Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Комплекс тоо
Комплекс тоо агуулсан хялбар тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийн шийдийг дүрслэх
Зурагт зураасаар дүрслэгдсэн муж аль нөхцөлийг хангах вэ?
A. $|z|\le 1$, $|z-1-i|\ge 1$
B. $|z|\le 1$, $|z-1+i|\ge 1$
C. $|z|\ge 1$, $|z-1-i|\ge 1$
D. $|z|\ge 1$, $|z-1-i|\le 1$
E. $|z|\le 1$, $|z+1-i|\ge 1$
$z_1$, $z_2$, $z_3$ цэгүүдэд оройтой гурвалжныг багтаасан тойргийн төв аль тэгшитгэлийн шийд вэ?
A. $\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z-z_2|\\|z-z_1|=|z-z_3|\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z_2-z_3|\\|z-z_2|=|z_1-z_3|\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z_1-z_2|\\|z-z_1|=|z_1-z_3|\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z-z_2|\\|z-z_3|=|z_2-z_3|\end{array}\right.$
E. $\left\{\begin{array}{c}|z-z_1|=|z_1-z_2|\\|z-z_2|=|z_2-z_3|\end{array}\right.$
Комплекс тоо тодорхойлолт
$a=i^{2017}$, $b=i^{2018}$ бол $a\cdot b$ аль тоотой тэнцүү вэ?
A. $0$
B. $-i$
C. $-1$
D. $1$
E. $i$
$|12-5i|=?$
A. $12$
B. $-5$
C. $-13$
D. $-12$
E. $13$
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{2018} i^n$ нийлбэрийг ол. Энд $i^2=-1$ хуурмаг тоо.
A. $0$
B. $i$
C. $-i$
D. $1$
E. $-1$
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь худал вэ?
A. $\overline{z}=4-3i$
B. $Re\, z=4$
C. $Im\, z=-3$
D. $\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$
E. $|z|=5$
$z=\dfrac{1+\sqrt3i}{2}$ тооны модуль ба аргумент аль нь вэ?
A. $\dfrac12$ ба $\dfrac{\pi}{4}$
B. $1$ ба $\dfrac{\pi}{6}$
C. $1$ ба $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac12$ ба $\dfrac{\pi}{3}$
E. $\dfrac12$ ба $\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\begin{pmatrix}
\phantom{-}1 & i\\
-i & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & -i\\
i & \phantom{-}1
\end{pmatrix}$ үйлдлийг гүйцэтгэ.
A. $\begin{pmatrix} \phantom{-i}2 & 2i\\ -2i & 2 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$
$a=i^{2018}$, $b=i^{2019}$ бол $a\cdot b$ аль тоотой тэнцүү вэ?
A. $0$
B. $-i$
C. $-1$
D. $1$
E. $i$
$|8-15i|=?$
A. $-17$
B. $16$
C. $17$
D. $18$
E. $-18$
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь үнэн бэ?
A. $\overline{z}=4+3i$
B. $Re\, z=3$
C. $Im\, z=4$
D. $|z|>3\sqrt{3}$
E. $\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$
$z=1-\sqrt{3}i$ тооны модуль ба аргумент аль нь вэ?
A. $2$ ба $\dfrac{2\pi}{3}$
B. $2$ ба $-\dfrac{\pi}{6}$
C. $1$ ба $-\dfrac{\pi}{3}$
D. $2$ ба $-\dfrac{\pi}{3}$
E. $1$ ба $\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{2019} i^n$ нийлбэрийг ол.
A. $0$
B. $i$
C. $-i$
D. $1$
E. $-1$
Комплекс хавтгайд $1+i$ цэгийг $2+3i$ цэгийг тойруулан цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $90^\circ$ эргүүлэхэд ямар цэг гарах вэ?
A. $3+5i$
B. $-4i$
C. $4i$
D. $2+4i$
E. $4+2i$
$ 1$, $ 1.8$, $ \frac{7}{4}$, $ \frac{\pi}{2} $ тоонуудын $ \sqrt3 $ - аас их байх бүх тоог ялган бич.
A. $ 1.8, \frac{\pi}{2}$
B. $ \frac{7}{4}$
C. $ \frac{\pi}{2}$
D. $ 1.8, \frac{7}{4} $
E. $ \frac{7}{4}$, $1 $
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{2021} i^n$ нийлбэрийг ол.
A. $0$
B. $1+i$
C. $1-i$
D. $i$
E. $1$
$ z=i^{2018}+2i^{2019}$ бол уг тоо аль мөчид орших вэ?
A. $I$
B. $III$
C. $II$
D. $IV$
E. олох боломжгүй.
$cosx=-\dfrac{3}{4}$ $180^{\circ}$ - аас их $270^{\circ} $ - аас бага бол $sinx$ - г ол.
A. $-\dfrac{ \sqrt {7} }{4}$
B. $\dfrac{ \sqrt {5} }{3}$
C. $\dfrac{3}{11}$
D. $\dfrac{7}{16}$
E. ${1}$
$ z=-2i^{2018}+i^{2019}$ бол уг тоо аль мөчид орших вэ?
A. $ III$
B. $ I$
C. $II$
D. $IV$
E. олох боломжгүй.
Комплекс тоог тригонометр, илтгэгч дүрсээр бичих
$2+2i$ тооны тригонометр хэлбэр аль нь вэ?
A. $\cos\dfrac{\pi}{4}- i\sin\dfrac{\pi}{4}$
B. $2\Big(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Big)$
C. $\dfrac{4}{\sqrt{2}}\Big(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Big)$
D. $2\Big(\sin\dfrac{\pi}{4}+i\cos\dfrac{\pi}{4}\Big)$
E. $2\sqrt2\Big(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Big)$
$z_1=\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ$, $z_2=\cos15^\circ+i\sin 15^\circ$ бол $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^3=?$
A. $1$
B. $-1$
C. $\cos150^\circ+i\sin 150^\circ$
D. $\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$
E. $\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$
$1+\cos2\alpha+i\sin2\alpha$ тооны илтгэгч хэлбэр аль нь вэ?
A. $2\sin\alpha\cdot e^{i\alpha}$
B. $\cos2\alpha\cdot e^{i\alpha}$
C. $2\cos\alpha\cdot e^{i2\alpha}$
D. $\cos\alpha\cdot e^{i\alpha}$
E. $2\cos\alpha\cdot e^{i\alpha}$
$(1+i)^{20}$ тооцоол.
A. $2^{10}$
B. $2^{20}$
C. $-2^{20}$
D. $-2^{10}$
E. $2^{-20}$
$\cos510^\circ-i\sin 510^\circ$ тооны тригонометр хэлбэр аль нь вэ?
A. $\cos510^\circ-i\sin 510^\circ$
B. $\cos(-150^\circ)+i\sin(-150^\circ)$
C. $\cos(-30)^\circ+i\sin(-30^\circ)$
D. $\cos150^\circ-i\sin 150^\circ$
E. $\cos150^\circ+i\sin 150^\circ$
$z_1=\cos 75^\circ-i\sin 75^\circ$, $z_2=\cos15^\circ-i\sin 15^\circ$ бол $\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right)^3=?$
A. $\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$
B. $\cos60^\circ+i\sin 60^\circ$
C. $-1$
D. $\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$
E. $1$
$(1+\sqrt3 i)^{30}$ тооцоол.
A. $2^{30}$
B. $3^{-30}$
C. $-2^{30}$
D. $-3^{10}$
E. $2^{-30}$
$1+e^{i\frac{\pi}{6}}+e^{i\frac{2\pi}{6}}+\cdots+e^{i\frac{2019\pi}{6}}=?$
A. $\dfrac{3-\sqrt3}{\sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}}$
B. $0$
C. $2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}$
D. $\dfrac{3+\sqrt3}{\sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}}$
E. $1$
$\dfrac{\cos 7\alpha-i\sin 7\alpha}{\cos 5\alpha-i\sin 5\alpha}=?$
A. $1$
B. $-1$
C. $\cos2\alpha-i\sin2\alpha$
D. $\cos6\alpha+i\sin6\alpha$
E. Олох боломжгүй.
$\dfrac{\cos 8\alpha-i\sin 8\alpha}{\cos 2\alpha-i\sin 2\alpha}=?$
A. $1$
B. $-1$
C. $\cos2\alpha+i\sin2\alpha$
D. $\cos6\alpha-i\sin6\alpha$
E. Олох боломжгүй.
$z_1=\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ$, $z_2=\cos72^\circ+i\sin 72^\circ$ бол $z_1^{50} : z_2^{10}=?$
A. $1$
B. $-1$
C. $\cos150^\circ+i\sin 150^\circ$
D. $\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i$
E. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
$(1+\cos60^\circ+i\sin 60)^{6}$ тооцоолъё. Тригонометр хэлбэрт шилжүүлбэл
$$1+\cos60^\circ+i\sin 60^\circ=\sqrt{\fbox{a}}\cdot(\cos\fbox{bc}^\circ+i\sin\fbox{bc}^\circ)$$
тул
$$(1+\cos60^\circ+i\sin 60^\circ)^{6}=\fbox{def}$$
$(1+\cos120^\circ+i\sin 120)^{10}$ тооцоолъё. Тригонометр хэлбэрт шилжүүлбэл
$$1+\cos120^\circ+i\sin 120^\circ=2\cdot\dfrac{1}{\fbox{a}}\cdot(\cos\fbox{bc}^\circ+i\sin\fbox{bc}^\circ)$$
тул
$$(1+\cos120^\circ+i\sin 120^\circ)^{10}=-\dfrac{1}{\fbox{d}}-\dfrac{\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}i$$
Комплекс тооны геометр дүрслэл
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь худал вэ?
A. $\overline{z}=4-3i$
B. $Re\, z=4$
C. $Im\, z=-3$
D. $\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$
E. $|z|=5$
$z_1=2(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ)$, $z_2=4(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)$ бол $|z_1-z_2|$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $\dfrac{7}{2}$
B. $3$
C. $3\sqrt2$
D. $2\sqrt3$
E. $2\sqrt2$
Дараах Аргандын диаграммд дүрслэгдсэн $z$ комплекс тооны хувьд аль нь үнэн бэ?
A. $\overline{z}=4+3i$
B. $Re\, z=3$
C. $Im\, z=4$
D. $|z|>3\sqrt{3}$
E. $\arg z=\arctg\dfrac{3}{4}$
$z_1=4(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ)$, $z_2=2(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)$ бол $|z_1+z_2|$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $\dfrac{7}{2}$
B. $4$
C. $3\sqrt5$
D. $2\sqrt3$
E. $2\sqrt7$
Комплекс тооны квадрат язгуур олох
$z^2+2(1+i)z+3-2i=0$ нөхцөлийг хангах бүх $z\in\mathbb C$ тоог ол.
Комплекс тооны нэмэх, хасах үйлдэл
$A=3+i$, $B=4i-3$, $C=-2-2i$ бол $3A+2B-C$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $9+i$
B. $5-13i$
C. $-5-i$
D. $1+9i$
E. $5+13i$
$A=3-i$, $B=-3-4i$, $C=-2+2i$ бол $3A+2B-C$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $9+i$
B. $5-13i$
C. $-5-i$
D. $1+9i$
E. $5+13i$
Комплекс тооны тэнцэх нөхцөл
Үйлдэл хийж хялбарчил.
- $(-3+2i)+(5-7i)$
- $9i-(-4+3i)$
- $(10-i)(-1+2i)$
- $(3+4i)^2$
Хялбарчил.
- $(4+5i)+(4-5i)$
- $(-6+5i)-(1+2i)$
- $(2-5i)(2i-5)$
- $(3+i)^2$
$(1+2i)x-(2-i)y=3$ тэнцэтгэлийг хангах $x$, $y$ бодит тоонуудыг ол.
A. $x=0.6$, $y=-1.2$
B. $x=1$, $y=-1$
C. $x=-1$, $y=2$
D. $x=5$, $y=1$
E. $x=0$, $-1.5$
$z(2-i)+\overline{z}=1$ байх $z$ тоог ол.
A. $z=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$
B. $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$
C. $z=\dfrac{1-i}{4}$
D. $z=\dfrac{1+i}{4}$
E. $z=1+i$
$(3+2i)x-(1-i)y=14+11i$ тэнцэтгэлийг хангах $x$, $y$ бодит тоонуудыг ол.
A. $x=4$, $y=1$
B. $x=1$, $y=-1$
C. $x=-1$, $y=2$
D. $x=5$, $y=1$
E. $x=6$, $-1.5$
$z+\overline{z}(2-i)=1$ байх $z$ тоог ол.
A. $z=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$
B. $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$
C. $z=\dfrac{1+i}{4}$
D. $z=\dfrac{1-i}{4}$
E. $z=1+i$
Комплекс тооны үржих, хуваах үйлдэл
Хялбарчил.
- $\dfrac{1+3i}{3-i}$;
- $\dfrac{3+2i}{2+i}-\dfrac{i}{2-i}$;
- $\sqrt{-5}\cdot \sqrt{-20}$;
- $(4+\sqrt{-5})(3-\sqrt{-5})$.
Хялбарчил.
- $\dfrac{3+2i}{2+3i}$
- $\dfrac{2-i}{3+i}-\dfrac{5+10i}{1-3i}$
- $\sqrt{-9}+\sqrt{-16}$
- $(5+\sqrt{-3})(4-\sqrt{-3})$
$z=1+i$ бол $z^2+z+1$ ол.
A. $0$
B. $4+3i$
C. $2+3i$
D. $2-3i$
E. $3-4i$
$(3+i)(4-i)+(3-i)(4+i)$ илэрхийллийг хялбарчил.
A. $26$
B. $24-2i$
C. $-24+2i$
D. $-26$
E. $0$
$\dfrac{i}{1+2i}-\dfrac{1}{2-i}=?$
A. $-1$
B. $-i$
C. $0$
D. $i$
E. $1$
$z$ нь $z^3=1$ ба $z\neq 1$ байдаг комплекс тоо байг. Тэгвэл $z^2+z$ тоо хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $z-1$
E. олох боломжгүй
$\dfrac{1+3i}{3-i}$ үйлдлийг гүйцэтгэ.
A. $1$
B. $1+i$
C. $1-i$
D. $i$
E. $-i$
$\dfrac{1-3i}{3+i}$ үйлдлийг гүйцэтгэ.
A. $1$
B. $1+i$
C. $1-i$
D. $i$
E. $-i$
$z=1-i$ бол $z^2+z+1$ ол.
A. $0$
B. $4+3i$
C. $2+3i$
D. $2-3i$
E. $3-4i$
$(3+i)(4-i)+(3-i)(4+i)$ илэрхийллийг хялбарчил.
A. $2i$
B. $24-2i$
C. $-24+2i$
D. $-26$
E. $0$
$\dfrac{i}{1+3i}-\dfrac{1}{3-i}=?$
A. $-2$
B. $-i$
C. $0$
D. $i$
E. $2$
$z^2-z+1=0$ бол $z^6=?$
A. $z-1$
B. $z$
C. $0$
D. $1$
E. $-1$
$a=i^{2019}$, $b=i^{2020}$ бол $a\cdot b$ аль тоотой тэнцүү вэ?
A. $0$
B. $-i$
C. $-1$
D. $1$
E. $i$