Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$ABCD$ тетраэдрийн ${AC=AB=AD=6,BC=BD=CD=6\sqrt{2}}$ байв.

abcd = 5418

ef = 36

gh = 31

ij = 23

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 16.67%

Заавар:

Бодолт: $6^2+6^2=(6\sqrt2)^2$ тул $A$ орой дахь өнцгүүд тэгш, талсууд нь тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжин байна. Иймд

Тетраэдрийн бүтэн гадаргуугийн талбай $$S=3\cdot\dfrac{6\cdot 6}{2}+\dfrac12\cdot (6\sqrt2)^2\cdot\sin 60^\circ=54+18\sqrt3.$$
$ABC$ суурийн талбай $\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$, $AD$ өндөр болох тул $$V=\dfrac13\cdot 18\cdot 6=36.$$
$V=\dfrac13 S r$ тул тетраэдрт багтсан бөмбөрцгийн радиус $$r=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\cdot 36}{54+18\sqrt3}=\dfrac{6}{3+\sqrt3}=3-\sqrt3.$$
$A$ цэгээс $(BCD)$ хавтгай хүртэлх зай $$d=\dfrac{3V}{S_{\triangle BCD}}=\dfrac{3\cdot 36}{\frac12(6\sqrt2)^2\sin60^\circ}=\dfrac{108}{18\sqrt3}=2\sqrt3$$ байна.