Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №4820
$\sin^3x+\cos^3x=\sin x-\cos x$ тэгшитгэлийн $0\le x< \pi$ байх шийдүүд аль нь вэ?
A. $0$
B. $\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}$
C. $\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}; \pi-\arctg 2$
D. $\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}; \arctg(-2)$
E. $\dfrac{\pi}{2}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 11.11%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $\sin^3x+\cos^3x=\sin x-\cos x=(\sin x-\cos x)(\sin^2x+\cos^2x)$ тул $$\sin^3x+\cos^3x=\sin^3x+\sin x\cos^2x-\cos x\sin^2x-\cos^3x$$ буюу $$\cos x(2\cos^2x-\sin x\cos x-\sin^2x)=0\Rightarrow$$ $$\cos x=0\lor 2\cos^2x-\sin x\cos x-\sin^2x=0$$ байна. $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$ байна. $2\cos^2x-\sin x\cos x-\sin^2x=0$-ээс $$2-\tg x-\tg^2x=0\Rightarrow \tg x=1\lor \tg x=-2\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\lor x=\pi-\arctg 2$$ байна. ($\tg x=-2\Rightarrow x=\arctg(-2)+\pi k=-\arctg2+\pi k$ ба $0\le x< \pi$ байх шийд нь $x=\pi-\arctg 2$).