Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}$$ ашиглан бүтэн квадрат ялгаж бод.

Бодолт: \begin{align*} x^2-2xy&{}+5y^2+6x-14y+5=x^2-(2y-6)x+5y^2-14y+5\\ &=(x-y+3)^2+5y^2-14y+5-(y-3)^3\\ &=(x-y+3)^2+4y^2-8y-4\\ &=(x-y+3)^3+4(y-1)^2-8 \end{align*} тул $\left\{\begin{array}{c}x-y+3=0\\ y-1=0\end{array}\right.$ буюу $x=-2$, $y=1$ үед хамгийн бага $-8$ утгаа авна.

$|x| \leq 2, |y| \leq 2$ үед $|x-y+3|\le |2-(-2)+3|=7$ ба $|y-1|\le |-2-1|=3$ тул $$P=(x-y+3)^3+4(y-1)^2-8\le 7^2+4\cdot 3^2-8=77$$ ба $x=2$, $y=-2$ үед $P_{\max}=77$ байна.

Түүнчлэн $P$ илэрхийлэл хамгийн бага утгаа авах $x=-2$, $y=1$ утгууд нь $|x| \leq 2, |y| \leq 2$ нөхцлийг хангах тул энэ муж дахь хамгийн бага утга нь уг илэрхийллийн хамгийн бага утга буюу $-8$ байна.