Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Гурвалжны талуудыг шүргэх тойрог
$ABC$ гурвалжны $AB$ талын урт $4$ ба $AB$ тал дээр $O$ төв нь орших, $AC$, $BC$ талуудыг $O_1$, $O_2$ цэгт шүргэх тойргийн радиус $\dfrac{3}{10}\sqrt{15}$, $AO=\dfrac{12}{5}$ бол $\cos\measuredangle{ABC}=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$, $\dfrac{S_{BOO_2}}{S_{AOO_1}}=\dfrac{\fbox{ef}}{21}$ байна. Мөн $\sin\measuredangle{BAC}=\dfrac{\sqrt{15}}{\fbox{g}}$, $CO=\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{i}}\sqrt{6}$ болно.
abcd = 1116
ef = 11
g = 8
hi = 35
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 35.89%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $AC$, $BC$ талуудыг шүргэх тойргийн төв нь $C$ оройн дотоод өнцгийн биссектрис дээр байна.
Бодолт: $O$ нь $AC$, $BC$ талуудыг шүргэх тойргийн төв тул $C$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн суурь болно.
$OB=4-\dfrac{12}{5}=\dfrac{8}{5}$ байна. $OO_2B$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас
$$O_2B=\sqrt{OB^2-OO_2^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{8}{5}\Big)^2-\Big(\dfrac{3}{10}\sqrt{15}\Big)^2}=\dfrac{11}{10}$$
болно. Иймд $$\cos\measuredangle{ABC}=\dfrac{OB_2}{OB}=\dfrac{\frac{11}{10}}{\frac{8}{5}}=\dfrac{11}{16}$$
байна. $OO_1A$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас
$$O_1A=\sqrt{OA^2-OO_2^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{12}{5}\Big)^2-\Big(\dfrac{3}{10}\sqrt{15}\Big)^2}=\dfrac{21}{10}$$
тул $$\dfrac{S_{BOO_2}}{S_{AOO_1}}=\dfrac{\frac12\cdot BO_2\cdot r}{\frac12\cdot AO_1\cdot r}=\dfrac{11}{21}$$
байна.
$$\sin\measuredangle BAC=\dfrac{OO_1}{AO}=\dfrac{\frac{3}{10}\sqrt{15}}{\frac{12}{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}$$
$CO_1=CO_2=x$ гэвэл биссектрисийн чанараар
$$\dfrac{AC}{AO}=\dfrac{BC}{BO}\Leftrightarrow\dfrac{x+\frac{21}{10}}{\frac{12}{5}}=\dfrac{x+\frac{11}{10}}{\frac{8}{5}}$$
тул $x=\frac{9}{10}$ болох ба $COO_1$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас $$CO=\sqrt{\Big(\dfrac{9}{10}\Big)^2+\Big(\dfrac{3}{10}\sqrt{15}\Big)^2}=\dfrac{3}{5}\sqrt{6}$$
байна.