Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Holy guacamole! www.integral.mn сайт 2026-01-01-ээс шинэчлэгдэж www.mathminds.club хуудас руу шилжинэ.
Комплекс тоо
Комплекс тоо агуулсан хялбар тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийн шийдийг дүрслэх
Зурагт зураасаар дүрслэгдсэн муж аль нөхцөлийг хангах вэ?
A.$|z|\le 1$, $|z-1-i|\ge 1$ B.$|z|\le 1$, $|z-1+i|\ge 1$ C.$|z|\ge 1$, $|z-1-i|\ge 1$ D.$|z|\ge 1$, $|z-1-i|\le 1$ E.$|z|\le 1$, $|z+1-i|\ge 1$
$z_1$, $z_2$, $z_3$ цэгүүдэд оройтой гурвалжныг багтаасан тойргийн төв аль тэгшитгэлийн шийд вэ?
A.$\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z-z_2|\\|z-z_1|=|z-z_3|\end{array}\right.$ B.$\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z_2-z_3|\\|z-z_2|=|z_1-z_3|\end{array}\right.$ C.$\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z_1-z_2|\\|z-z_1|=|z_1-z_3|\end{array}\right.$ D.$\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z-z_2|\\|z-z_3|=|z_2-z_3|\end{array}\right.$ E.$\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z_1-z_2|\\|z-z_2|=|z_2-z_3|\end{array}\right.$
Комплекс тоо тодорхойлолт
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь үнэн бэ?
A.$\overline{z}=4+3i$ B.$Re\, z=3$ C.$Im\, z=4$ D.$|z|>3\sqrt{3}$ E.$\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$
$ z=-2i^{2018}+i^{2019}$ бол уг тоо аль мөчид орших вэ?
A.$ III$ B.$ I$ C.$II$ D.$IV$ E.олох боломжгүй.
$cosx=-\dfrac{3}{4}$ $180^{\circ}$ - аас их $270^{\circ} $ - аас бага бол $sinx$ - г ол.
A.$-\dfrac{ \sqrt {7} }{4}$ B.$\dfrac{ \sqrt {5} }{3}$ C.$\dfrac{3}{11}$ D.$\dfrac{7}{16}$ E.${1}$
$ z=i^{2018}+2i^{2019}$ бол уг тоо аль мөчид орших вэ?
A.$I$ B.$III$ C.$II$ D.$IV$ E.олох боломжгүй.
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{2021} i^n$ нийлбэрийг ол.
A.$0$ B.$1+i$ C.$1-i$ D.$i$ E.$1$
$ 1$, $ 1.8$, $ \frac{7}{4}$, $ \frac{\pi}{2} $ тоонуудын $ \sqrt3 $ - аас их байх бүх тоог ялган бич.
A.$ 1.8, \frac{\pi}{2}$ B.$ \frac{7}{4}$ C.$ \frac{\pi}{2}$ D.$ 1.8, \frac{7}{4} $ E.$ \frac{7}{4}$, $1 $
Комплекс хавтгайд $1+i$ цэгийг $2+3i$ цэгийг тойруулан цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $90^\circ$ эргүүлэхэд ямар цэг гарах вэ?
A.$3+5i$ B.$-4i$ C.$4i$ D.$2+4i$ E.$4+2i$
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{2019} i^n$ нийлбэрийг ол.
A.$0$ B.$i$ C.$-i$ D.$1$ E.$-1$
$z=1-\sqrt{3}i$ тооны модуль ба аргумент аль нь вэ?
A.$2$ ба $\dfrac{2\pi}{3}$ B.$2$ ба $-\dfrac{\pi}{6}$ C.$1$ ба $-\dfrac{\pi}{3}$ D.$2$ ба $-\dfrac{\pi}{3}$ E.$1$ ба $\dfrac{\sqrt3}{2}$
$a=i^{2017}$, $b=i^{2018}$ бол $a\cdot b$ аль тоотой тэнцүү вэ?
A.$0$ B.$-i$ C.$-1$ D.$1$ E.$i$
$|8-15i|=?$
A.$-17$ B.$16$ C.$17$ D.$18$ E.$-18$
$a=i^{2018}$, $b=i^{2019}$ бол $a\cdot b$ аль тоотой тэнцүү вэ?
A.$0$ B.$-i$ C.$-1$ D.$1$ E.$i$
$\begin{pmatrix}
\phantom{-}1 & i\\
-i & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & -i\\
i & \phantom{-}1
\end{pmatrix}$ үйлдлийг гүйцэтгэ.
A.$\begin{pmatrix} \phantom{-i}2 & 2i\\ -2i & 2 \end{pmatrix}$ B.$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ C.$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ D.$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ E.$\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$
$z=\dfrac{1+\sqrt3i}{2}$ тооны модуль ба аргумент аль нь вэ?
A.$\dfrac12$ ба $\dfrac{\pi}{4}$ B.$1$ ба $\dfrac{\pi}{6}$ C.$1$ ба $\dfrac{\pi}{3}$ D.$\dfrac12$ ба $\dfrac{\pi}{3}$ E.$\dfrac12$ ба $\dfrac{\sqrt3}{2}$
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь худал вэ?
A.$\overline{z}=4-3i$ B.$Re\, z=4$ C.$Im\, z=-3$ D.$\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$ E.$|z|=5$
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{2018} i^n$ нийлбэрийг ол. Энд $i^2=-1$ хуурмаг тоо.
A.$0$ B.$i$ C.$-i$ D.$1$ E.$-1$
$|12-5i|=?$
A.$12$ B.$-5$ C.$-13$ D.$-12$ E.$13$
Комплекс тоог тригонометр, илтгэгч дүрсээр бичих
$2+2i$ тооны тригонометр хэлбэр аль нь вэ?
A.$\cos\dfrac{\pi}{4}- i\sin\dfrac{\pi}{4}$ B.$2\Big(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Big)$ C.$\dfrac{4}{\sqrt{2}}\Big(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Big)$ D.$2\Big(\sin\dfrac{\pi}{4}+i\cos\dfrac{\pi}{4}\Big)$ E.$2\sqrt2\Big(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Big)$
$z_1=\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ$, $z_2=\cos15^\circ+i\sin 15^\circ$ бол $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^3=?$
A.$1$ B.$-1$ C.$\cos150^\circ+i\sin 150^\circ$ D.$\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ E.$\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$
$1+\cos2\alpha+i\sin2\alpha$ тооны илтгэгч хэлбэр аль нь вэ?
A.$2\sin\alpha\cdot e^{i\alpha}$ B.$\cos2\alpha\cdot e^{i\alpha}$ C.$2\cos\alpha\cdot e^{i2\alpha}$ D.$\cos\alpha\cdot e^{i\alpha}$ E.$2\cos\alpha\cdot e^{i\alpha}$
$(1+i)^{20}$ тооцоол.
A.$2^{10}$ B.$2^{20}$ C.$-2^{20}$ D.$-2^{10}$ E.$2^{-20}$
$\cos510^\circ-i\sin 510^\circ$ тооны тригонометр хэлбэр аль нь вэ?
A.$\cos510^\circ-i\sin 510^\circ$ B.$\cos(-150^\circ)+i\sin(-150^\circ)$ C.$\cos(-30)^\circ+i\sin(-30^\circ)$ D.$\cos150^\circ-i\sin 150^\circ$ E.$\cos150^\circ+i\sin 150^\circ$
$z_1=\cos 75^\circ-i\sin 75^\circ$, $z_2=\cos15^\circ-i\sin 15^\circ$ бол $\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right)^3=?$
A.$\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$ B.$\cos60^\circ+i\sin 60^\circ$ C.$-1$ D.$\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ E.$1$
$(1+\sqrt3 i)^{30}$ тооцоол.
A.$2^{30}$ B.$3^{-30}$ C.$-2^{30}$ D.$-3^{10}$ E.$2^{-30}$
$1+e^{i\frac{\pi}{6}}+e^{i\frac{2\pi}{6}}+\cdots+e^{i\frac{2019\pi}{6}}=?$
A.$\dfrac{3-\sqrt3}{\sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ B.$0$ C.$2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}$ D.$\dfrac{3+\sqrt3}{\sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ E.$1$
$\dfrac{\cos 7\alpha-i\sin 7\alpha}{\cos 5\alpha-i\sin 5\alpha}=?$
A.$1$ B.$-1$ C.$\cos2\alpha-i\sin2\alpha$ D.$\cos6\alpha+i\sin6\alpha$ E.Олох боломжгүй.
$\dfrac{\cos 8\alpha-i\sin 8\alpha}{\cos 2\alpha-i\sin 2\alpha}=?$
A.$1$ B.$-1$ C.$\cos2\alpha+i\sin2\alpha$ D.$\cos6\alpha-i\sin6\alpha$ E.Олох боломжгүй.
$z_1=\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ$, $z_2=\cos72^\circ+i\sin 72^\circ$ бол $z_1^{50} : z_2^{10}=?$
A.$1$ B.$-1$ C.$\cos150^\circ+i\sin 150^\circ$ D.$\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i$ E.$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
$(1+\cos60^\circ+i\sin 60)^{6}$ тооцоолъё. Тригонометр хэлбэрт шилжүүлбэл
$$1+\cos60^\circ+i\sin 60^\circ=\sqrt{\fbox{a}}\cdot(\cos\fbox{bc}^\circ+i\sin\fbox{bc}^\circ)$$
тул
$$(1+\cos60^\circ+i\sin 60^\circ)^{6}=\fbox{def}$$
$(1+\cos120^\circ+i\sin 120)^{10}$ тооцоолъё. Тригонометр хэлбэрт шилжүүлбэл
$$1+\cos120^\circ+i\sin 120^\circ=2\cdot\dfrac{1}{\fbox{a}}\cdot(\cos\fbox{bc}^\circ+i\sin\fbox{bc}^\circ)$$
тул
$$(1+\cos120^\circ+i\sin 120^\circ)^{10}=-\dfrac{1}{\fbox{d}}-\dfrac{\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}i$$
Комплекс тооны геометр дүрслэл
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь худал вэ?
A.$\overline{z}=4-3i$ B.$Re\, z=4$ C.$Im\, z=-3$ D.$\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$ E.$|z|=5$
$z_1=2(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ)$, $z_2=4(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)$ бол $|z_1-z_2|$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$\dfrac{7}{2}$ B.$3$ C.$3\sqrt2$ D.$2\sqrt3$ E.$2\sqrt2$
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь үнэн бэ?
A.$\overline{z}=4+3i$ B.$Re\, z=3$ C.$Im\, z=4$ D.$|z|>3\sqrt{3}$ E.$\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$
$z_1=4(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ)$, $z_2=2(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)$ бол $|z_1+z_2|$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$\dfrac{7}{2}$ B.$4$ C.$3\sqrt5$ D.$2\sqrt3$ E.$2\sqrt7$
Комплекс тооны квадрат язгуур олох
$z^2+2(1+i)z+3-2i=0$ нөхцөлийг хангах бүх $z\in\mathbb C$ тоог ол.
Комплекс тооны нэмэх, хасах үйлдэл
$A=3+i$, $B=4i-3$, $C=-2-2i$ бол $3A+2B-C$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$9+i$ B.$5-13i$ C.$-5-i$ D.$1+9i$ E.$5+13i$
$A=3-i$, $B=-3-4i$, $C=-2+2i$ бол $3A+2B-C$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$9+i$ B.$5-13i$ C.$-5-i$ D.$1+9i$ E.$5+13i$
Комплекс тооны тэнцэх нөхцөл
Үйлдэл хийж хялбарчил.
- $(-3+2i)+(5-7i)$
- $9i-(-4+3i)$
- $(10-i)(-1+2i)$
- $(3+4i)^2$
Хялбарчил.
- $(4+5i)+(4-5i)$
- $(-6+5i)-(1+2i)$
- $(2-5i)(2i-5)$
- $(3+i)^2$
$(1+2i)x-(2-i)y=3$ тэнцэтгэлийг хангах $x$, $y$ бодит тоонуудыг ол.
A.$x=0.6$, $y=-1.2$ B.$x=1$, $y=-1$ C.$x=-1$, $y=2$ D.$x=5$, $y=1$ E.$x=0$, $-1.5$
$z(2-i)+\overline{z}=1$ байх $z$ тоог ол.
A.$z=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ B.$z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ C.$z=\dfrac{1-i}{4}$ D.$z=\dfrac{1+i}{4}$ E.$z=1+i$
$(3+2i)x-(1-i)y=14+11i$ тэнцэтгэлийг хангах $x$, $y$ бодит тоонуудыг ол.
A.$x=4$, $y=1$ B.$x=1$, $y=-1$ C.$x=-1$, $y=2$ D.$x=5$, $y=1$ E.$x=6$, $-1.5$
$z+\overline{z}(2-i)=1$ байх $z$ тоог ол.
A.$z=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ B.$z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ C.$z=\dfrac{1+i}{4}$ D.$z=\dfrac{1-i}{4}$ E.$z=1+i$
Комплекс тооны үржих, хуваах үйлдэл
Хялбарчил.
- $\dfrac{1+3i}{3-i}$;
- $\dfrac{3+2i}{2+i}-\dfrac{i}{2-i}$;
- $\sqrt{-5}\cdot \sqrt{-20}$;
- $(4+\sqrt{-5})(3-\sqrt{-5})$.
Хялбарчил.
- $\dfrac{3+2i}{2+3i}$
- $\dfrac{2-i}{3+i}-\dfrac{5+10i}{1-3i}$
- $\sqrt{-9}+\sqrt{-16}$
- $(5+\sqrt{-3})(4-\sqrt{-3})$
$z=1+i$ бол $z^2+z+1$ ол.
A.$0$ B.$4+3i$ C.$2+3i$ D.$2-3i$ E.$3-4i$
$(3+i)(4-i)+(3-i)(4+i)$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$26$ B.$24-2i$ C.$-24+2i$ D.$-26$ E.$0$
$\dfrac{i}{1+2i}-\dfrac{1}{2-i}=?$
A.$-1$ B.$-i$ C.$0$ D.$i$ E.$1$
$z$ нь $z^3=1$ ба $z\neq 1$ байдаг комплекс тоо байг. Тэгвэл $z^2+z$ тоо хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$-2$ B.$-1$ C.$0$ D.$z-1$ E.олох боломжгүй
$\dfrac{1+3i}{3-i}$ үйлдлийг гүйцэтгэ.
A.$1$ B.$1+i$ C.$1-i$ D.$i$ E.$-i$
$\dfrac{1-3i}{3+i}$ үйлдлийг гүйцэтгэ.
A.$1$ B.$1+i$ C.$1-i$ D.$i$ E.$-i$
$z=1-i$ бол $z^2+z+1$ ол.
A.$0$ B.$4+3i$ C.$2+3i$ D.$2-3i$ E.$3-4i$
$(3+i)(4-i)+(3-i)(4+i)$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$2i$ B.$24-2i$ C.$-24+2i$ D.$-26$ E.$0$
$\dfrac{i}{1+3i}-\dfrac{1}{3-i}=?$
A.$-2$ B.$-i$ C.$0$ D.$i$ E.$2$
$z^2-z+1=0$ бол $z^6=?$
A.$z-1$ B.$z$ C.$0$ D.$1$ E.$-1$
$a=i^{2019}$, $b=i^{2020}$ бол $a\cdot b$ аль тоотой тэнцүү вэ?
A.$0$ B.$-i$ C.$-1$ D.$1$ E.$i$