Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
$A$, $A^{-1}$, $E$ матрицуудын хамаарал
$\begin{pmatrix}-4 & -1\\ \phantom{-}5 & \phantom{-}2\end{pmatrix}$ матриц өгөв.
- $A^{-1}=pE+qA$ байх $p$, $q$-г ол.
- $(A^{-1})^n$-ийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- $A^2-(a+d)\cdot A+(ad-bc)\cdot E=0$ байдаг тул $$A^2-(-4+2)\cdot A+\{(-4)\cdot 2-(-1)\cdot 5\}\cdot E=0\Leftrightarrow A^2+2A-3E=0$$ байна. Үүнийг $A^{-1}$-ээр үржүүлбэл $$A+2E-3A^{-1}=0\Rightarrow p=\dfrac23,\ q=\dfrac13$$ болно.
- $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$ тул $$x^{n}=(x^2+2x-3)\cdot Q(x)+a_nx+b_n=(x+3)(x-1)\cdot Q(x)+a_nx+b_n$$ болно. Энд $x=-3$ гэвэл $$(-3)^n=-3a_n+b_n,$$ $x=1$ гэвэл $$1^n=a_n+b_n$$ байна. Эндээс $$a_n=\dfrac{1-(-3)^n}{4},\ b_n=\dfrac{3+(-3)^n}{4}$$ гэж олдоно. Иймд $n+1$, $x=A$ үед $$A^{n+1}=(A^2-5A-6E)\cdot Q(A)+a_n\cdot A+b_n\cdot E$$ болно. Иймд $A^n=(A^2-5A-6E)\cdot Q(A)+a_n\cdot A+b_n\cdot E$ болно. Иймд $$\begin{aligned} A^n&=\dfrac{6^n-(-1)^n}{7}\begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}+\dfrac{6^n+6\cdot(-1)^n}{7}\cdot E\\ &=\dfrac17\begin{pmatrix}2\cdot6^n+5\cdot(-1)^n & 5\cdot6^n-5\cdot(-1)^n\\2\cdot6^n+2\cdot(-1)^n & 5\cdot6^n+2\cdot(-1)^n\end{pmatrix} \end{aligned}$$ болно.