Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)=\sqrt{x-1}$, $\varphi(x)=x-2$ болог.

$f(x)=5$ тэгшитгэл $\fbox{ab}$,
$f(x)>\varphi(x)$ тэнцэтгэл биш $x\in \Biggl[\fbox{c};\dfrac{\fbox{d}+\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}\Biggr[$
$f(x)< \varphi(x)$ тэнцэтгэл биш $x\in \Biggl]\dfrac{\fbox{g}+\sqrt{\fbox{h}}}{\fbox{i}};+\infty\Biggr[$ шийдтэй.

ab = 26

cdef = 1552

ghi = 552

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 54.22%

Заавар: $D\colon x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$ байна.

Тэгшитгэлийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж бодоод гарсан шийдээ тодорхойлогдох мужид орох эсэхийг шалгана.
$x\in D$ үед $\sqrt{g(x)}>h(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}h(x)<0, \\g(x)>h^2(x)\end{array}\right.$ байна. $h(x)<0$ хэсгийг орхивол шийд гээгдэнэ!
$x\in D$ үед $\sqrt{g(x)}< h(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}g(x)< h^2(x)\\ h(x)>0\end{array}\right.$ байна.

Бодолт: $D\colon x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$ байна.

$\sqrt{x-1}=5\Rightarrow (\sqrt{x-1})^2=5^2\Rightarrow x-1=25$ байна. Иймд $x=26$ байна. Мэдээж $26>1$ тул энэ шийд тодорхойлогдох мужид орно.
$x\ge 1$ үед $\sqrt{x-1}>x-2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x-2<0 \\x-1>(x-2)^2\end{array}\right.$ байна. $x\in D$ үед $[$ системийн эхний тэгшитгэлийн шийд нь $[1;2[$, хоёр дахь тэнцэтгэл биш нь $$x-1>(x-2)^2\Leftrightarrow x^2-5x+5<0$$ ба $x^2-5x+5=0\Rightarrow x_1=\frac{5-\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}=\frac{5-\sqrt5}{2}$, $x_2=\frac{5+\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}=\frac{5+\sqrt5}{2}$ тул $$\frac{5-\sqrt5}{2}< x<\frac{5+\sqrt5}{2}$$ байна. $\bigg[$ системийн шийдүүдийг нэгтгэх ёстой тул $\bigg[1;\dfrac{5+\sqrt5}{2}\bigg[$ байна. Энд $1<\dfrac{5-\sqrt5}{2}<2$ болохыг ашиглав.
$x\in D$ үед $\sqrt{x-1}< x-2\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}x-1<(x-2)^2\\ x-2>0\end{array}\right.$ байна. Эхний тэнцэтгэл бишээс $x<\dfrac{5-\sqrt2}{2}\cup x>\dfrac{5+\sqrt5}{2}$ болох ба $x>2$ нөхцлийг хангах шийд нь $x>\dfrac{5+\sqrt5}{2}$ тул $x\in\bigg]\dfrac{5+\sqrt5}{2};+\infty\bigg[$ байна.