Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Логарифмчлах тэнцэтгэл биш
$x\cdot 3^{\log_{x}4}> 12$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $]1;3[\cup]4;+\infty[$
B. $]3;4[$
C. $]1;3[$
D. $]4;+\infty[$
E. $]1;2[\cup]4;+\infty[$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 35.71%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\log_a x$ функц нь $0< a< 1$ бол буурах функц, $a>1$ бол өсөх функц байна.
$$\log_abc=\log_ab+\log_ac, \log_aa^b=b.$$
Бодолт: $x\cdot 3^{\log_{x}4}> 12\Leftrightarrow \log_3(x\cdot 3^{\log_x4})>\log_312\Leftrightarrow\log_3x+\log_x4>1+\log_34$. $\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ томъёог ашиглан 3 суурьт шилжүүлбэл $$\log_3x+\dfrac{\log_34}{\log_3x}>1+\log_34$$ болно. $t=\log_3x$ гэвэл
$$t+\dfrac{\log_34}{t}>1+\log_34\Leftrightarrow\dfrac{t^2-(1+\log_34)t+\log_34}{t}>0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\dfrac{(t-1)(t+\log_34)}{t}>0.$$
Интервалын аргаар бодвол $0< t< 1\lor \log_34< t$. болно. Орлуулгаа буцаавал $0< \log_3x< 1\lor \log_34< \log_3x\Leftrightarrow 3^0< x< 3^1\lor 4< x$. Иймд $x\in]1;3[\cup]4;+\infty[$ болов.