Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Матриц

$A^2$, $A$, $E$ матрицын холбоо
Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржих үйлдэл
Матрицын үржих үйлдэл
Мөр ба багана дээрх элементар хувиргалтын матриц
Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх, тэнцэх нөхцөл
Тодорхойлогч
Тэг болон нэгж матриц
Урвуу матриц
Хувийн утга, хувийн вектор
Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх
Хувиргалтын матриц
Шугаман тэгшитгэлийн системийг матриц ашиглан бодох

$A^2$, $A$, $E$ матрицын холбоо

  1. $\begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}$ бол $A^2+a\cdot A+b\cdot E=0$ байх $a, b$-г ол.
  2. $x^n$-ийг $x^2-5x-6$-д хуваахад гарах үлдэгдэл $a_nx+b_n$-ийг ол.
  3. $A^n$-ийг ол.
$\begin{pmatrix}-4 & -1\\ \phantom{-}5 & \phantom{-}2\end{pmatrix}$ матриц өгөв.
  1. $A^{-1}=pE+qA$ байх $p$, $q$-г ол.
  2. $(A^{-1})^n$-ийг ол.
$A=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 3\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $$A^2-\fbox{a}A+\fbox{b}E=0$$ биелэнэ. Түүнчлэн $$x^n=(x^2-\fbox{a}x+\fbox{b})Q(x)+nx+(1-n)$$ тул $$A^{10}=\begin{pmatrix} -\fbox{cd} & \fbox{ef}\\ -\fbox{ef} & \fbox{gh}\end{pmatrix}$$ байна.

Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржих үйлдэл

Дараах тохиолдолд $kA$ матрицыг ол.
  1. $k=2, \begin{pmatrix} -1 & \hfill 2\\ \hfill 3 & -4 \end{pmatrix}$
  2. $k=-1, A=\begin{pmatrix} \hfill 1 & 2 & -1\\ -3 & 1 & \hfill 0 \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ 0 & \hfill 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} \hfill 2 & 2\\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ бол $3X-B=X+4A$ тэгшитгэлийг бодож $X$ матрицыг ол.
  1. $A, B$ нь матрицууд бол $2(3A-2B)-3(A-B)$ илэрхийллийг хялбарчил.
  2. $A=\begin{pmatrix} \phantom{-}2 & 1\\ -3 & 0 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & -1\\ -7 & \phantom{-}3 \end{pmatrix}$ тохиолдолд өмнөх илэрхийллийн утгыг ол.
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ матрицын эсрэг матриц аль нь вэ?

A. $\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & -3\\ -2 & -4 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}^{-1}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}4 & 0\\ \phantom{-}1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}2\\ 5 & -7\\ 0 & \phantom{-}9 \end{pmatrix}$ бол $3A+(2B-A)-4C$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 &\phantom{-} 0\\ -8 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}8 & -18 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 &\phantom{-}2\\ -2 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}6 & -10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}24\\ -6 & \phantom{-}14\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 0\\ \phantom{-}8 & 10\\ -8 & 18 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}14\\ -6 & \phantom{-}24\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$    

Матрицын үржих үйлдэл

$A=\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin30^\circ\\ \sin30^\circ & \phantom{-}\cos30^\circ \end{pmatrix} $ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}, P=\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$ матрицууд байраа сольдог байх $\Longleftrightarrow$ $b=0, a=d$ болохыг батал.
$A^2, A, E$ матрицуудын хамаарлыг ашиглан дараах $A$ матрицын $A^3,A^4$-ийг ол.
  1. $\begin{pmatrix}1 & -1\\3 & -2\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}-2 & 7\\ \phantom{-}1 & 3\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}4 & -2\\2 & -1\end{pmatrix}$
Дараах $A$ матрицуудын хувьд $A^2, A^3, A^4$-ийг тус тус ол.
  1. $A=\begin{pmatrix}1 & \phantom{-}0\\0 & -2\end{pmatrix}$
  2. $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\3 & 1\end{pmatrix}$
  3. $A=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$
$A, B$ нь дараах нөхцөлийг хангах матрицууд байг: $$A+B=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}, A-B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$$ Дараах матрицуудыг ол.
  1. $(A+B)(A-B)$
  2. $A^2-B^2$
$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=1, ad-bc=1$ нөхцөл биелэх бол $A^3=-E$ гэж батал.
$A=\begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}3 & -2\\ \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.
$AB$, $BA$ матрицуудыг ол. Эдгээр нь байраа сольдог матрицууд мөн үү? $$A=\begin{pmatrix} 3 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2\\ 2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}3\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}6 & \phantom{-}10\\ 1 & -8 & -13\\ 1 & \phantom{-}7 & \phantom{-}11 \end{pmatrix}$$
Үржих үйлдлийг гүйцэтгэ.
  1. $\begin{pmatrix}1 & -2\\ 3 & \hfill 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hfill 5 \\ -6 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4\\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix}3 & -1\\7 & -2\end{pmatrix}$ матрицын 2, 3, 4 зэргийг ол.
$$AB=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}, BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\5 & 0\end{pmatrix} $$ болно.
$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=-1$, $ad-bc=1$ бол $A^3=E$ болохыг батал.
Let $A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$ $(a>0)$ and $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ satisfy $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Answer the following questions and write your answers in the boxes provided.
  1. Find $a$.
  2. Find the minimum positive integer $n$ such that $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$
  3. Find $A^{2014}$.
$A=\begin{pmatrix} \cos120^\circ & -\sin120^\circ\\ \sin120^\circ & \phantom{-}\cos120^\circ \end{pmatrix}$ бол $A^{2019}$-г ол.

A. $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & -1 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     E. Бодох боломжгүй    
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 13 & 25\\ 12 & 27 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 11 & 20\\ 11 & 23 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & 10\\ 12 & -3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 20 & 11\\ 21 & 32 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 32 & -2\\ 11 & -2 \end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ бол $AB-BA$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}-4 & -4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix}-4 & 0\\ -4 & 4\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ бол $A^3$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1 & -1\\ -1 & \phantom{-}5 & -3\\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} -4&\phantom{-}2&\phantom{-}6\\ -2&\phantom{-}12&-10\\ \phantom{-}4&-8&\phantom{-}6 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1&\phantom{-}0&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}9&-8\\ \phantom{-}8&-4&\phantom{-}2 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -2&\phantom{-}3&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}6&-8\\ \phantom{-}2&-6&\phantom{-}1 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$    
$\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}2 & 1\\ 2 & \phantom{-}3 & 0\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 10 \end{pmatrix}$ бол $x+y+z$-ийг ол.

A. $4$     B. $-4$     C. $8$     D. $12$     E. $16$    
$\begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & h\\ h & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ матрицын элементийг ол.

A. $ax^2+by^2$     B. $ax^2-hxy+by^2$     C. $ax^2+hxy+by^2$     D. $ax^2-2hxy+by^2$     E. $ax^2+2hxy+by^2$    
$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 8 & -1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -8 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $B\cdot A$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} -3 & -5\\ -1 & \phantom{-}5 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -3 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    
$341000$ тоог стандарт дүрсээр бич.

A. $34.1\cdot10^4$     B. $(34.1\cdot10^5)$     C. $(3.41\cdot10^5)$     D. $(0.341\cdot10^6)$     E. $(3.41\cdot10^3)$    
$\begin{pmatrix} -1 & 3 \\

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $ \begin{pmatrix} \ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

A. $(-11)$     B. $(1)$     C. $\begin{pmatrix} -5 & 6 \\ \end{pmatrix}$     D. $ \begin{pmatrix} \ -5 \\ 6 \end{pmatrix}$     E. олох боломжгүй    
$341000$ тоог стандарт дүрсээр бич.

A. $34.1\cdot10^4$     B. $(34.1\cdot10^5)$     C. $(3.41\cdot10^5)$     D. $(0.341\cdot10^6)$     E. $(3.41\cdot10^3)$    
$\begin{pmatrix} -5 & 3 \\

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $ \begin{pmatrix} \ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

A. $(2)$     B. $(-22)$     C. $\begin{pmatrix} -10 & 12 \\ \end{pmatrix}$     D. $ \begin{pmatrix} \ -10 \\ 12 \end{pmatrix}$     E. олох боломжгүй    
$A=t\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
  1. $t=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{2}$ байна.
  2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
  3. $A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.
$A=t\begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\\ 1 & \hfill \sqrt3 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^6+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
  1. $t=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ байна.
  2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
  3. $A^{2020}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.

Мөр ба багана дээрх элементар хувиргалтын матриц

$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & 0\\ -2 & \phantom{-}1 & 0\\ \phantom{-}0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

A. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 & 1\\ 4 & -3 & 1\\ 7 & -6 & 1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \phantom{-}0\\ 4 & 1 & -3\\ 7 & 1 & -6\end{pmatrix}$    

Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх, тэнцэх нөхцөл

$2\times 3$ хэмжээтэй $\begin{pmatrix}1 & 0 & 5\\ 3 & 2 & 6\end{pmatrix}$ матрицын $(1, 3)$ ба $(2, 2)$ элементүүд хэдтэй тэнцүү вэ?
Дараах матрицуудын хэмжээсийг тодорхойл. $$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \hfill 2\\ 0 & 5 & -7\\ 2 & 0 & \hfill 9 \end{pmatrix} $$
$A$ матрицын $(i, j)$ элемент нь $a_{ij}$ гэдгийг ашиглан $a_{12}, a_{23}, a_{31}$ элементүүдийн үржвэрийг ол. 2-р мөр, 3-р багануудаас тогтох матрицууд нь юу вэ? $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
Матрицууд тэнцэх нөхцөлийг ашиглан $x, y, u, v$-г тус тус ол.

  1. $\begin{pmatrix} x & 1\\ 3 & 2+y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 & u\\ u+v & 0 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ u+v & x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 & -1\\ 5 & \hfill 1 \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 2 & -1\\ -3 & 3 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}$ матрицын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь худал вэ?

A. Хэмжээс нь $2\times3$     B. $a_{12}\cdot a_{21}=-6$     C. Хамгийн бага элемент нь $-3$     D. $a_{32}=6$     E. Тодорхойлогчгүй    
$\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ x-y & u+v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 9 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$ бол $x-u$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $1$     B. $0$     C. $5$     D. $4$     E. $10$    
$\begin{pmatrix}y-15\\ 2y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$ бол $(x,y)$-г ол.

A. $(6,3)$     B. $(-8,-4)$     C. $(-6,-3)$     D. $(3,6)$     E. $(-3,-6)$    

Тодорхойлогч

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг ол.
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\ 2 & 7 & -2\\ 5 & 8 & \phantom{-}4 \end{vmatrix}$ тодорхойлогчийг ол.

A. $1$     B. $-17$     C. $-9$     D. $17$     E. $9$    
$ -1< a<3 $ үед $ \sqrt {(a+1)^2}+\sqrt {(a^2-6a+9)} $ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $ 2a-2$     B. $ 4$     C. $ 2-2a$     D. $ -4$     E. $ 5 $    
$\begin{pmatrix} \sin73^{\circ} & \cos77^{\circ} \\ \sin17^{\circ} & \cos13^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E. $-\dfrac{1}{2}$    
$\begin{pmatrix} \sin53^{\circ} & \cos67^{\circ} \\ \sin37^{\circ} & \cos23^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E. $-\dfrac{1}{2}$    
$\begin{pmatrix} \sin53^{\circ} & \cos67^{\circ} \\ \sin37^{\circ} & \cos23^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A. $- \dfrac12 $     B. $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $     C. $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E. $\dfrac{1}{2}$    

Тэг болон нэгж матриц

$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $A^3=0$ бол
  1. $A$ матриц урвуугүй гэж батал.
  2. $A^2=(a+d)A$ болохыг батал.
  3. $A^2\neq 0$ байх $A$ матриц олдох уу?
$A=\begin{pmatrix}\phantom{-}a & \phantom{-}a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $-2$     B. $-1$     C. $0$     D. $1$     E. $2$    

Урвуу матриц

$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуутай байх $a$ параметрийн утгыг ол.
$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.
$A$ нь урвуутай матриц ба $k\not=0$ бол $(kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}$ болохыг батал.
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матриц бол $AX=E$ байх $X$ матрицын хувьд $XA=E$ болохыг харуул.
Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.
  1. $\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}1 & 3\\0 & 1\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}2 & 5\\1 & 3\end{pmatrix}$
  4. $\begin{pmatrix}2 & -3\\4 & -6\end{pmatrix}$
  5. $\begin{pmatrix}\phantom{-}2 & -3\\ -5 & \phantom{-}5\end{pmatrix}$
  6. $\dfrac15\begin{pmatrix}-3 & 4\\ \phantom{-}4 & 3\end{pmatrix}$
$A$ урвуутай матриц бол дараах өгүүлбэрүүдийг батал.
  1. Хэрэв $AB=AC$ бол $B=C$ байна.
  2. Хэрэв $A^2-A+E=0$ бол $A+A^{-1}=E$ байна.
$A$ нь $A^2=E$ байх матриц ба $t$ нь бодит тоо байг.
  1. $(A-tE)(A+tE)$ матрицыг ол.
  2. Хэрэв $t^2\not=1$ бол $A+tE$ матриц урвуутайг батал.
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ ба $A^\prime=\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}$ матрицууд $$AA^\prime=E\text{ ба }A^\prime A=E$$ нөхцөлүүдийг хангах бол $$a^2+b^2=c^2+d^2=1, ac+bd=0$$ ба $$a^2+c^2=b^2+d^2=1, ab+cd=0$$ болохыг батал.
Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.

  1. $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$
  2. $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 6\end{pmatrix}$
$AB$ матрицын урвуу матриц нь $B^{-1}A^{-1}$ матрицтай тэнцүү болохыг батал.
$\begin{pmatrix}2 & 5\\3 & 7\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}2 & 3\\5 & 7\end{pmatrix}$ тэгшитгэлийг бод.
$\begin{pmatrix} 7 & 12\\ 5 & 10 \end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 7 & 5\\ 12 & 10 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     D. $\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     E. $\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$    
$\begin{pmatrix} 2-x & 3\\ 2 & 1-x \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A. $x_1=-2$, $x_2=2$     B. $x_1=-1$, $x_2=4$     C. $x_1=-4$, $x_2=1$     D. $x_1=-1$, $x_2=0$     E. $x_1=-4$, $x_2=4$    
$\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 6 & 7 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 7 & -2 \end{pmatrix}$ бол $X$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 35 & 12\\ 31 & 10 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} -35 & -12\\ -31 & -10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -35 & -12\\ \phantom{-}31 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -35 & 12\\ -31 & 10 \end{pmatrix}$     E. Ийм $X$ матриц олдохгүй    
$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix}-1.5 & -1\\1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}3 & -2\\2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix}1.5 & -1\\1 & -1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix}1.5 & -1\\-1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix}-1.5 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $a=-4$ эсвэл $a=3$     B. $a=-4$     C. $a=3$     D. $a=4$ эсвэл $a=-3$     E. $a=4$    
$A=\begin{pmatrix}a-1 & 2\\3 & a-2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $a=-4$ эсвэл $a=1$     B. $a=-4$     C. $a=1$     D. $a=4$ эсвэл $a=-1$     E. $a=4$    
$\begin{pmatrix} x & 2\\ 3 & x+1 \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A. $x_1=-2$, $x_2=2$     B. $x_1=-1$, $x_2=4$     C. $x_1=-3$, $x_2=2$     D. $x_1=-1$, $x_2=0$     E. $x_1=-4$, $x_2=4$    
$\begin{pmatrix} 2-x & 3\\ 2 & 1-x \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A. $x_1=-2$, $x_2=2$     B. $x_1=-1$, $x_2=4$     C. $x_1=-4$, $x_2=1$     D. $x_1=-1$, $x_2=0$     E. $x_1=-4$, $x_2=4$    
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\end{pmatrix}$ ба $4A^{-1}+A$-ийг ол.

A. $\begin{pmatrix} 10 & 25\\ 10 & 20\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & 0\\ -3 & 4\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 0\\ -3 & 0.5\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 6 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 5 & -6\\ 3 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ бол $A$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & -1\\ -2 & \phantom{-}3\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}-3 & -1\\ -2 & -1\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1\\ -2 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 6 & 2\end{pmatrix}$ ба $4A^{-1}+A$-ийг ол.

A. $\begin{pmatrix} \hfill 8 & -1\\ -6 & \hfill 2\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \hfill 4 & -2\\ -6 & \hfill 4\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & -0.5\\ -3 & 2\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 8 & -1\\ 0 & \phantom{-}6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -11\\ 4 & \phantom{-}10\end{pmatrix}$    

Хувийн утга, хувийн вектор

$\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{pmatrix}$ матрицын хувийн утгуудыг ол.

Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. эргүүлэлт     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. төвийн тэгш хэм     E. параллел зөөлт    
$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. төвийн тэгш хэм     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. параллел зөөлт     E. эргүүлэлт    
$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)
$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)
$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)
$A(2,1)$, $B(2,4)$, $C(4,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},2)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},2)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)

Хувиргалтын матриц

$(1,0)$ цэгийг $(0,1)$ цэгт; $(0,1)$ цэгийг $(1,0)$ цэгт шилжүүлэх хувиргалтын матриц аль нь вэ?

A. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$    
Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $\alpha$ өнцгөөр эргүүлэх хувиргалтын матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & -\alpha\\ \alpha & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \alpha\\ -\alpha & 1 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}\cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$    
Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг $60^\circ$-ийн эргүүлэлт ба $\vec{\mathstrut v}=3\vec{\mathstrut i}+5\vec{\mathstrut j}$ векторын дагуух параллел зөөлтийг дараалан хэрэглэхэд $A(2,0)$ цэг ямар координаттай цэгт очих вэ?

A. $\begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt3 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 4\\ 5-\sqrt3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 4\\ 5+\sqrt3 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 5-\sqrt3\\ 4 \end{pmatrix}$    
$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}0 & 1 \end{pmatrix}$ аль хувиргалтын матриц вэ?

A. Цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ эргүүлэлт     B. Цагийн зүүний дагуу $90^\circ$ эргүүлэлт     C. Координатын эхийн хувь дахь төвийн тэгш хэм     D. $Ox$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм     E. $Oy$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм    
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. эргүүлэлт     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. төвийн тэгш хэм     E. параллел зөөлт    
$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ хувиргалтын матрицтай хувиргалтаар $(4,-2)$ цэгийн дүр аль цэг байх вэ?

A. $(3,0)$     B. $(0,1)$     C. $(2,-2)$     D. $(2,2)$     E. $(2,-1)$    
$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. төвийн тэгш хэм     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. параллел зөөлт     E. эргүүлэлт    

Шугаман тэгшитгэлийн системийг матриц ашиглан бодох

$\left\{\begin{array}{c} 3x+7y=1\\ x+2y=0 \end{array}\right.$ тэгшитгэлийн системийг бод.
$\left\{\begin{aligned} x+3y+\phantom{2}z&=5\\ x+2y-\phantom{2}z&=1\\ 2x-\phantom{2}y+2z&=2 \end{aligned}\right.$ систем тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичвэл аль тэгшитгэл гарах вэ?

A. $\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0\\ 0 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1\\ 1 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$    
$\left\{ \begin{array}{c} \phantom{-}6x-5y+7z=3\\ -7x+6y-\phantom{7}z=1\\ \end{array} \right.$ тэгшитгэлийг урвуу матриц ашиглан бодъё. $$\begin{pmatrix} \phantom{-}6 & -5\\ -7 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ тул $$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \fbox{a} & \fbox{b}\\ \fbox{c} & \fbox{d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ байна. Иймд тэгшитгэлийн ерөнхий шийд $$(x,y,z)=(23-\fbox{ef}z,27-\fbox{gh}z,z)$$