Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $y=\cos ax$ функцийн үндсэн үе $\dfrac{2\pi}{a}$ байна. $c=\cos 2x$, $-1\le c\le1$ гээд $f(x)=g(c)$ байх $g$ функц олж $g(c)$-г шинжил.

Бодолт: $\cos(2x+\pi)=-\cos 2x$ тул $f(x)=2\cos^22x-\cos2x-1$. Иймд фунцкийн үе нь $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ байна.

$c=\cos2x$ гэвэл $$f(x)=g(c)=2c^2-c-1,~c=\cos x$$ болно. $c\in[-1;1]$ ба $g^\prime(c)=4c-1=0\Rightarrow c=\dfrac14$ тул $g(c)$ нь $c=-1$ юмуу $c=1$ үед хамгийн их утгатай, $c=\dfrac14$ үед хамгийн бага утгатай байна. $g(-1)=2\cdot(-1)^2-(-1)-1=2>g(1)=2\cdot 1^2-1-1=0$ тул $\max f=\max g=2$ байна. Харин хамгийн бага утга нь $$g\left(\dfrac14\right)=2\cdot\left(\dfrac14\right)^2-\dfrac14-1=-\dfrac98$$ байна.

$2c^2-c-1=0\Rightarrow c=1\lor c=-\dfrac{1}{2}$ тул $$f(x)=0\Leftrightarrow\Bigg[\begin{array}{c} \cos 2x=1\\ \cos 2x=-\dfrac12 \end{array}\Leftrightarrow 2x=2\pi k,~~ 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$$ тул $x=\pi k$, $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k$ шийдтэй.