Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №4773
$1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+\dfrac{4}{3^4}+\dfrac{5}{3^5}+\cdots+\dfrac{10}{3^{10}}$ нийлбэрийг ол.
A. $-\dfrac74+\dfrac{23}{4\cdot 3^{10}}$
B. $\dfrac74-\dfrac{23}{4\cdot 3^{10}}$
C. $\dfrac{2012}{3^{10}}$
D. $-\dfrac{2012}{3^{10}}$
E. $\dfrac{1}{3^{10}}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 48.65%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n, A_0=0$ гэе. Тэгвэл $a_n=A_n-A_{n-1}$ тул
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a_kb_k&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n\\
&=(A_1-A_0)b_1+(A_2-A_1)b_2+(A_3-A_2)b_3+\cdots+(A_n-A_{n-1})b_n\\
&=A_1(b_1-b_2)+A_2(b_2-b_3)+\cdots+A_{n-1}(b_{n-1}-b_n)+A_nb_n
\end{align*}
Хувиргалтыг Абелийн хувиргалт гэдэг.
Бодолт: Манай бодлогын хувьд $a_n=\dfrac{1}{3^{n}}$, $b_n=n$ гэвэл $A_n=\dfrac13+\dfrac19+\cdots+\dfrac1{3^n}=\dfrac{\dfrac13\left(1-\dfrac1{3^n}\right)}{1-\dfrac13}=\dfrac12\left(1-\dfrac1{3^n}\right)$ ба $b_n-b_{n+1}=-1$ тул
\begin{align*}
1+\dfrac{1}{3}&+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+\dfrac{4}{3^4}+\cdots+\dfrac{10}{3^{10}}=\\
&=1+\frac12\left(1-\frac13\right)(-1)+\frac12\left(1-\frac19\right)(-1)+\cdots+\frac12\left(1-\frac1{3^9}\right)(-1)+\dfrac12\left(1-\frac{1}{3^{10}}\right)\cdot10\\
&=\frac32-\frac{5}{3^{10}}+\frac12\left(\frac13+\frac19+\cdots+\frac1{3^9}\right)\\
&=\frac32-\frac{5}{3^{10}}+\frac14\left(1-\frac{1}{3^{9}}\right)=\frac74-\frac{23}{4\cdot 3^{10}}
\end{align*}
байна.