20\sqrt{245}-\sqrt 5+\sqrt{125}-2\frac{1}{2}\sqrt {180}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$\sqrt 5$ B.$161\sqrt 5$ C.$129\sqrt 5$ D.$129$ E.$120\sqrt{5}$

Утгыг ол

$\dfrac{\sqrt[4]{14+6\sqrt 5}\cdot\sqrt{3-\sqrt 5}+\sqrt 2\cdot\sqrt{176^2-112^2}}{\sqrt[3]{5\sqrt 2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt 2-7}}$ нь аль вэ?

A.$79$ B.$7$ C.$97$ D.$87$ E.$89$

Илэрхийллийг хялбарчил

$\Bigl(\sqrt[6]{9+4\sqrt 5}+\sqrt[3]{2+\sqrt 5}\Bigr):\sqrt[3]{2-\sqrt 5}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$2\sqrt[3]{9+4\sqrt 5}$ B.$-2\sqrt[3]{9+4\sqrt 5}$ C.$\sqrt[3]{9-4\sqrt 5}$ D.$\sqrt[3]{9+4\sqrt 5}$ E.$1$

Илэрхийллийг хялбарчил

$\Bigl(\sqrt[6]{7+4\sqrt 3}+\sqrt[3]{2+\sqrt 3}\Bigr):\sqrt[3]{\sqrt 3-2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$-2(2+\sqrt 3)$ B.$2\sqrt[3]{7+4\sqrt 3}$ C.$2+\sqrt{3}$ D.$-2\sqrt[3]{7+4\sqrt 3}$ E.$2-\sqrt{3}$

Утгыг ол

$\sqrt{\dfrac{518^2-482^2}{360}}+\sqrt{24^2+32^2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$25$ B.$50$ C.$65$ D.$10$ E.$36$

Хялбар аргаар бод

$\sqrt{\displaystyle\frac{629^2-581^2}{480}}+\sqrt{20^2+15^2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$18$ B.$12$ C.$6$ D.$36$ E.$49$

Илэрхийллийг хялбарчлах

$(4+\sqrt{15})\cdot\Bigl(\sqrt{10}-\sqrt 6\Bigr)\sqrt{4-\sqrt{15}}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$3(\sqrt{10}-\sqrt 6)$ B.$\sqrt{15}$ C.$2$ D.$0$ E.$3(\sqrt{10}+\sqrt 6)$

Илэрхийллийг хялбарчил

$\sqrt{3-\sqrt 5}\cdot\Bigl(\sqrt{10}-\sqrt 2\Bigr)\Bigl(3+\sqrt 5\Bigr)$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$\sqrt{10}-\sqrt 2$ B.$\sqrt 5$ C.$0$ D.$8$ E.$2$

4 зэргийн язгуур

$\sqrt[4]{331776}$ нь аль вэ?

A.$28$ B.$26$ C.$24$ D.$32$ E.$22$

Бодлого №5926

$\sqrt[4]{707281}$ нь аль вэ?

A.31 B.29 C.33 D.27 E.81

Илэрхийллийг хялбарчил

$\sqrt{57-40\sqrt 2}-\sqrt{40\sqrt 2+57}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$10$ B.$-10$ C.$8\sqrt 2$ D.$0$ E.$-1$

Иррационал тооноос язгуур гаргах

$-\sqrt{29-12\sqrt 5}+\sqrt{12\sqrt 5+29}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$-64$ B.$0$ C.$4\sqrt 5$ D.$6$ E.$10$

Утгыг ол

$$3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{29-4\cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}}}}=3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{29-4(\fbox{a}+\sqrt{5})}}=$$ $$=3\cdot\sqrt{\dfrac{17}{3}+|\fbox{b}-\fbox{c}\sqrt{5}|}=\fbox{d}\sqrt{3}+\sqrt{\fbox{ef}}$$ болно.

Иррационал тооноос язгуур гаргах

$$2\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=2\sqrt{1+\sqrt{3+(\fbox{a}\sqrt{3}+\fbox{b})}}=$$ $$=2\sqrt{1+|\fbox{c}+\sqrt{3}|}=\sqrt{\fbox{d}}+\sqrt{\fbox{e}}$$ болно. Энд $\fbox{d}< \fbox{e}$.

Иррационал тооноос язгуур гаргах

$$2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=2\sqrt{3+\sqrt{5-(\fbox{a}\sqrt{3}+\fbox{b})}}=$$ $$=2\sqrt{3+|\fbox{c}-\sqrt{3}|}=\sqrt{\fbox{d}}+\sqrt{\fbox{e}}$$ болно. Энд $\fbox{d}< \fbox{e}$.

Илэрхийллийн утгыг ол

$\sqrt[6]{4-2\sqrt3}\cdot\sqrt[3]{1+\sqrt3}\cdot\sqrt[3]4=\fbox{a}$.

ЭЕШ 2007 A №3

$(\sqrt3+\sqrt2-\sqrt{18})^2$ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$4\sqrt6-9$ B.$9+4\sqrt6$ C.$11-4\sqrt6$ D.$11+4\sqrt6$ E.$4\sqrt6-11$

Монгол Бодлогын Сан

Иррационал тоо

$n$ зэргийн язгуур

Арифметик квадрат язгуур

Бутархайн хуваарь иррационалаас чөлөөлөх

Зэрэг, язгуур

Иррационал тоо

Үржвэр ба ноогдвороос квадрат язгуур гаргах

Язгуур гаргах

Язгуурын тэмдэг дороос үржигдэхүүн гаргах

Монгол Бодлогын Сан

Иррационал тоо

$n$ зэргийн язгуур

Арифметик квадрат язгуур

Бутархайн хуваарь иррационалаас чөлөөлөх

Зэрэг, язгуур

Иррационал тоо

Үржвэр ба ноогдвороос квадрат язгуур гаргах

Язгуур гаргах

Язгуурын тэмдэг дороос үржигдэхүүн гаргах

Санал хүсэлт: