Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №16341
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ нь $x^3-x^2-x-1=0$-ийн язгуурууд бол $n\in\mathbb{Z}^+$ бүрийн хувьд $$\displaystyle d_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}+\frac{\beta^n-\gamma^n}{\beta-\gamma}+\frac{\gamma^n-\alpha^n}{\gamma-\alpha}\in\mathbb{Z}$$ гэж батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $d_n=d_{n-1}+d_{n-2}+d_{n-3}$ гээд эхний гишүүдийг бүхэл болохыг харуул.
Бодолт: $d_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n+c_3\gamma^n$ хэлбэрийн дараалал $d_n=d_{n-1}+d_{n-2}+d_{n-3}$, $n\ge 3$ рекурент харьцааны шийд гэдэг нь онолоос шууд гарна. Иймд эхний 3 гишүүн бүхэл гэж харуулахад хангалттай.
$d_0=0$ ба $d_1=3$ байх нь ойлгомжтой. \begin{align*} d_2&=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}+\frac{\beta^2-\gamma^2}{\beta-\gamma}+\frac{\gamma^2-\alpha^2}{\gamma-\alpha}\\ &=\alpha+\beta+\beta+\gamma+\gamma+\alpha=2(\alpha+\beta+\gamma) \end{align*} Нөгөө талаас $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ нь $x^3-x^2-x-1=0$-ийн язгуурууд тул Виетийн теорем ёсоор $$\alpha+\beta+\gamma=1$$ тул $d_2=2$ болов. Эндээс бүх гишүүд нь бүхэл гэдэг нь илэрхий юм.
$d_0=0$ ба $d_1=3$ байх нь ойлгомжтой. \begin{align*} d_2&=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}+\frac{\beta^2-\gamma^2}{\beta-\gamma}+\frac{\gamma^2-\alpha^2}{\gamma-\alpha}\\ &=\alpha+\beta+\beta+\gamma+\gamma+\alpha=2(\alpha+\beta+\gamma) \end{align*} Нөгөө талаас $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ нь $x^3-x^2-x-1=0$-ийн язгуурууд тул Виетийн теорем ёсоор $$\alpha+\beta+\gamma=1$$ тул $d_2=2$ болов. Эндээс бүх гишүүд нь бүхэл гэдэг нь илэрхий юм.