Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №7991
Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагонал хажуу ирмэгтэй $45^\circ$, суурийн ирмэгүүдтэй ижил өнцөг үүсгэдэг бол энэ өнцгийн хэмжээг ол.
A. $30^\circ$
B. $45^\circ$
C. $\arccos\frac23$
D. $60^\circ$
E. $75^\circ$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 3.57%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Энэ диагональ суурийн ирмэгүүдтэй ижил өнцөг үүсгэх тул түүний суурь дээрх проекц буюу суурийн диагональ нь суурийн биссектрисс болно.
Бодолт: Суурийн диагонал нь биссектрисс болдог тэгш өнцөгт нь квадрат юм. Параллелепипедийн суурийн талын урт $a$, өндөр $h$, гол диагоналийн урт $d$ гэвэл $h=d\cos45^\circ$ тул
$$d^2=2a^2+h^2\Rightarrow d^2=2a^2+d^2\cdot\dfrac12\Rightarrow\left(\dfrac{a}{d}\right)^2=\dfrac14$$
Нөгөө талаас $\dfrac{a}{d}$ нь суурийн гол диагоналтай үүсгэх өнцгийн косинус тул $\dfrac{a}{d}=\dfrac{1}{2}$ тул $60^\circ$ байна.