Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №7225
$\displaystyle\int_{0}^{2a}x|x^2-a^2|\,\mathrm{d}x$ бод.
A. $a^4$
B. $\displaystyle\frac {a^4}2$
C. $\displaystyle\frac 25a^4$
D. $\displaystyle\frac 52a^4$
E. $0$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 26.23%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $x=a$ цэгээр хоёр хэсэг салгаж бод.
Бодолт: \begin{align*}
\int_{0}^{2a}x|x^2-a^2|\,\mathrm{d}x&=\int_{0}^{a}x|x^2-a^2|\,\mathrm{d}x+\int_{a}^{2a}x|x^2-a^2|\,\mathrm{d}x\\
&=\int_0^a x(a^2-x^2)\,\mathrm{d}x+\int_0^a x(x^2-a^2)\,\mathrm{d}x\\
&=\int_0^a a^2x-x^3\,\mathrm{d}x+\int_0^a x^3-a^2x\,\mathrm{d}x\\
&=\left(\dfrac{a^2x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^a+\left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{a^2x^2}{2}\right)\Bigg|_a^{2a}\\
&=\left(\dfrac{a^4}{2}-\dfrac{a^4}{4}-0\right)+\left(\dfrac{16a^4}{4}-\dfrac{4a^4}{2}-\dfrac{a^4}{4}+\dfrac{a^4}{2}\right)\\
&=\dfrac{a^4}{4}+\dfrac{9a^4}{4}=\dfrac{5}{2}a^4
\end{align*}