Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\cos2x=1-2\sin^2x$. Цааш нь $s=\sin x$ гэсэн орлуулга хийхэд гарах квадрат тэгшитгэл нь $s\in]-1;1[$ байх яг нэг шийдтэй юмуу $s=\pm 1$ гэсэн 2 шийдтэй байж болно.

Учир нь $\sin x=a$, $a\in]-1;1[$ тэгшитгэл нь $[0;2\pi[$ завсарт 2 ялгаатай шийдтэй байна. Харин $a=-1$ юмуу $a=1$ байхад яг нэг шийдтэй.

Бодолт: \begin{gather*} 4\sin x-3\cos2x-k=4\sin x-3(1-2\sin^2x)-k\\ =6\sin^2x+4\sin x-3-k=0 \end{gather*} $s=\sin x$ гэвэл $6s^2+4s-3-k=0$ болно. Энэ тэгшитгэл $s_1=-1, s_2=1$ гэсэн шийдтэй байхаар $k$-г сонгох боломжгүй. Иймд $6s^2+4s-3-k=0$ тэгшитгэл $s\in]-1; 1[$ байх яг нэг шийдтэй байна.

Энэ нь $y=f(s)=6s^2+4s-3$ парабол $y=k$ шулуунтай $s\in]-1; 1[$ байх яг нэг цэгээр огтлолцоно гэсэн үг. Эндээс $f(-1)< k< f(1)$, эсвэл $s=-\dfrac{4}{2\cdot6}=-\dfrac13$ (параболын оройн цэгийн абсцисс) болохыг зургаас төвөггүй харж болно. Иймд $6-4-3< k< 6+4-3$ эсвэл $6(-\frac13)^2+4(-\frac13)-3-k=0$ байна. Хариу $-1< k< 7$ эсвэл $k=-\dfrac{11}{3}$ байна.