Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Прогрессийн эхний 50 гишүүний нийлбэр
Эерэг гишүүнтэй өсдөг арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүний нийлбэр 12, эхний гишүүний квадрат нь дөрөв ба хоёрдугаар гишүүдийн ялгавартай тэнцүү бол түүний эхний 50 гишүүний нийлбэр хэд вэ?
A. $2000$
B. $2500$
C. $2550$
D. $2225$
E. $2525$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 69.16%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $a_1$ ба $d$-ээр өгсөн нөхцлийг илэрхийлж бич. Арифметик прогрессийн $n$-р гишүүн ба эхний $n$ гишүүний нийлбэр нь харгалзан $$a_n=a_1+(n-1)d,\ S_n=\dfrac{(2a_1+(n-1)d)}{2}\cdot n$$
байдаг.
Бодолт: Бодлогын нөхцөл ёсоор $a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=12$, $a_1^2=(a_1+3d)-(a_1+d)=2d$ болно. Иймд $a_1+d=4$, $a_1^2=2d$ болно. Эндээс $2d=(d-4)^2\Rightarrow d_1=2$, $d_2=8$ болно. $d=8$ бол $a_1=-4<0$ болоход хүрэх тул $d=2$ ба $a=2$ байна. Бидний олох ёстой нийлбэр нь
$$S_{50}=\dfrac{2a_1+49d}{2}\cdot 50=\dfrac{2\cdot2+49\cdot 2}{2}\cdot 50=2550$$
байна.