Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №38
$v, w, x, y$ нь яг энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан 4 гишүүн ба $v, w, x+9, y+54$ нь яг энэ дарааллаараа геометр прогрессийн дараалсан 4 гишүүн болдог бол $v=\fbox{a}$, $w=\fbox{b}$, $x=\fbox{c}$, $y=\fbox{de}$. Арифметик прогрессийн ялгавар $\fbox{f}$-тэй тэнцүү, геометр прогрессийн ноогдвор $\fbox{g}$.
abcde = 14710
f = 3
g = 4
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 44.83%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Пропорцийн чанар:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+kc}{b+kd},\qquad k\in\mathbb Z$$
Тухайн тохиолдолд:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+c}{b+d}$$
Бодолт: $v$, $w=v+d$, $x=v+2d$, $y=v+3d$ байна. $q=\dfrac{w}{v}=\dfrac{x+9}{w}=\dfrac{y+54}{x+9}$ тул $q=\dfrac{v+d}{v}=\dfrac{v+2d+9}{v+d}=\dfrac{v+3d+54}{v+2d+9}~~~(*)$. Пропорцийн чанар ёсоор $$q=\dfrac{v+2d+9-v-d}{v+d-v}=\dfrac{v+3d+54-v-2d-9}{v+2d+9-v-d}$$ буюу $$\dfrac{d+9}{d}=\dfrac{d+45}{d+9}$$ болно. Иймд $(d+9)^2=d(d+45)$. Эндээс $$d^2+18d+81=d^2+45d\Rightarrow 27d=81\Rightarrow d=3.$$ $q=\dfrac{d+45}{d+9}=\dfrac{48}{12}=4$. $d=3$-ийг $(*)$-д орлуулбал $$\dfrac{v+3}{v}=\dfrac{v+15}{v+3}\Rightarrow v^2+6v+9=v^2+15v\Rightarrow v=1.$$ Иймд $w=1+3=4$, $x=1+2\cdot3=7$, $y=1+3\cdot 3=10$.