Монгол Бодлогын Сан

Нэг улсын хүн ам жилийн эхэнд (1 сарын 1-нд) 100 сая байсан ба жилийн дундаж өсөлт нь $1.4$ хувь бол $5$ жилийн дараа хэд хүрэх вэ?

Тахиаг $150^\circ$ хүртэл халаагаад шарах шүүгээнээс гаргав. Гаргаснаас хойш 3 минутын дараа температур нь $90^\circ$ болж буурсан бол $t$ хугацааны дараах тахианы температур $T(t)$ аль нь вэ? Тасалгааны температурыг тогтмол $20^\circ$ байсан гэж үз.

A.$T(t)=130^\circ\times\left(\dfrac{7}{13}\right)^{\frac{t}{3}}+20^\circ$     B.$T(t)=150^\circ-20^\circ\times t$     C.$T(t)=150^\circ-\dfrac{60^\circ}{t}$     D.$T(t)=130^\circ\times\left(\dfrac{7}{13}\right)^{\frac{t^2}{9}}+20^\circ$     E.$T(t)=150^\circ-\sqrt{3t}\times 20^\circ$    

Цацраг идэвхит бодисын хэмжээ анх 800 гр байв. 2 жилийн дараа хэмжээ нь 200 гр болсон бол 4 жилийн дараа ямар хэмжээтэй байх вэ?

A.50 гр     B.100 гр     C.25 гр     D.150 гр     E.75 гр    

Тарган хүн турах зорилгоор сарын турш эрчимтэй дасгал хийхэд 156 кг-аас 144 кг болж багасав. Өдөр бүрийн жингийн алдагдал нь байгаа жиндээ пропорционал гэж тооцоод тэгшитгэл зохиож биеийн жинг хугацаанаас хамааруулж ол.

A.$m(t)=156-12t$     B.$m(t)=156-12t^2$     C.$m(t)=156\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     D.$m(t)=144\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     E.$m(t)=ce^{t}$    

2 м/сек хурдтай явж байсан завь өөрийн хурдтай пропорционал эсэргүүцлийн хүчний нөлөөгөөр хөдөлгөөнөө удаашруулж 4 секундийн дараа хурд нь 1 м/сек болов.

1. $\fbox{ab}$ секундийн дараа завины хурд 0.25 м/сек болно.
2. Завь зогсох хүртлээ $\dfrac{\fbox{c}}{\ln 2}$ м зам явна.

1 гр масстай материал цэг шулуун замаар $t=0$ эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дөр хөдлөв. Хугацааны $t=10$ секундэд хурд нь $0.5$ м/с, хүч нь $4\cdot 10^{-5}$ н болсон гэвэл 1 минутын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?

Бодолт. $m=10^{-\fbox{a}}kg$ тул $F(t)=10^{-\fbox{a}} kg\times \dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{ct}{v(t)}$ болно. $1N=1kg\times1m/s^2$ тул $$F(10)=\dfrac{c\cdot 10s}{0.5m/s}=4\cdot 10^{-5}kg\cdot m/s^2\Rightarrow c=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{c}} kg\cdot m^2/s^4$$ болно. Эндээс $$10^{-\fbox{a}}kg\times vdv=ctdt\Rightarrow vdv=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times t dt$$ болно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал $$\int vdt=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\int tdt$$ буюу $v^2=c_1t^2+C$, $c_1=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4$ болно. $t=0$ үед $v=0$ тул $C=0$ болно. Иймд $$v^2=c_1t^2$$ байна. $t=60s$ үед $$v^2=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times (60s)^2=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{g}}m^2/s^2$$ буюу хурд нь $v=\dfrac{\fbox{h}}{\sqrt{5}}m/s$ байна.

10 гр масстай материал цэг шулуун замаар $t=0$ эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дор хөдлөв. Хугацааны $t=10$ секундэд хурд нь $0.25$ м/с, хүч нь $8\cdot 10^{-5}$ н болсон гэвэл 30 секундын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?

Бодолт. $m=10^{-\fbox{a}}kg$ тул $F(t)=10^{-\fbox{a}} kg\times \dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{ct}{v(t)}$ болно. $1N=1kg\times1m/s^2$ тул $$F(10)=\dfrac{c\cdot 10s}{0.25m/s}=8\cdot 10^{-5}kg\cdot m/s^2\Rightarrow c=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{c}} kg\cdot m^2/s^4$$ болно. Эндээс $$10^{-\fbox{a}}kg\times vdv=ctdt\Rightarrow vdv=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times t dt$$ болно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал $$\int vdt=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\int tdt$$ буюу $v^2=c_1t^2+C$, $c_1=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4$ болно. $t=0$ үед $v=0$ тул $C=0$ болно. Иймд $$v^2=c_1t^2$$ байна. $t=30s$ үед $$v^2=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times (30s)^2=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{fg}}m^2/s^2$$ буюу хурд нь $v=\dfrac{\fbox{h}}{5\sqrt{2}}m/s$ байна.

$(1-x^2)y''-2xy'+\ell(\ell+1)y=0$ дифференциал тэгшитгэл бод.

$y^\prime=x^2$ дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A.$y=x^3+C$     B.$y=\dfrac{x^3}{3}+C$     C.$y=2x+C$     D.$y=e^{x^2}+C$     E.$y=x+C$    

$y^{\prime\prime}+9y=0$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A.$y=3x^2+c_1x+c_2$     B.$y=c_1e^{3x}+c_2$     C.$y=c_1e^{-3x}+c_2$     D.$y=c_1\cos3x+c_2\sin 3x$     E.шийдгүй    

$y^\prime-2xy-y=0$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A.$e^{x^2+x}+C$     B.$e^{x^2-x}+C$     C.$c_1e^{x^2+x}+c_2$     D.$Ce^{x^2-x}$     E.$Ce^{x^2+x}$    

$(2x+1)y^\prime=4x+2y$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$y=\ln|2x+1|+1+C(2x+1)$     B.$y=(2x+1)\ln|2x+1|+1+C(2x+1)$     C.$y=(2x+1)\ln|2x+1|+1+C$     D.$y=\ln|2x+1|+1+C(2x+1)$     E.$y=(2x+1)\ln|2x+1|-1+C(2x+1)$    

Дараах функцүүдийн аль нь $y^\prime=2y$ дифференциал тэгшитгэлийн шийд болох вэ?

A.$y=x^2$     B.$y=2e^x$     C.$y=e^{2x}$     D.$y=e^{\frac{x}{2}}$     E.$y=\dfrac{1}{x^2}$    

$y=cx$ муруйн бүл шийд нь болох дифференциал тэгшитгэл аль нь вэ?

A.$y^\prime=y$     B.$y^\prime x-y=0$     C.$y^\prime x-y=x$     D.$y^\prime=\dfrac{1}{x}$     E.$y^\prime=c$    

$yy^\prime=3$ дифференциал тэгшитгэлийн $x_0=6$ үед $y_0=10$ байх шийдийг ол.

A.$y=2x^2-62$     B.$y^2=4x^2-44$     C.$y^2=3x+94$     D.$y^2=6x+64$     E.$y^2=3x^2+28$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$\ln y=\ln x+1$     B.$\arctg y=\arctg x$     C.$y=x$     D.$y=x+\dfrac{\pi}{4}$     E.$\arctg y=\arctg x+\dfrac{\pi}{4}$    

$xy^\prime+y=y^2$, $y(1)=0.5$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$y=\dfrac{x}{x+1}$     B.$y=\dfrac{x}{x-1}$     C.$y=\dfrac{1}{x+1}$     D.$y=\dfrac{1}{x^2+1}$     E.$y=-\dfrac{1}{x-1}$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=-1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$\ln y=\ln x-1$     B.$\arctg y=-\arctg x$     C.$y=x$     D.$y=x-\dfrac{\pi}{4}$     E.$\arctg y=\arctg x-\dfrac{\pi}{4}$    

$\dfrac{y\cdot y^\prime}{x}+e^y=0$, $y(1)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

Ёроолдоо нүхтэй цилиндр сав босоо байрлалтай байв. Саванд байсан усны тал нь 5 минутанд гоожсон гэвэл уг савны ус ямар хугацаанд гоожиж дуусах вэ?

Бие 10 минутын дотор $100^\circ$-аас $60^\circ$ болж хөрөв. Энэ үед орчны температур $20^\circ$ байсан гэвэл ямар хугацааны дараа биеийн температур $25^\circ$ болох вэ?

Муруйн тухайн цэгт татсан шүргэгч шулуун, уг цэгийн ординат ба $Ox$ тэнхлэгээр байгуулагдсан гурвалжны талбай тогтмол $a^2$ бол уг муруйг ол.

$0.4$ кг жинтэй хөл бөмбөгийг дээш нь $20$ м/c хурдтай шидэв. Агаарын эсэргүүцэл хурдны квадраттай пропорционал ба $1$ м/с хурдтай үед эсэргүүцэл $0.48$ гр болно. Бөмбөгний өндөрт гарах хугацаа ба хамгийн их өндрийг ол.

Нэг улсын хүн ам жилийн эхэнд (1 сарын 1-нд) 100 сая байсан ба жилийн дундаж өсөлт нь $1.4$ хувь бол $5$ жилийн дараа хэд хүрэх вэ?

$\dfrac{dx}{x(y-1)}+\dfrac{dy}{y(x+2)}=0$, $y(1)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$\dfrac{y}{y^\prime}=\ln y$, $y(2)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$y\ln^3y+y^\prime\cdot\sqrt{x+1}=0$, $y\left(-\frac{15}{16}\right)=e$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$y^\prime=2^{x-y}$, $y(-3)=5$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$y^\prime+\cos(x+2y)=\cos(x-2y)$, $y(0)=\dfrac{\pi}{4}$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$(1+e^{2x})y^2dy=e^xdx$, $y(0)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$2R=1.8$ м диаметртэй, $H=2.45$ м өндөр бүхий цилиндр саванд байгаа ус ёроолд нь буй $2r=6$ см диаметртэй нүхээр ямар хугацаанд урсан гарах вэ? (үүнд цилиндрийн тэнхлэг хавтгайд перпендикуляр)

$(x^2-1)\cdot y^\prime+2xy^2=0$, $y(0)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$\sin y\cos x dy=\cos y\sin x dx$, $y(0)=\dfrac{\pi}{4}$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$y^\prime\cdot\sin x=y\cdot \ln y$, $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=e$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$(xy^2+x)dx+(y-yx^2)dy=0$ дифференциал тэгшитгэл бод.

$\ln \cos ydx+x\tg ydy=0$ дифференициал тэгшитгэлийг бод.

$xydx+(x+1)dy=0$ дифференициал тэгшитгэл бод.

$y^\prime=3\sqrt[3]{y^2}$, $y(3)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$y=(x+3)^{\frac13}$     B.$y=x^{\frac13}-3^{\frac13}$     C.$y=(x+3)^3$     D.$y=(x-3)^3$     E.$y=(x-3)^{\frac13}$    

$\sqrt{y^2-1}\,\mathrm{d}x=xy\,\mathrm{d}y$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$y^2-1=\arctg x+C$     B.$\sqrt{y^2-1}=\ln |x|+C$     C.$\sqrt{y^2-1}=x+C$     D.$y=\ln |x|+C$     E.$y^2-1=e^{x}+C$    

$\dfrac{dy}{dx}=y(y+2)$ дифференциал тэгшитгэлийн $x=0$, $y=-1$ байх шийдийг ол.

A.$y=x-1$     B.$-\dfrac{1}{y}=-e^{2x}+2$     C.$\dfrac{y}{y+2}=-e^{2x}+1$     D.$\dfrac{y}{y+2}=-e^{2x}$     E.$y=\dfrac{1}{x-1}$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=-1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$\ln y=\ln x-1$     B.$\arctg y=-\arctg x$     C.$y=x$     D.$y=x-\dfrac{\pi}{4}$     E.$\arctg y=\arctg x-\dfrac{\pi}{4}$    

$yy^\prime=3$ дифференциал тэгшитгэлийн $x_0=6$ үед $y_0=10$ байх шийдийг ол.

A.$y=2x^2-62$     B.$y^2=4x^2-44$     C.$y^2=3x+94$     D.$y^2=6x+64$     E.$y^2=3x^2+28$    

Тарган хүн турах зорилгоор сарын турш эрчимтэй дасгал хийхэд 156 кг-аас 144 кг болж багасав. Өдөр бүрийн жингийн алдагдал нь байгаа жиндээ пропорционал гэж тооцоод тэгшитгэл зохиож биеийн жинг хугацаанаас хамааруулж ол.

A.$m(t)=156-12t$     B.$m(t)=156-12t^2$     C.$m(t)=156\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     D.$m(t)=144\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     E.$m(t)=ce^{t}$    

$xy^\prime+y=y^2$, $y(1)=0.5$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$y=\dfrac{x}{x+1}$     B.$y=\dfrac{x}{x-1}$     C.$y=\dfrac{1}{x+1}$     D.$y=\dfrac{1}{x^2+1}$     E.$y=-\dfrac{1}{x-1}$    

$y^\prime=3\sqrt[3]{y^2}$, $y(2)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$y=(x-2)^{\frac13}$     B.$y=x^{\frac13}-2^{\frac13}$     C.$y=(x-2)^3$     D.$y=(x+2)^3$     E.$y=(x+2)^{\frac13}$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$\ln y=\ln x+1$     B.$\arctg y=\arctg x$     C.$y=x$     D.$y=x+\dfrac{\pi}{4}$     E.$\arctg y=\arctg x+\dfrac{\pi}{4}$    

$\sqrt{y^2+1}\,\mathrm{d}x=xy\,\mathrm{d}y$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A.$y^2+1=\arctg x+C$     B.$y^2+1=e^{x}+C$     C.$\sqrt{y^2+1}=x+C$     D.$y=\ln |x|+C$     E.$\sqrt{y^2+1}=\ln |x|+C$    

$y^\prime-2xy-y=0$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A.$e^{x^2+x}+C$     B.$e^{x^2-x}+C$     C.$c_1e^{x^2+x}+c_2$     D.$Ce^{x^2-x}$     E.$Ce^{x^2+x}$    

1 гр масстай материал цэг шулуун замаар $t=0$ эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дөр хөдлөв. Хугацааны $t=10$ секундэд хурд нь $0.5$ м/с, хүч нь $4\cdot 10^{-5}$ н болсон гэвэл 1 минутын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?

Бодолт. $m=10^{-\fbox{a}}kg$ тул $F(t)=10^{-\fbox{a}} kg\times \dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{ct}{v(t)}$ болно. $1N=1kg\times1m/s^2$ тул $$F(10)=\dfrac{c\cdot 10s}{0.5m/s}=4\cdot 10^{-5}kg\cdot m/s^2\Rightarrow c=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{c}} kg\cdot m^2/s^4$$ болно. Эндээс $$10^{-\fbox{a}}kg\times vdv=ctdt\Rightarrow vdv=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times t dt$$ болно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал $$\int vdt=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\int tdt$$ буюу $v^2=c_1t^2+C$, $c_1=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4$ болно. $t=0$ үед $v=0$ тул $C=0$ болно. Иймд $$v^2=c_1t^2$$ байна. $t=60s$ үед $$v^2=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times (60s)^2=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{g}}m^2/s^2$$ буюу хурд нь $v=\dfrac{\fbox{h}}{\sqrt{5}}m/s$ байна.