Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №15869
$A=t\begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\\ 1 & \hfill \sqrt3 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^6+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
- $t=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ байна.
- $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
- $A^{2020}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.
a = 2
b = 9
cde = 120
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 7.94%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- Бодлогын нөхцөлөөс $A^6=-I$ тул $(\det A)^6=1$ буюу $$[t^2\cdot(\sqrt3\cdot\sqrt3-(-1)\cdot1)]^6=1$$ байна. Эндээс $t>0$ тул $t=\dfrac{1}{2}$ байна.
- $A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\\ 1 & \hfill \sqrt3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos30^\circ & -\sin30^\circ\\ \sin30^\circ & \phantom{-}\cos30^\circ \end{pmatrix}$ тул $A$ нь цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $30^\circ$ эргүүлэх эргүүлэх хувиргалтын матриц болно. Иймд $\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$-г $\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$-д буулгахын тулд 9 удаа $30^\circ$-аар эргүүлнэ. Эндээс $$A^9\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$$ буюу $n$-ийн хамгийн бага утга нь $n=9$ байна.
- $A^{2020}$ нь $2020\cdot 30^\circ=168\cdot 360^\circ+120^\circ$ градусын эргүүлэлт буюу $120^\circ$ эргүүлэлтийн матриц тул $$A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos120^\circ & -\sin120^\circ\\ \sin120^\circ & \phantom{-}\cos120^\circ \end{pmatrix}$$ байна.