Монгол Бодлогын Сан

$p_{k,\ell}(n)$ нь $n$ тоог нэмэгдэхүүн бүр нь $\ell$-ээс үл хэтрэх $k$-аас илүүгүй тооны нийлбэрт задлах боломжийн тоо байг. $p_{0,0}(0)=1$ гэж авъя. $n\le k\ell$ байна. $$g_{k,\ell}(x)=p_{k,\ell}(0)+p_{k,\ell}(1)x+\dots+p_{k,\ell}(k\ell)x^{k\ell}$$ $g_{0,\ell}(x)=1$, $g_{k,0}(x)=1$.

1. $p_{k,\ell}(n)-p_{k,\ell-1}(n)=p_{k-1,\ell}(n-\ell)$
2. $g_{k,\ell}(x)=g_{k,\ell-1}(x)+g_{k-1,\ell}(x)x^{\ell}$
3. $p_{k,\ell}(n)-p_{k-1,\ell}(n)=p_{k,\ell-1}(n-k)$
4. $g_{k,\ell}(x)=g_{k-1,\ell}(x)+g_{k,\ell-1}(x)x^k$
5. $g_{k,\ell}(x)=g_{k-2,\ell+2}(x)\cdot\dfrac{1-x^{\ell+1}}{1-x^k}\cdot\dfrac{1-x^{\ell+2}}{1-x^{k-1}}$
6. $g_{k,\ell}(x)=\dfrac{(1-x^{\ell+1})(1-x^{\ell+2})\dots(1-x^{\ell+k})}{(1-x^k)(1-x^{k-1})\dots(1-x)}$
7. $h_m(x)=(1-x)(1-x^2)\dots(1-x^m)$ гэвэл $(7)$-г $$g_{k,\ell}(x)=\frac{h_{k+\ell}(x)}{h_k(x)h_{\ell}(x)} \qquad(8)$$ $(8)$-аар илэрхийлэгдэж буй $g_{k,\ell}(x)$-г Гауссын олон гишүүнт гэдэг. $(8)$-аас $$g_{k,\ell}(x)=g_{\ell,k}(x)\qquad(9) $$ гэж гарах ба $$g_{k,\ell}(1)=C_{k+\ell}^k\qquad(10) $$ $\deg f=n$ ба $f^R(x)=x^nf\left(\frac1x\right)=f(x)$ бол $f(x)$-ийг буцах олон гишүүнт гэдэг.
8. $g_{k,\ell}(x)$ нь буцах олон гишүүнт гэж батал. $(9)$-өөс $$p_{k,\ell}(n)=p_{\ell,k}(n)\qquad(11)$$ гэж гарна.
9. $p_{k,\ell}(n)=p_{k,\ell}(k\ell-n)$
10. $p_{k,\ell}(0)+p_{k,\ell}(1)+\dots+p_{k,\ell}(k\ell)=C_{k+\ell}^k$

1. Бүх 5 оронтой тооны тоог ол.
2. 8-г агуулаагүй бүх 5 оронтой тооны тоог ол.
3. 0 ба 8-г агуулаагүй бүх 5 оронтой тооны тоог ол.
4. 2, 3, 5, 7 цифрүүдээр бичиж болох бүх 5 оронтой тооны тоог ол.
5. 2, 3, 5, 7 цифрүүдээр бичиж болох $10^6$-ээс бага бүх тооны тоог ол.

12 өөр эдлэлийг 3 өөр хайрцагт хэчнээн янзаар байрлуулж болох вэ?

16 цаасны 4 дээр нь А үсэг, 4 дээр нь Б үсэг, 4 дээр нь В үсэг, 4 дээр нь Г үсэг бичжээ. Эдгээрээс 4 цаасыг сонгон аваад ямар нэг эрэмбээр байрлуулах замаар хэчнээн ялгаатай үгийг бичиж чадах вэ?

Нэг гүрний хүмүүсийн шүдний бүтэц нь бүгд ялгаатай байв. Хүн 32 шүдтэй гэвэл энэ гүрэн хамгийн олондоо хэдэн хүнтэй вэ?

8, 9, 10-р ангид харгалзан 80, 70, 60 хүүхэдтэй бол анги бүрээс дор хаяж нэг хүүхэд орсон хэдэн хүүхдийг хэчнээн янзаар сонгож болох вэ?

1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50-тын мөнгийг 2 халаасандаа хэчнээн янзаар хийж чадах вэ?

Саяас бага, 1, 2, 3, 4 цифрүүдийг зэрэг агуулсан тоо хэд вэ?

12 ялгаатай номыг өнгө бүрээс ядаж хоёр ном хавтаслагдсан байхаар 3 өнгөөр хавтаслах боломжийн тоог ол.

1. 5 өнгийн даавуугаар тууш 3 өнгөтэй дарцгийг хэчнээн янзаар хийж болох вэ?
2. Нэг үе нь заавал улаан байх тохиолдолд эхний бодлогыг бод.

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=104$ тэгшитгэл хэчнээн натурал тоон шийдтэй вэ?

Шуудан дээр 10 төрлийн захидал худалдаж байв. 12 ил захидлыг хэчнээн янзаар худалдаж авч чадах вэ? 8 өөр захидлыг хэчнээн янзаар худалдаж авах вэ?

Талуудын урт нь 4, 5, 6, 7 см тоонуудын аль нэг байх хэчнээн ялгаатай гурвалжин орших вэ?

Ирмэгүүдийн урт нь 1-ээс 10-ын хоорондох натурал тоонуудаар илэрхийлэгдэх хэчнээн янзын шулуун параллелепипед орших вэ?

$x_1+\ldots+x_m=k$ тэгшитгэлийн натурал шийдийн тоог ол.

1-ээс 100 хүртэлх тоонуудаас нийлбэр нь 3-т хуваагдах гурван тоог хэчнээн янзаар сонгож болох вэ?

11 ширхэг төгсгөлгүй аравтын бутархай өгчээ. Тэгвэл төгсгөлгүй олон орон дээрээ давхцах 2 бутархай олдохыг батал.

Хавтгайн цэгүүдийг 3 өнгөөр будахад хоорондох зай нь 1-тэй тэнцүү ижил өнгийн 2 цэг олдоно гэж харуул.

$x,y\in\mathbb R$ байг. Тэгвэл аливаа $\varepsilon$ тооны хувьд хавтгайн $(mx,my)$ координаттай цэг ямар нэг бүхэл координаттай цэгээс $\varepsilon$-оос хэтрэхгүй зайд байхаар $m\in\mathbb N$ тоо сонгон авч болно гэж харуул.

Огторгуйн тэг биш 15 вектороос хоорондох өнцөг нь $60^\circ$-аас бага байх 2 вектор сонгон авч болохыг харуул.

$N>[k!e]$ байг. Өгсөн $N$ цэгийг холбосон хэрчмүүдийг $k$ өнгөөр будав. Тэгвэл нэг төрлийн гурвалжин олдохыг үзүүл. Ийм чанартай хамгийн бага тоог $N_k$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл $N_2=6$, $N_3=17$ гэдгийг хялбархан харуулж болно. Харин $N_4\le[4!e]+1$ боловч чухам хэд болох нь одоо хүртэл шийдэгдээгүй байгаа асуудал юм.

Өгсөн 17 цэгийг холбосон хэрчмүүдийг 3 өнгөөр будав. Гурван тал нь адил өнгөтэй байх гурвалжныг нэг төрлийн гурвалжин гэе. Тэгвэл нэг төрлийн гурвалжин олдохыг батал.

Хавтгайн цэгүүдийг а) 2, б) 3, в) 100 өнгөөр будав. Оройн цэгүүд нь адил өнгөтэй байх тэгш өнцөгт олдохыг үзүүл.

15 талтай квадратад 1 талтай үл огтлолцох 20 жижиг квадрат багтсан бол эдгээрийн алинтай нь ч огтлолцохгүй 1 радиустай дугуйг өгсөн том квадратад байрлуулж болохыг батал.

1 урттай хэрчим дээр хэдэн хэрчмийг будахад ямар ч 2 будагдсан цэгийн хоорондох зай 0.1-тэй тэнцүү биш байв. Нийт будагдсан хэрчмүүдийн урт 0.5-аас хэтрэхгүй гэж батал.

1 талтай квадратад тойргийн уртуудын нь нийлбэр 10 байх хэдэн дугуй өгсөн бол эдгээрээс дор хаяж дөрвийг нь огтолсон шулуун олдохыг батал.

16 радиустай дугуйд 650 цэг тэмдэглэжээ. Тэгвэл эдгээрээс арвыг нь дотоод радиус нь 2, гадаад радиус нь 3 цагиргаар бүрхэж болохыг батал.

Хавтгайд өгсөн 25 цэгээс аль ч гурвыг нь авахад аль нэг хоёрын нь хоорондох зай нэгээс бага байдаг бол эдгээр цэгийн 13-аас цөөнгүйг агуулсан 1 радиустай дугуй олдохыг батал.

$3\times4$ тэгш өнцөгтөд 6-н цэг өгчээ. Тэгвэл эдний аль нэг хоёрын нь хоорондох зай $\sqrt5$-аас хэтрэхгүй гэж батал.

1 талтай зөв гурвалжин дотор 5-н цэг өгчээ. Тэгвэл эдний аль нэг хоёрын хоорондох зай 0.5-аас бага гэж батал.

$n\times n$ хүснэгтийн нүд бүхэнд $0,\pm1$ тоонуудаас тавив. Тэгвэл бүх мөр, багана, диагоналиуд дахь тоонуудын нийлбэр бүгд ялгаатай байж чадах уу?

Есөн өнцөгтөд хоорондох өнцөг нь $7^0$-аас бага байх хоёр диагональ олдохыг үзүүл.

Тус бүр нь $2n$-ээс ихгүй $n+1$ ширхэг натурал тоо $a_1,\dots,a_{n+1}$ өгчээ. Эдгээрийн аль нэг нь нөгөөгөө хуваана гэдгийг батал.

1. $x_1+\ldots+x_{30}=48$, $x_i\in\mathbb N$, $k\le 12$ бол $x_i$-үүдийн дотроос нийлбэр нь $k$ байх дараалсан хэдэн тоог сонгож болохыг үзүүл.
2. $k\le15$ үед үед өмнөх бодлогыг бод.

$p,q$ нь натурал тоо ба рациональ тоо $p/q$ нь төгсгөлгүй аравтын бутархай хэлбэрээр бичигддэг бол энэ бутархай үелнэ гэдгийг батал.

$a_1 < a_2<\ldots < a_n\le2n$ гэсэн $n$ ширхэг натурал тоон дарааллын аль ч хоёр гишүүний хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч нь $2n$-ээс их бол $a_1>\left[\dfrac{2n}{3}\right]$ болохыг батал.

Дурын $n$ натурал тооны дотроос нийлбэр нь $n$-д хуваагдах хэдэн тоо сонгон авч болохыг батал.

Зөвхөн 1-ээр бичигдэх 1991-д хуваагдах тоо олдохыг үзүүл.

$n+1$ ялгаатай натурал тооны аль нь ч $2n$-ээс хэтрэхгүй бол эдний дотор нэг нь нөгөө хоёрынхоо ($a_k-a_s=a_s$ байж болно) ялгавартай тэнцүү гурвал олдохыг үзүүл.

1-ээс 100 хүртэлх тооноос 51-г авахад тэдний дотор нэг нь нөгөөгөө хуваадаг 2 тоо олдохыг үзүүл. Үүнийг ерөнхий тохиолдолд томъёол.

Өгсөн $n$ цэгийн заримыг хэрчмүүдээр холбожээ. Тэгвэл тэнцүү тооны хэрчим гарсан 2 цэг олдохыг үзүүл. Эндээс $n$ хүн шатарчлан тоглож байхад хугацааны ямар ч моментэд тэнцүү тооны тоглолт хийсэн хоёр хүн олдоно гэж үзүүл.

Дурын $n$ бүхэл тооны хувьд эсвэл тэдний аль нэг нь эсвэл аль нэг хоёрын нь ялгавар нь $n$-д хуваагдана.

Дурын $n+1$ бүхэл тооны дотор ялгавар нь $n$-д хуваагдах 2 тоо бий.

Ямар ч 11 натурал тооноос ялгавар нь 10-т хуваагдах 2 тоог сонгож болно.

$n$ радиустай тойрогт тус бүр нь 1 урттай 4 хэрчим өгчээ. Тэгвэл өгсөн $s$ шулуунтай параллель юмуу перпендикуляр ямар нэгэн шулуунаар эдгээр хэрчмээс 2-ыг нь огтолж болохыг батал.

Нэг талтай квадратад 64 цэг өгчээ. Тэгвэл эдгээр цэгийн ямар нэг гурвыг нь $\dfrac18$ радиустай дугуйгаар бүрхэж болохыг батал.

Хоёр оронтой ялгаатай арван натурал тооноос бүлэг тус бүр дэх тоонуудын нийлбэр тэнцүү байхаар ялгаатай 2 бүлгийг сонгож авч болохыг батал.

Дурын $n+2$ натурал тооноос эсвэл нийлбэр нь эсвэл ялгавар нь $2n$-д хуваагдах хоёр тоог сонгон авч болохыг батал.

дүрсийг 5 хэсэгт хувааж үүссэн хэсгүүдээр квадрат үүсгэ.

Дүрсийг 6 хэсэгт хувааж үүссэн хэсгүүдээр квадрат үүсгэ.

Гадаад байдлаараа үл ялгагдах 1000 ширхэг зоосны нэг нь бусдаасаа жингээрээ хөнгөн хуурамч зоос байв. 2 тавагтай жинлүүр дээр туухай хэрэглэхгүйгээр 7 удаа жинлэлт хийж хуурамч зоосыг хэрхэн илрүүлэх вэ?

Гадаад байдлаараа үл ялгагдах 25 ширхэг зоосны 3 нь хуурамч зоос байв. Хуурамч зоос жинхэнэ зоосноос хөнгөн. 2 тавагтай, туухайгүй жинлүүр ашиглан 2 удаа жинлэлт хийж 6 жинхэнэ зоос ялган авч болох уу?

Гадаад байдлаараа үл ялгагдах 12 ширхэг зоосны 1 нь бусдаасаа жингээрээ жаахан ялгаатай хуурамч зоос байв. 2 тавагтай жинлүүр дээр туухай хэрэглэхгүйгээр 4 удаа жинлэлт хийж хуурамч зоосыг илрүүл.

Гадаад хэлбэр хэмжээгээрээ ижил 20 ширхэг зоосны нэгээс цөөнгүй нь жинхэнэ бусад нь хуурамч зоос (нэлээд хүнд) байв. 2 тавагтай жинлүүр дээр туухай хэрэглэхгүйгээр 11-ээс илүүгүй жинлэлт хийж жинхэнэ зоосны тоог яаж олох вэ?

Массаараа ялгаатай 5 хүүдийтэй ачааг массынх нь буурах эрэмбээр байрлуулах болов. Үүнийг 8 хэмжилтээр гүйцэтгэж болох уу?

Гадаад байдлаараа үл ялгагдах 2000 ширхэг зоосон дотор 2 хуурамч зоос байв. Тэдгээрийн нэг нь жинхэнэ зоосноос ялимгүй хөнгөн, нөгөө нь ялимгүй хүнд байв. Хоёр тавагтай жинлүүр дээр туухай хэрэглэхгүйгээр, дөрвөн удаа жинлэн хоёр хуурамч зоос, хоёр жинхэнэ зоосноос хүнд, хөнгөн, тэнцүү эсэхийн аль нь болохыг тогтоож болох уу?

Нэг ангийн сурагчдын $80\%$ нь шатарчин, $60\%$ нь сайн сурдаг бол сурагчдын дор хаяж хэдэн хувь нь сайн сурдаг ба шатар тоглодог вэ?

Ангийн 35 сурагчийн 20 нь тооны, 11 нь физикийн дугуйланд явдаг ба 10 сурагч эдгээр дугуйлангийн алинд нь ч явдаггүй байв. Хэдэн сурагч 2 дугуйланд зэрэг явдаг ба хэдэн сурагч зөвхөн тооны дугуйланд явдаг вэ?

100 оюутны 28 нь англи хэл, 30 нь герман хэл, 42 нь франц хэл, 8 нь англи ба герман хэл, 10 нь англи ба франц хэл, 5 нь герман ба франц хэл, 3 нь энэ гурван хэлийг мэддэг байв. Энэ гурван хэлээс

1. нэгийг нь ч мэддэггүй,
2. ядаж хоёр хэл мэддэг,
3. яг хоёр хэл мэддэг,
4. зөвхөн англи хэл мэддэг,
5. яг нэг хэл мэддэг

хэдэн оюутан байв?

Институтийн нэг хэлтсийн ажилтан бүр ядаж нэг гадаад хэл мэддэг ба 6 хүн англи, 7 хүн франц, 6 хүн герман, 4 нь англи ба герман, 3 нь герман ба франц, 2 нь англи ба франц, 1 нь бүх хэлийг мэддэг бол хэлтэс хэдэн ажилтантай байсан бэ? Хэдэн хүн зөвхөн англи хэл мэддэг вэ? Хэдэн хүн зөвхөн нэг хэл мэддэг вэ?

Ахлагч ангийнхаа сурагчдын тухай дараах зүйлийг хэлжээ. "Ангийн 45 сурагчийн 25 нь хүү ба 30 сурагч онц юмуу сайн сурдгаас 16 нь хүү. Спортоор хичээллэдэг 28 сурагчийн 18 нь хүү ба 17 нь онц юмуу сайн сурдаг. 15 хүү онц юмуу сайн сурдаг ба спортоор хичээллэдэг." гэж хэлсэн бол энэ мэдүүлэгт алдаа бий гэдгийг батал.

Эхний 100 натурал тооны дотор 2, 3, 5-ын алинд ч хуваагдахгүй тоо хэд бий вэ? 2, 3, 5-ын ядаж нэгд нь хуваагдахгүй тоо хэд бий вэ? 2, 3, 5, 7-гийн алинд ч хуваагдахгүй тоо хэд бий вэ? 2, 3, 5, 7-гийн ядаж хоёрт нь хуваагддаг тоо хэд бий вэ?

$A=[-2,3]$, $B=]0,4]$ бол $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$, $B\setminus(A\setminus B)$, $B\cup(A\setminus B)$ олонлогуудыг ол.

$M_i$ нь $f_i(x)$ функцийн тодорхойлогдох муж бол $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, $f_1(x)-f_2(x)$, $f_1(x)\cdot f_2(x)$, $\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}$ функцүүдийн тодорхойлогдох мужийг ол.

Дараахь функцүүдийн тодорхойлогдох мужийг ол. $y=\sqrt{|x|-1}+\dfrac1{x^2-1}$, $y=\sqrt{|x|-1}+\sqrt{2-|x|}$, $y=\sqrt{3-x}+\arcsin\dfrac{x-2}3.$

Дараахь тэгшитгэлүүдийг бодолгүйгээр шийдгүй гэдгийг нь батал.

1. $\sqrt{x-4}+\sqrt{1-x}=2$
2. $\sqrt{8+2x-x^2}+\sqrt{x-6}=7$
3. $\sqrt{x^2-2x-24}=\sqrt{4-x^2}+5$
4. $\sqrt{24-2x-x^2}-\sqrt{-12-35x-x^2}=11$

$x^2+y^2=25$, $(x-13)^2+y^2=144$ тойргуудын огтлолцлын цэгийг ол.

$A=\left\{x\bigg|\dfrac{x-1}{x^3+x+1}>0\right\}$, $B=\{x\big| x^3+x+1\le0\}$ бол $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$-үүдийг ол.

$(x^2-8x+15)(x^2-6x+8)=0$ тэгшитгэлийг бод.

$(x^2+y^2-1)(y^2+x)=0$ тэгшитгэлийн шийдийн олонлогийг хавтгайд дүрсэл.

$A,B$ нь өгөгдсөн олонлогууд бол $A\cap X=B\cap X=A\cap B, A\cup B\cup X=A\cup B$ байх $X$ олонлогийг ол.

Өгсөн а) 2, б) $n$ тэгш өнцөгтийн талбайг нэгэн зэрэг таллан хуваах шулуун татаж болох нөхцөлийг томъёол.

$|A|=27$ байг. $k$ нь хэд байвал $A$ олонлогийн $k$ элементтэй дэд олонлогуудын тоо хамгийн олон байх вэ?

Шалгалтанд 4 бодлого ирэв. Шалгуулагчид I, II, III, IV бодлогуудыг харгалзан 98, 90, 85, 80 хувь боджээ. Тэгвэл бүх бодлогыг хамгийн багадаа ба хамгийн ихдээ хэдэн хувь нь бодсон бэ?

20 хүний 2 нь зөвхөн англи, 3 нь зөвхөн герман, 6 нь зөвхөн франц хэл судалдаг байв. Энэ гурван хэлийг зэрэг судалдаг хүн байхгүй байв. 1 хүн герман ба англи, 3 хүн англи ба франц хэл судалдаг байсан гэвэл хэдэн хүн англи хэл судалдаг вэ? Хэдэн хүн франц ба герман хэл судалдаг байв?

Гурван сурагч нийт 95 бодлого боджээ. Зөвхөн нэг сурагч бодсон бодлогыг "хүнд", бүх сурагч бодсон бодлогыг "хөнгөн" гэж нэрлэе. Хэрэв сурагч бүхэн 52 бодлого бодсон бол хүнд бодлогын тоо хөнгөн бодлогын тооноос яг хэдээр илүү вэ?

Ангийн 28 сурагч бүгд амжилттай сурдаг ба "5" дүнтэй сурагч 12, "4" дүнтэй сурагч 14, "3" дүнтэй сурагч 16 байв. Харин 3 сурагч зөвхөн "5" ба "4" дүнтэй, 4 сурагч зөвхөн "4" ба "3" дүнтэй, 3 сурагч зөвхөн "5" ба "3" дүнтэй сурдаг байсан бол хэдэн сурагч нэгэн зэрэг "3", "4", "5" дүнтэй сурдаг вэ? Хэдэн сурагч онц, сайн, дунд сурдаг вэ?

Сургуулийн бүх сурагчдын $28\%$ нь шатар, $25\%$ нь даам, $20\%$ нь теннис тоглодог. Мөн $11\%$ нь шатар ба даам, $3\%$ нь шатар ба теннис, $2\%$ нь даам ба теннис тоглодог ба $42\%$ нь эдгээрийн алийг нь ч тоглодоггүй байв. Сурагчдын

1. Хэдэн хувь нь шатар, даам, теннис гурвууланг тоглодог вэ?
2. Хэдэн хувь нь яг хоёр тоглоом тоглодог вэ?
3. Хэдэн хувь нь яг нэг тоглоом тоглодог вэ?
4. Хэдэн хувь нь ядаж хоёр тоглоом тоглодог вэ?
5. Хэдэн хувь нь яг нэг тоглоом тоглодоггүй вэ?
6. Хэдэн хувь нь ядаж нэг тоглоом тоглодоггүй вэ?

Сургуулийн 220 сурагчийн 163 нь сагсан бөмбөг, 175 нь хөл бөмбөг тоглодог ба 24 нь энэ хоёр тоглоомын алийг нь ч тоглож чадахгүй байв. Тэгвэл хөл бөмбөг сагсан бөмбөгийг хоёуланг нь тоглодог сурагч хэд байв.

$|A|=n$ байв. $A$ олонлогт $2^{n-1}$ ялгаатай дэд олонлог өгсний аль ч гурав нь ерөнхий элементтэй байв. Тэгвэл энэ бүх дэд олонлогууд ерөнхий элементтэй гэж батал. ($|A|=n$ бол $A$-ийн бүх дэд олонлогийн тоо $2^n$ байдгийг бид хожим батлана.)

$A$ олонлогт гурван элементтэй 4 дэд олонлог өгсний аль ч хоёр нь яг нэг ерөнхий элементтэй байв. $A$ олонлог хэдэн элементтэй вэ?

$A$, $B$, $C$ ямар нэг универсал олонлогийн дэд олонлогууд бол

1. $A\setminus B=A\cap\overline B$,
2. $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup(A\cap B)$,
3. $\overline A\cup(\overline{B\cup C})=(\overline{A\cap B})\cap(\overline{A\cap C})$

гэж батал.

$A$ олонлогийн 9 элементтэй дэд олонлогуудын тоо нь 10 элементтэй дэд олонлогуудын тооноос их бол $A$ олонлог хэдэн элементтэй вэ?

Багийн гишүүн бүр хөлбөмбөг юмуу теннисний ядаж нэгийг тоглож байв. Хөл бөмбөг тоглодог хүн 23, теннис тоглодог хүн 21 ба энэ хоёрыг зэрэг тоглодог хүн 18 байсан бол баг хэдэн гишүүнтэй байсан бэ?

Эйлер-Венийн диаграммыг ашиглаж дараах бодлогуудыг бод.

1. $$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|,$$ $$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$$ болохыг батал. Эдгээр томьёонууд нь үл огтлолцох олонлогуудын хувьд ямар хэлбэртэй байх вэ?
2. Өмнөх томьёонд $\cap\to\cup$ ба $\cup\to\cap$ гэж солиход мөн үнэн томьёо гарахыг үзүүл.
3. $|\overline X|=|U|-|X|$ гэж батал.

$U=\mathbb Z$ гэж аваад $2\mathbb Z,3\mathbb Z,5\mathbb Z$-ийн тусламжтайгаар 2, 3, 5-ын

1. ядаж нэгд нь хуваагддаг,
2. гурвууланд нь зэрэг хуваагддаг,
3. ядаж хоёрт нь хуваагддаг,
4. зөвхөн нэгд нь хуваагддаг,
5. зөвхөн хоёрт нь хуваагддаг,
6. алинд нь ч хуваагддаггүй,
7. яг нэгд нь хуваагддаггүй,
8. яг хоёрт нь хуваагддаггүй

тоонуудын олонлогийг илэрхийл.

$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)$, $(A\cap B) \setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)$ $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)=(A\setminus C)\setminus B= (A\setminus B)\cap(A\setminus C)$, $A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B) \cup(A\cap C)$

$A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$, $A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)$ (Морганы дүрмүүд)

$A=(A\cap B)\cup(A\cap\overline B)$, $A=AB+A\overline B=ABC+AB\overline C+A\overline BC+A\overline B\,\overline C$,

$a_i\ne0$, $i=\overline{1,5}$ өгсөн бүхэл тоонуудын хувьд $29\mid A=\displaystyle\sum_{i=1}^5 x_ia_i$ байхаар ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай $x_i\in\{-1,0,1\}$, $i=\overline{1,5}$ тоонууд олдохыг батал.

$A_i\subseteq M$, $|A_i|>\dfrac23|M|$, $i=\overline{1,2000}$ бол дор хаяад $1334$ ширхэг $A_i$-д орох $a\in M$ олдоно гэж батал.

$2,3,\dots,2024$ тоонуудаас $k$ ширхэгийг дарахад үлдэх тоонуудын хувьд аль нь ч нөгөө хоёрынхоо үржвэртэй тэнцүү биш байсан гэвэл $k$-ийн хамгийн бага утгыг ол.

"Хатанбаатар", "тэнцэтгэл" гэсэн үгүүдээс үсгүүдийн байрыг солих замаар хэчнээн үг гаргаж чадах вэ?

Ээжид 4 алим, 3 жүрж, 6 нимбэг байв. Ээж өдөр болгон хүүдээ нэг жимс өгдөг бол хэчнээн янзаар өгч чадах вэ?

Алгебрын 3, анализын 4, геометрийн 8 номоор ангийн 30 сурагчийн талыг шагнах болов. Хэчнээн янзаар шагнаж чадах вэ?

"Төөрөгдөл" гэсэн үгэнд үсгүүдийн байрыг солиход: а) 4 "ө" үсэг, б) 3 "ө" үсэг, в) 2 "ө" үсэг зэрэгцэж ороогүй байх боломжийн тоог тус тус ол.

$(a+b+c+d)^4$-г задалж бич.

$(1+2x+3x^2)^{10}$-ийн задрал дахь $x^4$-ийн коэффициентийг ол.

1. $11223344$ тооны цифрүүдийн бүх боломжит сэлгэмэлд гарах бүх 8 оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.
2. $11223300$ тооны цифрүүдийн бүх боломжит сэлгэмэлд гарах бүх 8 оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.

Адил үсэг зэрэгцэж ороогүй байхаар "Дашдондог" гэдэг үгэнд үсгүүдийн байрыг хэчнээн янзаар сольж болох вэ?

$A,B$ үгийн дарааллыг дараах дүрмээр байгуулав. 1-р үг нь $A$, 2-р үг нь $B$, $n\ge1$ үед $n+2$-р үг нь $n$-р үгийн араас $n+1$-р үгийг залгаж бичихэд гарна. Энэ дараалалд үетэй үг, ө.х. $P\dots P$ хэлбэртэй үг бий юү?

$n=k_1+\dots+k_m$ ба $1\le k_1\le\dots\le k_m$ байх $k_i\in\mathbb{N}$-ийг $n$ тооны $m$ хуваалт гэдэг. $n$ тооны бүх $m$ хуваалтын тоог $p_m(n)$ гэе. $p_m(n)$-ийн рекурент харьцааг бич.

$p(n)=\sum\limits_{n=1}^mp_m(n)$ нь $n$ тооны бүх хуваалтын тоо болно. $p_m(n)$-г мөн адилхан $n$ элементийг хайрцаг бүр хоосон биш байхаар адилхан $m$ хайрцагт байрлуулах бүх боломжийн тоо гэж үзэж болох нь ойлгомжтой.

1. $\genfrac{[}{]}{0pt}{}{m}{n}$-ийн рекурент харьцааг бич.
2. $\sum\limits_{k=1}^nk^{-1}=\frac1{n!}\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n+1}{2}$ батал.

$\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{m}{n}$-ийн рекурент харьцааг бич (заримдаа $\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{m}{n}$-ийг $S(m,n)$ гэж тэмдэглэдэг).

$\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{n}=\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{n}=1$, $\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{n-1}=\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{n-1}=\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{2}$, $\sum\limits_n\genfrac{[}{]}{0pt}{}{m}{n}=m!$, $\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{2}=2^n-1$, $\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{k}\le\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}$ байх нь илэрхий.

$(\dots((x-2)^2-2)^2\dots-2)^2=P_n(x)$ гэсэн $n$ хаалт бүхий олон гишүүнтийн $x^0,x^1,x^2,x^3$-ийн коэффициентийг ол.

$A\subseteq\mathbb{Z}_{n^2}$, $|A|=n$ байг. $\exists B\subseteq\mathbb{Z}_{n^2}$, $|B|=n$ ба $|A+B|=|\{a+b\mid a\in A,b\in B\}|\ge\frac{n^2}2$ гэж батал.

Цасангуа охины үлгэрт гардаг 7 одой өдөр бүр ажилдаа жагсаалаар явдаг. Тэд заавал "өндөр - нам - өндөр - нам - $\ldots$" гэж сөөлжлөн жагсдаг байсан бөгөөд өдөр бүр тэд өөр өөр дарааллаар жагсдаг байжээ. Хэрэв 7 одойн өндөр нь бүгд ялгаатай байсан бол тэд хамгийн олондоо хэдэн өдөр ажилдаа явж чадах вэ?

Гүдгэр $n$ өнцөгтийг үл огтлолцох диагоналиудаар нь гурвалжнуудад хуваах боломжийн тооны рекурент харьцааг бич.

$a_1:a_2:a_3:\ldots:a_n$-д хаалт тавих замаар хэчнээн янзын илэрхийлэл гаргаж авч чадах вэ?

Тойрог дээр $2n$ цэг авав. Тэднийг үл огтлолцох $n$ хөвчөөр нь хэчнээн янзаар холбож болох вэ?

Гүдгэр $n$ өнцөгтийн аль ч гурван диагональ нэг цэгт огтлолцохгүй бол түүний диагоналиуд уг олон өнцөгтийг хичнээн хэсэгт хуваах вэ?

$1,2,\dots,n$ тоонуудыг цагийн зүүний дагуу тойрог дээр байрлуулжээ. 1-ээс эхлэн цагийн зүүний дагуу тоолон явж 2 дахь цэг бүрийг дарж ганц цэг үлдтэл нь дарав. Үлдэх ганц цэгийн дугаар $J(n)$-ын рекурент харьцааг бич.

1 ба 2-ын цифрээр бичигдэх 111, 212, 222-г агуулаагүй 39 оронтой тоо хэд байх вэ? [ММО-39, хуу. 51].

$X$ хэлэнд $n$ үсгийг ашигладаг ба хэрэв үсгүүдийн дараалалд хоёр тэнцүү үсгийн хооронд мөн хоёр тэнцүү үсэг оршдоггүй бол түүнийг үг гэдэг. $X$ хэлэн дэх максимал урттай үг (урт үг гэе)-ийн тоо $p_n$-г ол.

0101 дэд үг агуулаагүй $n$ урттай 0, 1-үгийн тоог $A_n$ гэе. $A_n$-ийн тэгш сондгойг тодорхойл.

2-тын тооллын систем дэх бичлэг нь дараалсан 3 ижил цифр агуулахгүй ба $4\le n\le1023$ байх $n$ тоонуудын тоог ол.

$C_n^k$-ийн рекурент харьцааг бич. $a_n=C_n^k$, $b_k=C_n^k$ дарааллуудын уламжлагч функцийг ол.

$t_n$ нь $a,b$-ээр бичигдэх $aaaa$ эсвэл $bbb$-г агуулдаггүй $n$ урттай үгийн тоо бол $\dfrac{t_{2005}-t_{2003}-t_{2000}}{t_{2002}+t_{2001}}$ утгыг ол.

$ba$ үгийг тэгш ба сондгой тоотой агуулсан $n$ урттай $a, b$-үгийн тоог харгалзан $T_n$ ба $C_n$ гэе. Ямар $n$-ийн хувьд $T_n=C_n$ байх вэ?

1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50-тын мөнгөнөөс тус бүр нэг ширхэг байв. 73 мөнгөний худалдааг хэчнээн янзаар хийж чадах вэ?

Шат 39 гишгүүртэй, шатны доороосоо 17 дахь гишгүүр бохирдсон байв. Шатаар алхахдаа эсвэл нэг, эсвэл хоёр, эсвэл гурван гишгүүр алхана. Тэгвэл шатны эхний гишгүүрээс сүүлчийн гишгүүр хүртэл бохирдсон гишгүүр дээр гишгэхгүйгээр нийт хэчнээн янзаар алхаж очих вэ?

1, 2, 3-аар цифрүүдийн нийлбэр нь 25 байх тоо хэдийг бичиж болох вэ?

1, 2, 3 цифрүүдээр бичигдсэн аль ч зэрэгцээ хоёр цифр нь ялгаатай, мөн эхний ба эцсийн цифр нь ялгаатай бүх $n$ оронтой тооны тоог ол.

$n$ цэг а) шулуун дээр б) тойрог дээр тэмдэглэгдсэн байв. Зэрэгцээ цэгүүд өөр өнгөтэй байхаар эднийг 3 (4 ба $k$) өнгөөр будах боломжийн тоонуудыг ол.

001-г агуулаагүй $n$ урттай 0, 1-үгийн тооны рекурент харьцааг бич.

1. $\alpha(m,n)$-ээр $m$ ширхэг 0 ба $n$ ширхэг 1-ээс тогтох 0, 1-үгийн тоог,
2. $\beta(m,n)$-ээр дараалсан хоёр тэг агуулаагүй, $m$ ширхэг 0 ба $n$ ширхэг 1-ээс тогтох 0, 1-үгийн тоог,
3. $\gamma(m,n)$-ээр дараалсан гурван тэг агуулаагүй, $m$ ширхэг 0 ба $n$ ширхэг 1-ээс тогтох 0, 1-үгийн тоог

тус тус тэмдэглэе. $\alpha$, $\beta$, $\gamma$-ийн рекурент харьцааг бич.

1. Дараалсан 2 тоо агуулаагүй $k$ тоог $1,2,\dots,n$ тооноос хэчнээн янзаар сонгож болох вэ?
2. Тойрог дээр $1,2,\dots,n$ тоог энэ дарааллаар нь байрлуулжээ. Эднээс зэрэгцээ 2 тоо агуулаагүй $k$ тоог хэчнээн янзаар сонгож болох вэ?

Бөмбөрцгийн төвийг дайрсан аль ч гурав нь нэг диаметр дайраагүй хавтгайнуудаар бөмбөрцөг гадаргуу хэчнээн хэсэгт хуваагдах вэ?

Ерөнхий байршилтай $n$ хавтгайгаар огторгуй хэчнээн хэсэгт хуваагдах вэ?

Ерөнхий байршилтай $n$ шулуун хавтгайг хэдэн хэсэгт хуваах вэ?

$A_n^k$, $C_{(n)}^k$, $A_{(n)}^k$-үүдийн рекурент харьцааг бич.

$\displaystyle\sum\limits_{0\le k\le\frac n2}\binom{n-2k}{k}\left(-\frac4{27}\right)^k$ бод.

Determine \(\sum\limits_k \binom{n-k}{k}(-1)^k\) and \(\sum\limits_k \binom{n-k}{k}\).

Find all \( n \in \mathbb{N} \) such that the set \( S = \{1, 2, \ldots, n\} \) can be colored with two colors in a way that \( S^3 = S \times S \times S \) contains exactly $2007$ triplets \( (x, y, z) \) satisfying the following conditions:

1. \( x, y, z \) are all the same color.
2. \( n \mid x + y + z \).

Prove that \(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k \binom{2n-k}{k} \cdot 2^{2n-2k} = 2n + 1\).

Consider an increasing sequence \( a_0, a_1, a_2, \ldots \) of nonnegative integers. Each nonnegative integer has exactly one representation of the form \( a_i + 2a_j + 4a_k \) for some indices \( i, j, k \). Determine the term \( a_{2032} \).

Натурал $n,k$ тоонууд нь $k\ge n$ ба $k-n$ ялгавар тэгш байх тоонууд. $1,2,\dots,2n$ гэж дугаарлагдсан $2n$ ширхэг чийдэнгийн аль нь ч ассан эсвэл унтарсан төлвийн аль нэгэнд байна. Анх бүх чийдэн унтарсан байв. Нэг удаагийн үйлдлээр, яг нэг чийдэнгийн төлөвийг эсрэгээр сольж болно (ассан байвал унтарсан болгож, унтарсан байвал ассан болгоно).

Анхны байрлалаас 1-аас $n$ хүртэл дугаартай чийдэнгүүд ассан, $(n+1)$-ээс $2n$ хүртэл дугаартай чийдэнгүүд унтраатай байх байрлалд хүргэх $k$ ширхэг үйлдлийн дарааллын тоог $N$-ээр, харин $(n+1)$-ээс $2n$ хүртэл дугаартай чийдэнгүүд төлөвөө огт өөрчлөхгүйгээр $1$-ээс $n$ хүртэл дугаартай чийдэнгүүд ассан, $(n+1)$-ээс $2n$ хүртэл дугаартай чийдэнгүүд унтраатай байх байрлалд хүргэх $k$ ширхэг үйлдлийн дарааллын тоог $M$-ээр тэмдэглэе. $N/M$ харьцааг ол. (ОУМО-49-ийн бодлого B2, ММО-44, хуудас 82]

$1,2,\dots,n$ тоонуудын $a_1,a_2,\dots,a_n$ сэлгэмэлийн хувьд $i < j$ боловч $a_i>a_j$ байх хосыг эрэмбээ алдсан хос гэе.

1. Эрэмбээ алдсан хосын тоо нь $n$-д хуваагддаг $1,2,\dots,n$ тоонуудын сэлгэмэлийн тоо $(n-1)!$ гэж батал.
2. Хэрэв $n=4k+3$ бол эрэмбээ алдсан хосын тоо нь $2n$-д хуваагддаг $1,2,\dots,n$ тоонуудын сэлгэмэлийн тоо $\dfrac{(n-1)!}2$ байна гэж батал.

$S=\{1,2,\dots,n\}$ олонлогийн цэгүүдийг дараах нөхцөл биелж байхаар 2 өнгөөр будаж болдог байх бүх $n\in\mathbb N$-ийг ол, үүнд $S^3=S\times S\times S$ олонлог

1. $x,y,z$ адил өнгөтэй,
2. $n\mid x+y+z$

байх яг 2007 ширхэг $(x,y,z)$ гурвалыг агуулдаг.

Элементүүдийнх нь нийлбэр 5-д хуваагддаг $\{1,2,\dots, 5n\}$ олонлогийн дэд олонлогуудын тоог ол. [ММО-43, хуудас 66]

$\sum\limits_{i=0}^m (C_m^i)^3=\sum\limits_{n=0}^m C_{m+n}^nC_m^nC_{m-n}^n2^{m-2n}$ гэж батал.

$\sum\limits_k C_{n-k}^k(-1)^k$ ба $\sum\limits_k C_{n-k}^k$-г үнэл.

$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k C_{2n-k}^k\cdot2^{2n-2k}=2n+1$ гэж батал.

$1,2,\dots,n$ тоонуудын $i$ тоо $i$ ба $i+1\,\pmod{n}$ дүгээр байрт байрлаагүй байх сэлгэмлийн тоо $u(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i(n-i)!C_{2n-i}^i\cdot\dfrac{2n}{2n-i}$ байна.

$a_0=a_1=1$ ба $n\in\mathbb{N}$ үед $$n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1}$$ бол $$\dfrac{a_0}{a_1}+\dfrac{a_1}{a_2}+\dots+\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$$ нийлбэрийг бод.

$a,~b,~c,~d,~e$-ээр бичигдэх ба $cd$, $ce$, $ed$, $ee$-г агуулаагүй $n$ урттай цэгийн тоог ол.

Хаус хэлний цагаан толгой х, а, у, с гэсэн дөрвөн үсэгтэй. 2 гийгүүлэгч зэрэгцэж ороогүй ямар ч үг тус хэлний үг болох бол хаус хэлэнд $n$ урттай хэчнээн үг байх вэ?

а) Гэр бүлийн $n$ хосыг дугуй ширээ тойруулан суулгахад нэг гэр бүлийн хос зэрэгцэж суугаагүй байх боломжийн тоог ол ($n=6$ үед тоон хариуг ол).

б) а) тохиолдлыг эрэгтэйчүүд ба эмэгтэйчүүд нь сөөлжлөн суусан байх үед бод.

Сөрөг биш бүхэл тоонуудын өсөх дараалал $a_0,a_1,\dots$-ийн хувьд ямар ч сөрөг биш бүхэл тоо нь $a_i+2a_j+4a_k$ ($i,j,k$-үүд ялгаатай байх нь албагүй) хэлбэртэйгээр ганц утгатай илэрхийлэгддэг бол $a_{2032}$-ийг ол.

$n$ элементтэй олонлогийг хуваах хуваалтын тоо $\displaystyle b_n=\frac1e\cdot\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$-тэй тэнцүү гэж батал.

Хавтгайн ерөнхий байршдын $u_n=[2^n\cdot n!\sqrt e]+1$ ширхэг цэгийг хос хосоор нь $n$ өнгийн хэрчмээр холбоход нэг өнгийн 4 өнцөгт олдохыг батал.

1. 2 хүн "тоо, сүлд" тоглоом тоглохын өмнө нэгд нь $m$, нөгөөд нь $n$ мөнгө байв. Нэгийгээ хоосортол нь тоглоно гэвэл дунджаар мөнгийг хэдэн удаа хаявал зохих вэ?
2. 3 хүний хувьд томьёолон бод.

$x\ne0$ үед $f(x)=\dfrac{x^2+1}{2x}$ байг. $f^{(0)}(x)=x$, $f^{(n)}(x)=f(f^{(n-1)}(x))$. $x\ne-1,0,1$ ба $n\ge0$ бол $$\frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)}=1+\frac1{f\left(\left({\dfrac{x+1}{x-1}}\right)^{2^n}\right)}$$ гэж батал.

$k\in\mathbb{N}$, $A_k$ нь 2 суурь дахь бичлэг нь яг гурван 1-ийг агуулдаг $\{k+1,k+2,\dots,2k\}$-ийн дэд олонлог ба $f(k)=|A_k|$ байг.

1. $m\in\mathbb{N}$ бол $f(k)=m$ тэгшитгэл шийдтэй гэж батал.
2. $f(k)=m$ тэгшитгэл ганц шийдтэй байх бүх $m$-г ол.

$1\le p\le q\le r$, $p+q+r=2s$ байг. Хүн бүр $s$ бөмбөг авч байхаар $p$ хар, $q$ цагаан, $r$ улаан бөмбөгийг хоёр хүнд хувааж өгөх боломжийн тоо

1. $r < p+q$ бол $s^2+s+1-\dfrac12(p^2+q^2+r^2)$,
2. $p+q < r$ бол $(p+1)(q+1)$

гэж батал.

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ нь $x^3-x^2-x-1=0$-ийн язгуурууд бол $n\in\mathbb{Z}^+$ бүрийн хувьд $$\displaystyle d_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}+\frac{\beta^n-\gamma^n}{\beta-\gamma}+\frac{\gamma^n-\alpha^n}{\gamma-\alpha}\in\mathbb{Z}$$ гэж батал.

Эрэмбэгүйн тоо $N_n(0)$-г рх ашиглан бод.

Фибаночийн дарааллын ерөнхий гишүүнийг ердийн уламжлагч функцийн аргаар ол.

$a_0=a_1=1$, $n\ge2$ үед $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}+(-1)^n$ бол $\{a_n\}$-ийг еуф-аар бодож гарга.

$u_0=1$, $u_1=0$, $v_0=0$, $v_1=1$ ба $n\ge2$ үед $u_n=2v_{n-1}+u_{n-2}$, $v_n=u_{n-1}+v_{n-2}$-ийг бод.

$f_n=f_{n-1}+\sum\limits_{k < n}f_k+[n>0]$-ийн ердийн уламжлагч функцийг ол.

$a_0=1$, $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}+\dots+na_0$, $n>0$ бол $\{a_n\}$-г бод.

$a_n=\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}C_{n-k}^k\cdot 6^k$ гэе. Хэрэв $p>5$ анхны тоо бол $p\mid a_{p-2}$ гэж батал.

$\displaystyle a_n=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}=(-1)^n$ гэж батал.

Тасаг 8 ажилчинтай. Хүн бүр нэг нэг эдлэл хийхээр 3 янзын эдлэл хийх даалгаврыг 3 ажилчинд нь хэчнээн янзаар өгч болох вэ? (нэг хүн нэг л эдлэл хийнэ.)

2, 4, 6-р байранд нь гийгүүлэгч байхаар "Логарифм" гэдэг үгэнд үсгүүдийн байрыг хэчнээн янзаар сольж болох вэ?

0-ээс бусад цифрүүдээр бичиж болох цифрүүд нь ялгаатай байх бүх 5 оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.

10 охиныг 7 хүү бүжигт урих ёстой байв. Нэр заасан 2 охин заавал бүжиглэх ёстой байсан бол хэчнээн янзаар бүжигт урьж болох вэ?

1, 2, 3, 4, 5 элементийн хэчнээн сэлгэмэлд

1. 1 нь 2-ын зүүн талд орох вэ?
2. 2 нь 1-ийн яг ард орох вэ?

$0,1,\ldots,9$ цифрүүдийн хэдэн сэлгэмэлд 0,1 цифрүүд зэрэгцэн орсон ба 1,2 цифрүүд зэрэгцэн ороогүй байх вэ?

Хайрцаг бүрт ядаж нэг бөмбөг орсон байхаар

1. $m$ ялгаатай бөмбөгийг $n$ ялгаатай
2. $m$ адил бөмбөгийг $n$ ялгаатай
3. $m$ ялгаатай бөмбөгийг $n$ адил
4. $m$ адил бөмбөгийг $n$ адил

хайрцагт байрлуулах боломжийн тоонуудыг ол.

$|x_i{-}x_{i+1}|{=}n$ байх ядаж нэг утга $i\in\{1,2,\ldots,2n-1\}$ олддог бол $1,2,\ldots,2n$ тоонуудын сэлгэмэл $(x_1,x_2,\ldots,x_{2n})$-г тохиромжтой гэе. Ямар ч $n$-ийн хувьд бүх сэлгэмлүүдийн талаас илүү нь тохиромжтой гэж батал.

$\pi(x)$-ээр $x$-ээс хэтрэхгүй бүх анхны тоонуудын тоог тэмдэглэе. $q_1 ,\ldots,q_m$ нь $\sqrt n$-ээс хэтрэхгүй бүх анхны тоонууд байг. Тэгвэл $$\pi(n)-\pi(\sqrt n)=n-1+\sum^n_{k=1}(-1)^k\kern{-10pt}\sum_{1\le i_1 < \ldots < i_k\le n} \left[\frac n{q_{i_1}\ldots q_{i_k}}\right]$$ гэж батал.

1 талбайтай тэрлэгэн дээр тус бүрийн талбай нь 0.5-аас багагүй байх 5 нөхөөс тавьжээ. Ерөнхий хэсгийн талбай нь 0.2-оос багагүй байх 2 нөхөөс олдохыг үзүүл.

1. 6 талбайтай квадратад тус бүр нь 3 талбайтай 3 олон өнцөгт байрлажээ. Тэгвэл эднээс ерөнхий хэсгийн (огтлолцлын) талбай нь 1-ээс багагүй байх хоёр олон өнцөгт олдохыг батал.
2. 5 талбайтай квадратад тус бүр нь 1 талбайтай 9 олон өнцөгт өгчээ. Тэгвэл эднээс ерөнхий хэсгийн нь талбай $\dfrac19$-ээс багагүй байх хоёр олон өнцөгт олдохыг үзүүл.

$n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_s^{\alpha_s}$ бол $\phi(n)=n(1-\frac1 {p_1})\ldots(1-\frac1{p_s})$ гэж батал.

Яг $r$ элемент нь байрандаа байх $n$ элементийн сэлгэмлийн тоо $N_n(r)$-г ол.

$1,2,\ldots,n$ тоонуудын сэлгэмэл $(x_1,\ldots,x_n)$-д дурын $k$ бүрийн хувьд $x_k\not=k$ бол түүнийг эрэмбэгүй гэж нэрлэе. Бүх эрэмбэгүйн тоо $N_n(0)$-г ол.

Аль ч 2 нэг ястан зэрэгцэн суухгүй байхаар 3 буриад, 3 дүрвэд, 3 баядыг хэчнээн янзаар дугуй ширээ тойруулан суулгаж болох вэ?

Аль ч 2 нэг ястан зэрэгцэн суухгүй байхаар 3 буриад, 3 дүрвэд, 3 баядыг хэчнээн янзаар эгнүүлэн суулгаж болох вэ?

Аль ч 3 нэг ястан зэрэгцэн суухгүй байхаар 3 буриад, 3 дүрвэд, 3 баядыг хэчнээн янзаар эгнүүлэн суулгаж болох вэ?

$A_1,\ldots,A_n$ олонлогууд өгсөн байг. $1\le k\le n$ байх $k$-г бэхлэе. $1 \le i_1< i_2<\ldots< i_k\le n$ байг. $\displaystyle S_{i_1\ldots i_k}=|A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k}|$, $M_k=\sum_{(i_1,\ldots,i_k)}S_{i_1\ldots i_k}$, $S=|A_1\cup\ldots\cup A_n|$ гэж тэмдэглэе.

1. $\displaystyle S=M_1-M_2+M_3-\ldots+(-1)^{n+1}M_n$
2. $m$ тэгш тоо бол $S\ge M_1-M_2+\ldots+(-1)^{m+1}M_m$ байна. $m$ сондгой тоо бол $S\le M_1-M_2+\ldots+(-1)^{n+1}M_m$ байна.

7 алим, 4 нимбэг, 9 жүржээс хэдийг хэчнээн янзаар авч болох вэ? (нэг төрлийн жимс үл ялгагдана гэж үз)

$0,1,\ldots,9$ цифрүүдийн хэчнээн сэлгэмэлд 0 цифр эхний 6 байрын аль нэгийг, 1 цифр сүүлчийн 6 байрын аль нэгийг эзэлсэн байх вэ?

Адил цифр агуулаагүй бүх 5 оронтой тэгш тооны тоог ол.

$\{1,2,\ldots,100\}$ олонлогийг 7 дэд олонлогт хуваасан бол эдгээр дэд олонлогийн ядаж нэгд нь эсвэл $a+b=c+d$ байх 4 тоо $a,b,c,d$ олдоно, эсвэл $a+b =2c$ байх 3 тоо $a,b,c$ олдоно гэдгийг батал.

Дараалсан 2 тоо агуулсан 6 тоог 1,2,$\ldots$,49 тоонуудаас сонгон авах боломжийн тоог ол.

$1234567$ тооны цифрүүдийн байрыг солиход гарах бүх $7!$ тооны нийлбэрийг ол.

Ангийн 40 сурагчийн 24 нь эрэгтэй байв. Ангийн ахлагч, шатрын багийн ахлагч, сагсан бөмбөгийн багийн ахлагч тэдний орлогчид гэсэн 6 орон тоог сонгох ёстой байв.

1. сонгох бүх боломжийг ол,
2. эдний дотор эмэгтэй сурагчид байх,
3. ангийн дарга эрэгтэй байх,
4. жинхэнэ дарга нар нь эрэгтэй байх,
5. дарга нарын талаас цөөнгүй нь эрэгтэй байх

боломжийг ол.

Айл: 10 малтай байх боломжийг ол. 10 малтай айл:

1. дан бодтой байх,
2. яг 3 хоньтой байх,
3. 5 бод, 5 богтой байх,
4. хоньтой байх,
5. бодтой ба богтой байх,
6. 3-аас цөөнгүй бодтой байх

боломжуудыг тус тус ол.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрүүдээс 3 тэгш ба 3 сондгой цифр агуулсан цифрүүд нь давтагдаагүй хэчнээн 6 оронтой тоо зохиож болох вэ?

$n$ хүнийг $m$ буудалд хэчнээн янзаар буулгаж болох вэ?

"Математик" гэдэг үгнээс 3 гийгүүлэгч, 2 эгшиг агуулсан 5 үсэгтэй үгийг хэчнээн янзаар бичиж чадах вэ?

20 өөр эдлэлийг I хайрцагт 3, II-т 5, бусад нь III-т байхаар 3 хайрцагт хэчнээн янзаар хийж болох вэ?

Хоёр А, таван Б, есөн В-гээс ядаж нэг үсэг агуулсан хэчнээн үг зохиож болох вэ?

Батал.

1. $x^{\overline n}=(x+n-1)\cdot x^{\overline{n-1}}$.
2. $n\ge0$ бол $x^{\overline n}=\sum\limits_k\genfrac{\{}{\}}{0}{}{n}{k}x^k$.

Батал.

1. $x^{\overline m}=(-1)^m(-x)^{\underline m}=(x+m-1)^{\underline m}=\frac1{(x-1)^{-\underline m}}$
2. $x^{\underline m}=(-1)^m(-x)^{\overline m}=(x-m+1)^{\overline m}=\frac1{(x+1)^{-\overline m}}$

$x^n=\sum\limits_k\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{k}(-1)^{n-k}x^{\overline k}$, $x^{\underline n}=\sum\limits_k\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k}(-1)^{n-k}x^k$ болохыг батал.

Батал.

1. $\displaystyle\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n+1}{m+1}=\sum\limits_{k}\genfrac{(}{)}{0}{0}{n}{k}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m}$,
2. $\displaystyle\genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{m+1}=\sum\limits_{k}\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k}\genfrac{(}{)}{0}{0}{k}{m}$

$n>2$ бол $b_n < n!$ гэж батал.

$b_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}C_{n-1}^k b_k$ гэж батал.

$\displaystyle b(t)=\sum\limits_{n\ge0}b_n\cdot\frac{t^n}{n!}=e^{e^t-1}$ гэж батал.

$B_n=B_n(0)$ гэж батал. Энд $B_n$ ба $B_n(x)$ нь Бернуллийн тоо ба Бернуллийн олон гишүүнт.

$S_m(n)=\frac1{m+1}(B_{m+1}(n)-B_{m+1})$ гэж батал.

$B_{n+1}'(x)=(n+1)B_n(x)$ [$(13)$-аас $x$-ээр уламжлал авч $z^{n+1}$-ийн коэффициентийг тэнцүүл].

$B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)$--гүйцээлтийн теоремыг батал [$(13)$-аас $\sum\limits_{n\ge0}\frac{z^n}{n!}B_n(1-x)=\frac{ze^{z(1-x)}}{e^z-1}=\frac{-ze^{-zx}}{e^{-z}-1}=\sum\frac{(-z)^n}{n!}B_n(x)$].

$B_n(x+y)=\sum\limits_{s=0}^n\binom{n}{s}B_s(x)y^{n-s}$--аргументыг нэмэх дүрмийг батал [$(13)$-аар $\sum\limits_{n\ge0}B_n(x+y)\frac{t^n}{n!}=\frac{te^{tx}e^{ty}}{e^t-1}=\dots$].

$\frac1m\sum\limits_{k=0}^{m-1}B_n\hhlt{x+\frac km}=m^{-n}B_n(mx)$--үржвэрийн теоремыг батал [$\sum\limits_{n\ge0}\frac{z^n}{n!}B_n(mx)=\frac{ze^{mzx}}{e^z-1}$-д $\frac1{e^z-1}=\frac{1+e^z+\dots+e^{(m-1)z}}{e^{mz}-1}$ гэж авна ...].

$\dfrac1{(1-x)^m}=1+\sum\limits_{r\ge1}\sigma_m(n)x^n$, $\sigma_m(n)$ нь $n=x_1+x_2+\dots+x_m$, $x_i\ge0$-ийн шийдийн тоо.

$A(t)=\sum\limits_{n\ge0}a_nt^n$, $B(t)=\sum b_nt^n$, $C(t)=\sum c_nt^n$ байг.

1. $c_n=\sum\limits_{j+2k\le n}a_jb_k$ бол $C$-г $A, B$-ээр илэрхийл.
2. $nb_n=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{2^ka_k}{(n-k)!}$ бол $A$-г $B$-ээр илэрхийл.
3. $a_n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{r+k}{k}b_{n-k}$, $r\in\mathbb{R}$ бол $A$-г $B$-ээр илэрхийл.

$\dfrac1{1-z^m}=\sum\limits_{n\ge0}[m\mid n]z^n$, энд $[m\mid n]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & n \equiv0\pmod{m}\\ 0, & n\not\equiv0\pmod{m}\end{array}\right.$ байна.

$\displaystyle\frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}=\sum\limits_{k\ge0}\binom{k}{m}z^k$.

$c_0=0$, $c_1=1$, $c_n=-2nc_{n-1}+\sum\limits_kC_n^k\cdot c_kc_{n-k}$-ийг эуф-аар бод.

$n\ge1$ үед $c_n=c_0c_{n-1}+c_2c_{n-2}+\dots+c_{n-1}c_0$ рх-аар тодорхойлогдох $\{c_n\}$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.

$\dfrac{xP'(x)}{P(x)}=\sum\limits_{n\ge1}T(n)x^n$ гэж батал.

$\lambda(n)=\rho(n)$ болохыг батал.

$\left(\dfrac x{1-x}\right)^m=\sum\limits_{n\ge m}\sigma(m,n)x^n$, энд $\sigma(m,n)$ нь $n=x_1+\dots+x_m$-ийн натурал шийдийн тоо.

$\prod\limits_{i=1}^m\dfrac1{1-x^{n_i}}=1+\sum\sigma(n_1,\dots,n_m;n)x^n$, энд $\sigma(n_1,\dots,n_m;n)$ нь $n=n_1x_1+\dots+n_mx_m$, $x_i\ge0$-ийн шийдийн тоо.

$1,2,2^2,\dots,2^n,\dots$ грамм жинтэй туухайнуудаас тус бүр нэг ширхэг байв. Ямар ачааг дээрх туухайнуудаар хэчнээн янзын аргаар жинлэж чадах вэ?

$\prod\limits_{n\ge1}\dfrac1{1-x^{2n-1}}=1+\sum\limits_{n\ge1}\rho(n)x^n$, $\rho(n)$ нь $n$-ийг сондгой тоонуудын нийлбэрт тавих тоо

$\prod\limits_{n\ge1}(1+x^{2n-1})=1+\sum\limits_{n\ge1}\nu(n)x^n$, $\nu(n)$ нь $n$-ийг ялгаатай сондгой натурал тоонуудын нийлбэрт тавих тоо.

$\prod\limits_{n\ge1}\dfrac1{1-x^nz}=1+\sum\limits_{n,m=1}^{\infty}p_m(n)x^nz^m$, $p_m(n)$-г 12.2-28-аас хар.

$\prod\limits_{n\ge1}\dfrac1{1-x^n}=1+\sum\limits_{n\ge1}p(n)x^n$, $p(n)$ нь $n$-г натурал тоонуудын нийлбэрт тавих боломжийн тоо, тухайлбал $4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=4$ буюу $p(4)=4$-д $1+1+1+1$ нь I хаалтны $x^{1\cdot4}$ ба бусад бүх хаалтны $1=x^0$-ийн үржвэрт $1+1+2$ нь I хаалтны $x^{1\cdot2}$ ба II хаалтны $x^{2\cdot1}$-ийн үржвэрт харгалзана, гэх мэт.

$\prod\limits_{n\ge1}(1+x^nz)=1+\sum\limits_{n,m\ge1}\lambda(n,m)x^nz^m$, $\lambda(n,m)$ нь $n$-ийг ялгаатай $m$ ширхэг натурал тоонуудын нийлбэрт тавих боломжийн тоо, тухайлбал $\lambda(4,1)=1$, $\lambda(4,2)=1$, $\lambda(4,3)=\lambda(4,4)=0$.

$\prod\limits_{n\ge1}(1+x^n)=1+\sum\limits_{n\ge1}\lambda(n)x^n$ гэвэл $\lambda(n)$ нь $n$-г ялгаатай натурал тоонуудын нийлбэрт тавих боломжийн тоо юм, тухайлбал $\lambda(4)=2$, $4=1+3$, $4=4$.

а) $a_n=\sqrt n$, б) $a_n=\ln n$, в) $a_n=[n\text{ квадратаас чөлөөтэй тоо}]$, $\{a_n\}$-ийн дуф-г дзета функцээр илэрхийл.

$\{2^n+3^n\}_0^{\infty}$ дарааллын еуф ба эуф-г бич.

$n$ мөнгийг 1, 5, 10, 25, 50-тын мөнгөөр хэчнээн янзаар задалж болох вэ?

Маркгүй 5 төрлийн дугтуй ба 4 төрлийн марк байв. Дугтуй ба маркийг хэчнээн янзаар сонгон авч болох вэ?

"Ургамал" гэдэг үгээс эгшиг ба гийгүүлэгчийг хэчнээн янзаар сонгон авч болох вэ?

Шатрын нүднээс хар ба цагаан нүдийг хэчнээн янзаар зааж болох вэ? Шатрын хөлгөөс 2 нүдийг хэчнээн янзаар зааж чадах вэ? Мөн 2 цагаан нүдийг хэчнээн янзаар зааж чадах вэ?

Нэг хэвтээ юмуу босоо шугам дээр оршихгүй хар ба цагаан нүдийг шатрын хөлгөн дээр хэчнээн янзаар зааж чадах вэ?

Гүдгэр $n$ өнцөгтөд хэчнээн диагонал татаж болох вэ?

Хоёр цифр нь хоёулаа тэгш байх хоёр оронтой тоо хэд вэ?

0, 1, 2, 3, 4, 5 цифрүүдээр хэчнээн 4 оронтой тоо бичиж чадах вэ? Тэдгээрийн нийлбэрийг ол.

0, 1, 2, 3, 4, 5 цифрүүдээр бичигдэх 3-т хуваагдах 3 оронтой тоо хэчнээн байх вэ?

$\displaystyle n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_s^{\alpha_s}$, $p_i$ бүр нь анхны тоо бол $n$-ийн бүх хуваагчдын тоог ол.

Зэрэгцээ цифрүүд нь ялгаатай 5 оронтой тоо хэд байх вэ?

Бичлэгт нь 0, 4, 6, 8 цифрүүдээс ороогүй 4-д хуваагдах 5 оронтой тоо хэд байх вэ?

2, 4-р цифрүүд нь сондгой ба бүх цифрүүд нь ялгаатай байх 6 оронтой тоо хэд бий вэ?

10 хар, 20 цагаан, 30 улаан бөмбөг байв. Өнгө тус бүрээс ядаж хоёрыг агуулсан хэдэн бөмбөгийг хэчнээн янзаар сонгож авч чадах вэ?

$7\mid x^2+y^2$, $1\le x$, $y\le1000$ байх бүх ялгаатай хосын тоог ол.

$10^6$ хүртэлх тоонуудын дотор бичлэгтээ 1-г агуулсан ба агуулаагүй тооны аль нь олон бэ?

Ангийн 40 сурагчийн 24 нь эрэгтэй байв. Эднээс:

1. 4 хүнтэй баг хэчнээн янзаар гаргах вэ?
2. 1 ахлагч бүхий 4 хүнтэй багийг хэчнээн янзаар гаргах вэ?
3. Баг эмэгтэй сурагчтай байх тохиолдолд 1)-г бод.
4. Баг эмэгтэй ба эрэгтэй сурагч байх тохиолдолд 1)-г ба 2)-г бод.

"Спортлото"-ны картанд буй 49 тооноос 6-г нь дарахад:

1. яг 3 тоо зөв дарагдсан байх,
2. яг 5 тоо зөв дарагдсан байх,
3. ядаж нэг тоо зөв дарагдсан байх,
4. ядаж 3 тоо зөв дарагдсан байх,
5. ганц ч тоо зөв дарагдаагүй байх,
6. хоёроос илүүгүй тоо зөв дарагдсан байх

боломжийн тоонуудыг ол.

1. $C^k_n=C^{k-1}_{n-1}+C^k_{n-1}$,
2. $C^k_n=C^{n-k}_n$,
3. $C_n^k=\dfrac nk\cdot C_{n-1}^{k-1}$,
4. $(x+a)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^k_na^kx^{n-k}$,
5. $2^n=\sum\limits^n_{k=0}C^k_n$, Эндээс $|A|=n$ бол $A$-ийн бүх дэд олонлогийн тоо нь $2^n$ гэж гарга,
6. $\sum\limits^n_{k=0}kC^k_n=n\cdot2^{n-1}$,
7. $C^p_{n+m}=\sum\limits^p_{k=0}C^k_mC^{p-k}_n$ гэж батал.
8. $(m,p)=1$ бол $p\nmid C_{p^km}^{p^k}$ гэж батал.

1-ээс 100 хүртэлх тоонуудаас нийлбэр нь 3-т хуваагдах гурван ялгаатай тоог хэчнээн янзаар сонгож авах вэ?

Хавтгайд 11 цэг өгсний 5 нь нэг тойрог дээр орших ба өөр ямар ч 4 цэг нь нэг тойрог дээр үл оршино. Эдгээр цэгүүдээс ядаж 3-ыг нь дайрсан хэчнээн тойрог байх вэ?

Ямар ч 4 нь нэг тойрог дээр үл орших $n$ цэг хавтгайд өгчээ. Тэдгээрийн аль ч гурвыг нь дайруулж тойрог татав. Энэ бүх тойргууд хамгийн олондоо хэдэн цэгээр огтлолцох вэ?

Хавтгайд 5 цэг өгчээ. Эдгээрийн холбогч шулуунуудын дотор параллел, перпендикуляр, давхацсан шулуунууд байхгүй байв. Цэг бүрээс үлдэх цэгүүдийг холбосон шулуунуудад перпендикуляруудыг татав. Энэ бүх перпендикулярууд хамгийн олондоо хэдэн цэгээр огтлолцох вэ?

$4,5,6,7,8$ гэсэн дугаартай таван картыг хэрэглэн цифрүүд нь өсөх гурван оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?

A.$9$     B.$15$     C.$6$     D.$10$     E.$8$    

$1,2,3,4,5$ гэсэн дугаартай таван картыг хэрэглэн цифрүүд нь өсөх гурван оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?

A.$10$     B.$15$     C.$6$     D.$9$     E.$8$    

$f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ ба $\forall x\in\mathbb{R}^+$-ийн хувьд $f(x)+f(f(x))=2x$ бол $f(x)=x$ гэж батал.

$a_0=6$, $a_1=4$, $a_n=a_{n-1}+6a_{n-2}+2^n$ бол $a_n$-ийг ол.

$a_0=5$, $n\ge1$ үед $a_n=3a_{n-1}+2\cdot3^{n-1}$ бол $a_n$-ийг ол [$a_n=(cn+d)3^n$ хэлбэртэй эр].

$a_0=3$, $a_n=3a_{n-1}+2\cdot5^{n-1}$ бол $a_n$-г ол [нэг төрлийн хэсгийн шийд нь $a_n'=c3^n$ тул $a_n=c3^n+d5^n$ хэлбэртэй эрж $c,d$-г $a_0=3$, $a_1=11$-ээс олно].

$a_0=9$, $a_1=17$, $a_2=24$, $n\ge3$ үед $a_n=4a_{n-1}-5a_{n-2}+2a_{n-3}+6n-20$ бол $a_n$-г ол.

$a,b,c\in\mathbb{Z}$, $b$ сондгой тоо ба $x_0=4$, $x_1=0$, $x_2=2c$, $x_3=3b$ ба $n\ge4$ үед $x_n=ax_{n-4}+bx_{n-3}+cx_{n-2}$ бол $\forall p\in\mathbb{P}$, $m\in\mathbb{N}$ үед $p\mid x_{p^m}$ гэж батал [ММО-41, хуу. 67].

\texttt{Теорем 2.} Теорем 1-ийн нөхцөлд $$u_{n+k}=a_0u_n+\dots+a_{k-1}u_{n+k-1}+w(n)\qquad(8')$$ энд $w(x)\in F[x]$ ба $\alpha_0=1$, $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ нь $(9)$-ийн $s_0,s_1,\dots,s_m$ давтагдсан язгуур бол $n\ge1$ үед $u_n=\sum\limits_{i=1}^m g_i(n)\alpha_i^n+p(n)$, $\deg p\le\deg w+s_0$ хэлбэртэй байна.

$0 < a,b$ бол $f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$ байх $f\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ функцийг ол.

$a\in\mathbb{Z}$ ба $\{a_n\}$ нь $a_0=0$, $a_1=1$, $a_n=2ka_{n-1}-(k^2+1)a_{n-2}$, $n\ge2$, $p=4m+3$ хэлбэрийн анхны тоо бол

1. $a_{n+p^2-1}\equiv a_n(p)$,
2. $a_{n+p^3-p}\equiv a_n(p^2)$

гэж батал.

$f(1)=2$, $f(f(n))=f(n)+n$, $f(n) < f(n+1)$ байх $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ функцийн жишээ гарга [ММО-29, хуу. 22].

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ функц нь $f(n)+f(f(n))=2n+6$ бол $f$-г ол.

$$f(x)=x^2-ax-b\in F[x]\qquad(1) $$ $$u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}\quad(n\ge n_0+2),\quad n_0\in\mathbb{Z}\qquad(2)$$ $(1)$-г $(2)$ рх-ны характеристик олон гишүүнт гэдэг. Өгсөн $$n_0\in\mathbb{Z},\quad u_{n_0},u_{n_0+1}\in F\qquad(3)$$ утгуудыг $(2)$ рекурент харьцааны анхны утгууд гэдэг, энд $F$ дурын талбар.

1. $f(\alpha)=0$ бол $u_n=\alpha^n$, $n\ge n_0+2$ функц нь $(2)$-ын шийд болохыг батал.
2. $\alpha$ нь $(1)$-ийн давхар язгуур бол $u_n=n\alpha^n$, $n\ge n_0$ функц нь $(2)$-ын шийд болохыг батал.
3. $\alpha_1,\alpha_2$ нь $(1)$-ийн ялгаатай тэг биш язгуурууд ба $(3)$ нь өгсөн анхны утгууд бол $(2)$-ын ямарч шийд нь $$u_n=c_1\alpha_1^n+c_2\alpha_2^n\qquad(4) $$ хэлбэртэй байна, энд $c_1,c_2$ нь $$\left\{\begin{array}{l}u_{n_0}=c_1\alpha_1^{n_0}+c_2\alpha_2^{n_0}\\ u_{n_0+1}=c_1\alpha_1^{n_0+1}+c_2\alpha_2^{n_0+1}\end{array}\right.\qquad(5) $$ нөхцөлөөр нэг утгатай тодорхойлогдоно гэж батал.
4. $\alpha$ нь $(1)$-ийн давхар язгуур бол $(2)$-ын ямар ч шийд нь $$u_n=(c_1+c_2n)\alpha^n\qquad(6) $$ хэлбэртэй байна, энд $\alpha\ne0$ бол $c_1,c_2$ нь $$\left\{\begin{array}{l}u_{n_0}=(c_1+c_2n_0)\alpha^{n_0}\\ u_{n_0+1}=(c_1+c_2(n_0+1))\alpha^{n_0+1}\end{array}\right.\qquad(7) $$ нөхцөлөөр нэг утгатай тодорхойлогдоно гэж батал.

$a_1=4$, $n\ge1$ үед $a_{n+1}=7a_n+4\sqrt{3a_n^2+1}$ бол $a_n$ тэгш тоо гэж батал.

$a_1=\dfrac12$, $a_2=\dfrac13$, $a_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-2}}{3a_{n-2}-2a_{n-1}}$ $(n\ge3)$ рекурент харьцааг бод.

$a_1=a_2=2$ ба $n\ge3$ үед $a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2$ рекурент харьцааг бод.

$a_1=0$, $a_2=1$, $n\ge2$ үед $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}+1$ рх-г бод.

$u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}+c$ рекурент харьцаандд $v_n=u_n-u_{n-1}$ гэж авбал $v_n$ нь $v_n=av_{n-1}+bv_{n-2}$-ийг хангахыг үзүүл. $a_n=qa_{n-1}+d$ нь $d=0$ үед $\div\!\!\div$ ба $q=1$ үед $\div$ болно.

$a_1=a$, $a_2=a+d$, $n\ge3$ үед $2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}$ рекурент харьцааг бод.

1. $v_0=2$, $v_1=1$, $n\ge2$ үед $v_n=v_{n-1}+v_{n-2}$ Лукасын дарааллын рекурент харьцааг бод.
2. $p\equiv3(4)$ байг. $p=5k\pm1$ үед $p\mid v_{(p-1)/2}$, $p=5k\pm2$ үед $p\mid v_{(p+1)/2}$ гэж батал
3. $p=4k+3\in\mathbb{P}$ байг. $M=2^p-1\in\mathbb{P}$ $\Leftrightarrow$ $v_{\frac{M+1}2}\equiv0\pmod{M}$.

1. $u_0=0$, $u_1=1$, $n\ge2$ үед $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ Фибоначийн дарааллын рекурент харьцааг бод.
2. $p=5k\pm1\in\mathbb{P}$ бол $p\mid u_{p-1}$, $p=5k\pm2\in\mathbb{P}$ үед $p\mid u_{p+1}$ гэж батал.