Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Эхлээд $y$-ээс хамаархан квадрат гурван гишүүнт гэж үзээд бүтэн квадрат ялга. $$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}$$

Бодолт: $f(x,y)=4x^2+4y^2-4xy-4x-4y+9$ байг. $f(x,y)$-ээс бүтэн квадрат ялгаж хялбарчилбал \begin{align*} f(x,y)&=4x^2+4y^2-4xy-4x-4y+9\\ &=4y^2-(4x+4)y+4x^2-4x+9\\ &=4\left(y-\dfrac{4x+4}{2\cdot 4}\right)^2+4x^2-4x+9-\dfrac{(4x+4)^2}{4\cdot 4}\\ &=(2y-x-1)^2+3x^2-6x+8\\ &=(x-2y+1)^2+3(x-1)^2+5 \end{align*} болно. Иймд бүх $x$, $y$ тооны хувьд $f(x,y)\ge5$ ба $\left\{\begin{array}{c}x-2y+1=0\\x-1=0\end{array}\right.$ үед хамгийн бага утгаа авна. Иймд хамгийн бага утга авах цэг нь $(x,y)=(1,1)$ байна.