Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $b_n^2$ нь $b_1^2$ эхнийг гишүнтэй, $q^2$ ноогдвортой геометр прогресс.

Бодолт: $S_3=\dfrac{b_1(q^3-1)}{q-1}=13\Rightarrow b_1=\dfrac{13(q-1)}{q^3-1}$, $$b_1^2+b_2^2+b_3^2=\dfrac{b_2^2(q^6-1)}{q^2-1}=\dfrac{13^2(q-1)^2}{(q^3-1)^2}\cdot\dfrac{q^6-1}{q^2-1}=91$$ \begin{align} \dfrac{(q-1)^2}{(q^3-1)^2}\cdot\dfrac{q^6-1}{q^2-1}&=\dfrac{(q-1)^2}{(q^3-1)(q^3-1)}\cdot\dfrac{(q^3-1)(q^3+1)}{(q-1)(q+1)}\\ &=\dfrac{q-1}{q^3-1}\cdot\dfrac{q^3+1}{q+1}=\dfrac{1}{q^2+q+1}\cdot(q^2-q+1) \end{align} тул $\dfrac{13^2(q^2-q+1)}{q^2+q+1}=91\Rightarrow 13(q^2-q+1)=7(q^2+q+1)$ буюу $3q^2-10q+3=0$ болно. Буурах геометр прогресс тул $0< q<1$ болохыг тооцвол $$q=\dfrac{10-\sqrt{10^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3}=\dfrac{10-8}{6}=\dfrac{1}{3}$$ Иймд $b_1=\dfrac{13(q-1)}{q^3-1}=\dfrac{-13\cdot\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{26}{27}}=9$ болно. Иймд $$b_n=9\cdot \left(\dfrac13\right)^{n-1}=9\cdot3^{-(n-1)}$$

Заавар: $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ адилтгал ашигла.

Бодолт: Бодлогын нөхцөл ёсоор $$\left\{\begin{array}{c} b_1+b_1q+b_1q^2=13\\ b_1^2+(b_1q)^2+(b_1q^2)^2=91 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} b_1(1+q+q^2)=13\\ b_1^2(1+q^2+q^4)=91 \end{array}\right.$$ Эндээс $$\dfrac{b_1^2(1+q^2+q^4)}{b_1(1+q+q^2)}=b_1(1-q+q^2)=7$$ ба $$b_1(1+q+q^2)-b_1(1-q+q^2)=2b_1q=13-7$$ тул $b_2=b_1q=3$ болов. Үүнийг өгсөн нөхцөлд орлуулбал $$b_1+b_2+b_3=\dfrac{3}{q}+3+3q=13$$ буюу $$3q^2-10q+3=0\Leftrightarrow q_1=\dfrac13, q_2=3$$ болно. Буурах геометр прогрес тул $q=\dfrac13$ ба $b_1=\dfrac{3}{\dfrac13}=9$ болно. Иймд прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо $$b_n=9\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=9\cdot 3^{-(n-1)}$$ болов.