Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\sin^2x=a$ тэгшитгэлийг $\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ томьёо ашиглан зэргийг нь бууруулж бодвол илүү хялбар байдаг.

Бодолт: $(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $$\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^2x-\sin^2x)=$$ $$=1\cdot(\cos^22x-\sin^22x)=\cos2x$$ $$2\sin^4 x\cos^4 x=\dfrac{16\sin^4 x\cos^4 x}{8}=\dfrac{(2\sin x\cos x)^4}{8}=\dfrac18\cdot\sin^42x$$ тул $$\cos^22x+\dfrac{1}{8}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$$ болно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг 32-оор үржүүлж $\cos^22x=1-\sin^22x$-ийг ашиглавал $$32(1-\sin^22x)+4\sin^42x=17 \Leftrightarrow 4(\sin^22x)^2-32\sin^22x+15=0$$ квадрат тэгшитгэлд шилжих ба $4s^2-32s+15=0$ тэгшитгэлийн $$s_{1,2}=\dfrac{32\pm\sqrt{32^2-4\cdot4\cdot15}}{8}=\dfrac{32\pm28}{8}$$ шийдүүдээс боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac12$. Тэгшитгэлийг зэрэг бууруулж бодвол $\dfrac{1-\cos4x}{2}=\dfrac{1}{2}$ буюу $\cos4x=0$ болно. Иймд $4x=\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ буюу $x=\pm\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно.