Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бөмбөлгийн радиус, Координатын арга
Ирмэгийн урт нь 1-тэй тэнцүү $ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгдөв.
- $BA, BB_1, BC$ ирмэгүүд ба $(A_1DC_1)$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $$r=\dfrac{\fbox{a}\cdot \sqrt{\fbox{b}}-\fbox{c}\cdot \sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$$ байна.
- $BA, BB_1, BC$ ирмэгүүд ба $DA_1$ шулууныг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $$R=\fbox{f}\cdot \sqrt{\fbox{g}}-\sqrt{\fbox{h}}$$ байна.
abcde = 62433
fgh = 225
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 47.12%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $B$ цэгт төвтэй координатын систем ашигла.
Бодолт: $B=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $D=(1,1,0)$, $B_1=(0,0,1)$, $A_1=(1,0,1)$, $C_1=(0,1,1)$, $D_1=(1,1,1)$ гэвэл бөмбөлгийн төв $(t,t,t)$ координаттай байна. $(t,t,t)$ цэгээс $OX$, $OY$, $OZ$ тэнхлэгүүд хүртэлх зай Пифагорын теоремоор $r=\sqrt{2}t$ тул тэгшитгэл нь
$$(x-t)^2+(y-t)^2+(z-t)^2=2t^2$$
хэлбэртэй байна.
- $\triangle A_1DC_1$ зөв гурвалжны төв $\frac{A_1+D+C_1}{3}=\left(\frac23,\frac23,\frac23\right)$ цэг бөмбөлөг дээр орших ба $0< t<1$ тул $$3\left(\frac23-t\right)^2=2t^2\Rightarrow t=2-\dfrac{2\sqrt6}{3}$$ Иймд $$r=\sqrt2 t=\dfrac{6\sqrt2-4\sqrt3}{3}$$
- Өмнөхтэй ижлээр $R=\sqrt2t$ байна. Мөн $DA_1$ хэрчмийн дундаж цэг нь $\frac{D+A_1}{2}=\left(1,\frac12,\frac12\right)$ цэг бөмбөлөг дээр орших ба $0< t<1$ тул $$(1-t)^2+2\left(\frac12-t\right)^2=2t^2\Rightarrow t=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$$ Иймд $$R=\sqrt2t=2\sqrt2-\sqrt5$$