Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тэгш хэмтэй илэрхийлэл
$x+y+z=2\sqrt{3}$, $xy+yz+zx=-3$, $xyz=-6\sqrt{3}$ бол $x^2+y^2+z^2=\fbox{ab}$, $\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=\fbox{cd}$ байна.
ab = 18
cd = -4
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 48.39%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$$
байна. Түүнчлэн Виетийн урвуу теорем ёсоор $x$, $y$, $z$ нь
$$x^3-2\sqrt3 x^2-3x+6\sqrt{3}=0$$
куб тэгшитгэлийн шийдүүд байна.
Бодолт: \begin{align*}
x^2+y^2+z^2&=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\
&=(2\sqrt3)^2-2\cdot(-3)=12+6=18
\end{align*}
$x$, $y$, $z$ нь $$x^3-2\sqrt3 x^2-3x+6\sqrt{3}=0$$ куб тэгшитгэлийн шийдүүд тул \begin{align*} x^3&=2\sqrt3 x^2+3x-6\sqrt{3},\\ y^3&=2\sqrt3 y^2+3y-6\sqrt{3},\\ z^3&=2\sqrt3 z^2+3z-6\sqrt{3} \end{align*} байна. Эдгээрийг нэмбэл \begin{align*} x^3+y^3+z^3&=2\sqrt{3}(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)-18\sqrt3\\ &=2\sqrt3\cdot 18+3\cdot 2\sqrt3-18\sqrt3=24\sqrt3 \end{align*} байна. Иймд $$\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\dfrac{24\sqrt3}{-6\sqrt3}=-4.$$
$x$, $y$, $z$ нь $$x^3-2\sqrt3 x^2-3x+6\sqrt{3}=0$$ куб тэгшитгэлийн шийдүүд тул \begin{align*} x^3&=2\sqrt3 x^2+3x-6\sqrt{3},\\ y^3&=2\sqrt3 y^2+3y-6\sqrt{3},\\ z^3&=2\sqrt3 z^2+3z-6\sqrt{3} \end{align*} байна. Эдгээрийг нэмбэл \begin{align*} x^3+y^3+z^3&=2\sqrt{3}(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)-18\sqrt3\\ &=2\sqrt3\cdot 18+3\cdot 2\sqrt3-18\sqrt3=24\sqrt3 \end{align*} байна. Иймд $$\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\dfrac{24\sqrt3}{-6\sqrt3}=-4.$$