Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\tg\alpha=\dfrac13$, $\tg\beta=2\sqrt2$ бол $\sin2\alpha$, $\cos\beta$ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

Бодолт: $\alpha=\arctg\dfrac13$ гэвэл $\tg\alpha=\dfrac13$ байна. $$\sin2\alpha=\dfrac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\dfrac{2\cdot\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{9}}=\dfrac{3}{5}$$ $\beta=\arctg2\sqrt2>0$ гэвэл $\beta\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ ба $\tg\beta=2\sqrt2$ байна. $$\tg^2\beta=\dfrac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}=\dfrac{1-\cos^2\beta}{\cos^2\beta}\Rightarrow\cos^2\beta=\dfrac{1}{1 +\tg^2\beta}=\dfrac{1}{9}$$ ба $\beta\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ тул $0<\cos\beta$ байна. Иймд $\cos\beta=\dfrac{1}{3}$ юм. Эндээс $$\sin\left(2\arctg\dfrac 13\right)+\cos\left(\arctg2\sqrt{2}\right)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{14}{15}$$