Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тэгш хэмт олон гишүүнт
$x=\sqrt{9+4\sqrt 5}$, $y=\sqrt{9-4\sqrt 5}$ бол $\displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A. $\sqrt 5$
B. $\dfrac{17}{9}\sqrt 5$
C. $2\sqrt 5$
D. $17\sqrt 5$
E. $\dfrac{34}{9}\sqrt 5$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 61.76%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $x+y$ ба $xy$-ийг олоод
\begin{gather}
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\\
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
\end{gather}
томьёог ашиглан бод.
Бодолт: $x=2+\sqrt 5$ ба $y=\sqrt 5-2$ тул
\begin{gather}
x+y=2+\sqrt 5+2-\sqrt 5=2\sqrt5\\
xy=(2+\sqrt 5)(\sqrt 5-2)=(\sqrt5)^2-2^2=1
\end{gather} байна. Иймд
\begin{gather}
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy= 20-2=18\\
x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=2\sqrt5\cdot(18-1)=34\sqrt5
\end{gather}
ба
$$\displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\dfrac{34\sqrt5}{18}=\frac{17}{9}\sqrt 5$$ байна.